벡터 공간
•
앞서는 좁은 의미의 벡터에 대해 정의하였는데, 이번 절에서는 보다 넓은 의미를 지닌 대수적 구조로서 벡터의 개념을 소개한다.
•
정의)
◦
체 에서 벡터공간(vector space) 또는 선형공간(linear space) 는 다음 8가지 조건을 만족하는 두 연산, 합과 스칼라 곱을 가지는 집합니다.
▪
합(sum)은 의 두 원소 에 대하여 유일한 원소 를 대응하는 연산이다. 이때 는 와 의 합이라 한다.
▪
스칼라 곱(scalar multiplication)은 체 의 원소 와 벡터공간 의 원소 마다 유일한 원소 를 대응하는 연산이다. 이때 는 와 의 스칼라 곱(product)이라 한다.
◦
(VS1) 모든 에 대하여 이다. (덧셈의 교환 법칙)
◦
(VS2) 모든 에 대하여 이다. (덧셈의 결합법칙)
◦
(VS3) 모든 에 대하여 인 이 존재한다.
◦
(VS4) 각 마다 인 가 존재한다.
◦
(VS5) 각 에 대하여 이다.
◦
(VS6) 모든 와 모든 에 대하여 이다.
◦
(VS7) 모든 와 모든 에 대하여 이다.
◦
(VS8) 모든 와 모든 에 대하여 이다.
•
체 의 원소는 스칼라(scalar) 벡터공간 의 원소는 벡터(vector)라 한다.
•
벡터공간은 정확하게 '-벡터공간 '라 표기해야 한다.
◦
혼란의 여지가 없으면 체 를 생략하고 '벡터공간 '라 적는다.
•
이 체 의 원소일 때 꼴의 수학적 대상을 에서 성분을 가져온 순서쌍(-tuple)이라 한다.
◦
에서 성분을 가져온 두 순서쌍 과 은 일 때, 같다(equal)고 정의한다.
•
예제 1)
◦
체 에서 성분을 가져온 모든 순서쌍의 집합을 이라 표기한다.
◦
일 때, 합과 스칼라 곱을 다음과 같이 정의하면 이 집합은 -벡터 공간이다.
▪
▪
◦
따라서 는 -벡터 공간이다. 예컨대 에서 합과 스칼라 곱은 다음과 같이 구한다.
▪
▪
◦
같은 방식으로 은 -벡터 공간이다. 예컨대 에서 합과 스칼라 곱은 다음과 같이 구한다.
▪
▪
•
의 벡터는 행백터(row vector) 보다 다음과 같은 열벡터 (column vector)로 표현한다.
•
1 순서쌍은 에서 하나의 성분만 가져오므로 체 의 원소로 생각할 수 있다. 따라서 에서 성분을 가져온 1 순서쌍으로 이루어진 벡터공간은 이라 쓰기보다 편하게 라 쓰는 경우가 많다.
•
에서 성분을 가져온 행렬(matrix)는 다음과 같은 직사각형 모양의 배열이다.
•
이때 모든 는 의 원소이다.
◦
인 성분 는 이 행렬의 대각성분(diagonal entry)
◦
성분 는 이 행렬의 번째 행(row)
◦
성분 는 이 행렬의 번째 열(column)
◦
행렬의 각 행은 벡터로, 각 열은 의 벡터로 나타낼 수 있다.
◦
더 나아가 의 행벡터를 행렬로, 의 열벡터를 행렬로 나타낼 수 있다.
•
모든 성분이 인 행렬을 영행렬(zero matrix)이라 하며 로 표기한다.
•
행렬은 이탤릭 대문자( 등)를 사용하여 나타낸다.
◦
의 행 열에 위치한 성분을 라 표기할 것이다.
◦
행의 개수와 열의 개수가 같은 행렬을 정사각행렬(square matrix)라 한다.
◦
두 행렬 에서 대응하는 성분이 모두 일치할 때, 같다고 정의한다. 모든 에 대하여 이면 두 행렬은 같다.
•
예제 2)
◦
성분이 체 의 원소인 모든 행렬의 집합은 라 표기한다. 일 때 합과 스칼라 곱을 다음과 같이 정의하면 는 벡터공간이다.
◦
◦
◦
(단, )
•
$latex m \times n &s=2$ 행렬의 합과 스칼라 곱은 $latex F^{n} &s=2$과 $latex F^{m} &s=2$에서 정의한 연산이 자연스럽게 확장된 것이다.
◦
두 $latex m \times n &s=2$ 행렬을 더하여 얻은 행렬의 $latex i &s=2$행은 처음 두 행렬에서 $latex i &s=2$번째 행벡터들의 합이고,
◦
스칼라 $latex c &s=2$를 곱하여 얻은 행렬 $latex cA &s=2$의 각 행은 처음 행렬의 각 행벡터에 스칼라를 곱한 것과 같다.
◦
같은 방식으로 두 $latex m \times n &s=2$ 행렬을 더하여 얻은 행렬의 $latex j &s=2$열은 처음 두 행렬에서 $latex j &s=2$번째 열벡터들의 합이고,
◦
스칼라 $latex c &s=2$를 곱하여 얻은 행렬 $latex cA &s=2$의 각 열은 처음 행렬의 각 열벡터에 스칼라를 곱한 것과 같다.
•
예제 3)
◦
체 의 공집합이 아닌 집합 를 생각하자. 는 에서 로 가는 모든 함수의 집합이다.
◦
에서 모든 에 대하여 일 때, 두 함수 는 같다고 한다.
◦
일 때, 합과 스칼라 곱을 다음과 같이 정의하면 는 벡터공간이다.
▪
▪
•
계수가 체 의 원소인 다항식(polynomial)은 다음과 같이 정의한다.
•
이때 은 음이 아닌 정수이고, 각 (의 계수(coefficient))는 의 원소이다.
◦
이면 다시 말해 이면 는 영 다항식(zero polynomial)이라 한다. 편의를 위해 영 다항식의 차수는 로 정의한다.
•
영 다항식이 아닌 다항식을 살펴보자.
•
이때 다항식의 차수(degree)는 계수가 이 아닌 항의 의 지수 중 가장 큰 값으로 정의한다. 차수가 인 다항식은 꼴이다. (단 는 이 아닌 스칼라)
•
두 다항식 를 살펴보자.
•
이고 모든 에 대하여 일 때 는 같다고 한다.
•
가 무한집합일 때, 에서 계수를 가져온 다항식을 에서 로 가는 함수로 볼 수 있다. 이때 에서 의 함수값은 다음 스칼라를 가리킨다.
•
다항함수 은 간단히 또는 라 쓴다.
•
예제 4)
◦
에서 계수를 가져온 두 다항식 를 생각하자.
◦
◦
◦
일 때, 이라 정의하면 를 다음과 같이 쓸 수 있다.
▪
◦
두 다항식의 합과 스칼라 곱을 다음과 같이 정의하면, 에서 계수를 가져온 모든 다항식의 집합은 벡터 공간이다.
▪
▪
(이때 는 임의의 스칼라)
◦
이 벡터공간을 라 쓴다.
•
다음 예제에서 소개하는 벡터공간과 는 본질적으로 같다.
•
예제 5)
◦
(임의의 체) 위에서 정의된 수열(sequence)은 자연수 집합을 정의역, 를 공역으로 하는 함수이다. 이 책에서는 인 수열 를 이라 표기할 것이다.
◦
에서 정의된 모든 수열의 집합을 라 하자. 두 수열 과 스칼라 에 대하여 다음과 같이 합과 스칼라 곱을 정의하면 는 벡터 공간이다.
▪
▪
•
예제 6)
◦
일 때, 와 에 대하여 합과 스칼라 곱을 다음과 같이 정의하자.
◦
◦
◦
는 덧셈의 교환법칙, 결합법칙과 아래 조건을 만족하지 않으므로 이 연산에 대하여 벡터공간이 아니다.
▪
VS8) 모든 와 모든 에 대하여 이다.
▪
(교재에 벡터 공간의 조건으로 정의되는 조건. 강의에 나오기 때문에 생략)
•
예제 7)
◦
집합 는 예제 6과 같고 와 에 대하여 합과 스칼라 곱을 다음과 같이 정의하자.
◦
◦
◦
아래 조건이 성립하지 않으므로 는 이 연산에 대하여 벡터공간이 아니다.
▪
VS3) 모든 에 대하여 인 이 존재한다.
▪
VS4) 각 마다 인 가 존재한다.
▪
VS5) 각 에 대하여 이다.
•
정리 1.1)
◦
벡터 합의 소거 법칙
◦
이고 일 때 이다.
◦
증명)
▪
(VS4)에 의해 인 벡터 가 존재한다. 따라서 (VS2), (VS3)으로부터 다음이 성립한다.
•
•
따름 정리 1)
◦
(VS3)을 만족하는 벡터 은 유일하다.
•
따름정리 2)
◦
(VS4)를 만족하는 벡터 는 유일하다.
•
(VS3)을 만족하는 벡터 은 의 영벡터(zero vector)라 한다.
•
(VS4)를 만족하는 벡터 , 다시 말해 를 만족하는 유일한 벡터 는 덧셈에 의한 의 역벡터(additive inverse)라 하며 로 표기한다.
•
정리 1.2)
◦
모든 벡터공간 에 대하여 다음이 성립한다.
1.
모든 벡터 에 대하여 이다.
2.
모든 스칼라 와 모든 벡터 에 대하여 이다.
3.
모든 스칼라 에 대하여 이다.
◦
증명)
1.
(VS8), (VS3), (VS1)에 따르면 이다. 정리 1.1에 의해 이다.
2.
벡터 는 의 유일한 벡터이다. 만약 이면 정리 1.1의 따름 정리 2에 의해 이다.
•
(VS8)과 (1)로부터 이므로 이다. 특히 이다. 이제 (VS6)에 의해 다음이 성립한다.
•
3.
(1)의 증명과 비슷하다.