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프리드버그 선형대수학/ 벡터공간/ 일차종속과 일차독립

일차종속과 일차독립

무한체에서 벡터공간 VV와 부분공간 WW를 생각하자. 점공간이 아닌 WW 는 무한집합이다.
이때 WW 를 생성하는 (WW의) '조그마한' 유한 부분집합 SS를 찾을 수 있으면 좋다.
이러한 집합은 WW 의 모든 벡터를 SS에서 꺼낸 유한개의 벡터의 일차결합으로 표현할 수 있기 때문이다. 구체적으로 말하면 SS 가 작아질수록 WW의 벡터를 일차결합으로 표현하는데 필요한 연산의 횟수가 적어진다.
집합 SS 에서 꺼낸 한 벡터가 SS 의 다른 벡터들의 일차결합으로 표현되는지를 판단하려면 다음이 성립하는지를 보면 된다.
S={u1,u2,u3,u4}S = \{ u_{1}, u_{2}, u_{3}, u_{4} \} 일 때
u4=a1u1+a2u2+a3u3u_{4} = a_{1} u_{1} + a_{2} u_{2} + a_{3} u_{3} 을 만족하는 a1,a2,aca_{1}, a_{2}, a_{c}이 존재하는지 확인하면 된다.
a1,a2,aca_{1}, a_{2}, a_{c}이 존재하는지 확인하려면 위 계수와 벡터를 이용한 연립방정식의 해가 있는지를 확인하면 되는데, 집합 SS 내의 모든 벡터에 대해 연립방정식을 일일히 확인하는 것은 현실적이지 않다.
위 식의 관점을 바꾸면 a1u1+a2u2+a3u3+a4u4=0a_{1} u_{1} + a_{2} u_{2} + a_{3} u_{3} + a_{4} u_{4} = 0과 같이 정리할 수 있는데, SS 의 어떤 벡터가 다른 벡터의 일차결합이면 영벡터를 SS 의 칠차결합으로 표현할 때, 어떤 계수가 00이 아닌 표현이 존재한다. 이 명제의 역도 참이다.
정리하자면 영벡터를 SS 의 벡터의 일차결합으로 표현하는 (모든 계수가 0인 것 외에) 다른 방법이 존재하면, SS 의 어떤 벡터는 다른 벡터의 일차결합이다.
(좀 더 직관적인 표현을 해보자면, 집합 SS 내의 어떤 벡터는 같은 집합 내의 다른 벡터들의 결합으로 표현할 수 있다는 것이다. 이 말인 즉슨 집합 SS 내에 불필요한 벡터(다른 벡터로 표현하면 되기 때문)가 존재한다는 이야기고, 이게 바로 집합 SS 가 독립적이지 않다는 뜻이 된다. 독립적이면 일차독립 (또는 선형독립), 독립적이지 않으면 일차종속(또는 선형종속) 이라 한다)
정의)
벡터공간 VV의 부분집합 SS 에 대하여 a1u1+a2u2+...+anun=0a_{1} u_{1} + a_{2} u_{2} + ... + a_{n} u_{n} = 0을 만족하는 유한개의 서로 다른 벡터 u1,u2,...,unSu_{1}, u_{2}, ... , u_{n} \in S와 적어도 하나는 0이 아닌 스칼라 a1,a2,...,ana_{1}, a_{2}, ... , a_{n}이 존재하면 집합 SS는 일차종속(linearly dependent)라 한다. 이때 SS 의 벡터 또한 일차종속이다.
임의의 벡터 u1,u2,...,unu_{1}, u_{2}, ... , u_{n}에 대하여 a1=a2=...=an=0a_{1} = a_{2} = ... = a_{n} = 0이면 a1u1+a1u2+...+anun=0a_{1} u_{1} + a_{1} u_{2} + ... + a_{n} u_{n} = 0이다. 이를 u1,u2,...,unu_{1}, u_{2}, ... , u_{n}의 일차결합에 대한 '영벡터의 자명한 표현(tirivial representation of 0)'이라 한다.
집합이 일차종속이면 적절한 벡터를 택하여 영벡터를 자명하지 않은 방식으로 표현할 수 있다. 영벡터 00을 포함하는 모든 부분집합은 일차종속이다. 0=100 = 1 \cdot 0은 영벡터의 자명하지 않은 표현이기 때문이다.
정의)
벡터공간의 부분집합 SS 가 일차종속이 아니면 일차독립(linearly independent)이다. 이때 SS 의 벡터 또한 일차독립이다.
일차독립인 집합에 대한 다음 명제는 모든 벡터공간에서 참이다.
명제 1 - 공집합은 일차독립이다. 어떤 집합이 일차종속이기 위해선 반드시 공집합이 아니어야 한다.
명제 2 - 영이 아닌 벡터 하나로 이루어진 집합은 일차독립이다. 만약 {u}\{ u \}가 일차종속이면 00이 아닌 스칼라 aa에 대하여 au=0au = 0이다. 양변에 a1a^{-1}을 곱하면 u=a1(au)=a10=0u = a^{-1}(au) = a^{-1}0 = 0 이므로 uu가 영벡터가 아니라는 사실에 모순이다.
명제 3 - 어떤 집합이 일차독립이기 위한 필요충분조건은 00을 주어진 집합에 대한 일차결합으로 표현하는 방법이 자명한 표현뿐인 것이다.
정리 1.6)
VV는 벡터공간이고 S1S2VS_{1} \subseteq S_{2} \subseteq V이다. S1S_{1}이 일차종속이면 S2S_{2}도 일차종속이다.
따름정리)
VV는 벡터공간이고 S1S2VS_{1} \subseteq S_{2} \subseteq V이다. S2S_{2}가 일차독립이면 S1S_{1}도 일차독립이다.
앞서 집합 SS 가 최소생성집합(SS 의 진부분집합은 생성집합이 아니라는 뜻)인지 확인하는 문제는 SS 의 어떤 벡터가 (SS 의) 다른 벡터의 일차결합으로 표현되는지 판단하는 것과 같은 문제임을 설명하였다.
다시 말해 SS 가 최소생성집합인지 판단하는 것은 집합 SS 가 일차독립인지 확인하는 것과 같다.
일반적으로 SS 가 두 개 이상의 벡터를 가지고 일차종속인 집합이라 하자. vSv \in SSS 의 다른 벡터의 일차결합으로 표현할 수 있으면 SS 에서 vv를 뺸 진부분집합으로도 SS 와 같은 공간을 생성할 수 있다.
즉, SS 의 어떤 진부분집합도 SS 와 같은 공간을 생성하지 못하면 SS 는 일차독립이다.
이 진술을 다르게 표현하면 다음과 같다.
정리 1.7)
벡터공간 VV 그리고 일차독립인 부분집합 SS 를 생각하자. SS 에 포함되지 않는 벡터 vVv \in V 에 대하여 S{v}S \cup \{v\}가 일차종속이기 위한 필요충분조건은 vspan(S)v \in span(S)이다.
증명)
S{v}S \cup \{v\}가 일차종속이면 다음 식을 만족하는 벡터 u1,u2,...,unS{v}u_{1}, u_{2}, ... , u_{n} \in S \cup \{ v \}와 스칼라 a1,a2,...,ana_{1}, a_{2}, ... , a_{n}이 존재한다. (단 스칼라 중 적어도 하나는 00이 아니다)
a1u1+a2u2+...+anun=0a_{1} u_{1} + a_{2} u_{2} + ... + a_{n} u_{n} = 0
SS 가 일차독립이므로 위 식에 등장한 벡터 uiu_{i} 중 하나는 반드시 vv이다. 이 벡터를 u1u_{1}이라 하자. 이제 위 식을 다음과 같이 쓸 수 있다.
v=a11(a2u2...anun)=(a11a2)u2...(a11an)unv = a_{1}^{-1} (-a_{2}u_{2} - ... - a_{n}u_{n}) = - (a_{1}^{-1}a_{2})u_{2} - ... - (a_{1}^{-1} a_{n}) u_{n}
vvu2,...unSu_{2}, ... u_{n} \in S의 일차결합이므로 vspan(S)v \in span(S)이다.
역으로 vspan(S)v \in span(S)라 가정하자. 다음 식을 만족하는 벡터 v1,v2,...,vmSv_{1}, v_{2}, ... , v_{m} \in S와 스칼라 b1,b2,...,bmb_{1}, b_{2}, ... , b_{m}이 존재한다.
v=b1v1+b2v2+...+bmvmv = b_{1} v_{1} + b_{2} v_{2} + ... + b_{m} v_{m}
그러므로 0=b1v1+b2v2+...+bmvm+(1)v0 = b_{1} v_{1} + b_{2} v_{2} + ... + b_{m} v_{m} + (-1)v이다. vSv \notin S이므로 vvi(i=1,2,...,m)v \neq v_{i} (i = 1, 2, ... , m)이다.
이런 이유로 위 일차결합에서 vv의 계수는 00이 아니고 집합 {v1,v2,...,vm,v}\{ v_{1}, v_{2}, ... , v_{m}, v \}는 일차종속이다. 정리 1.6에 의해 S{v}S \cup \{ v \}는 일차종속이다.