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프리드버그 선형대수학/ 벡터공간/ 벡터공간

벡터 공간

앞서는 좁은 의미의 벡터에 대해 정의하였는데, 이번 절에서는 보다 넓은 의미를 지닌 대수적 구조로서 벡터의 개념을 소개한다.
정의)
FF에서 벡터공간(vector space) 또는 선형공간(linear space) VV는 다음 8가지 조건을 만족하는 두 연산, 합과 스칼라 곱을 가지는 집합니다.
합(sum)은 VV의 두 원소 x,yx, y에 대하여 유일한 원소 x+yVx + y \in V를 대응하는 연산이다. 이때 x+yx + yxxyy의 합이라 한다.
스칼라 곱(scalar multiplication)은 체 FF의 원소 aa와 벡터공간 VV의 원소 xx마다 유일한 원소 axVax \in V를 대응하는 연산이다. 이때 axaxaaxx의 스칼라 곱(product)이라 한다.
(VS1) 모든 x,yVx, y \in V에 대하여 x+y=y+xx + y = y + x이다. (덧셈의 교환 법칙)
(VS2) 모든 x,y,zVx, y, z \in V에 대하여 (x+y)+z=x+(y+z)(x + y) + z = x + (y + z)이다. (덧셈의 결합법칙)
(VS3) 모든 xVx \in V에 대하여 x+0=xx + 0 = x0V0 \in V이 존재한다.
(VS4) 각 xVx \in V마다 x+y=0x + y = 0yVy \in V가 존재한다.
(VS5) 각 VV에 대하여 VV이다.
(VS6) 모든 a,bFa, b \in F와 모든 xVx \in V에 대하여 (ab)x=a(bx)(ab)x = a(bx)이다.
(VS7) 모든 aFa \in F와 모든 x,yVx, y \in V에 대하여 a(x+y)=ax+aya(x + y) = ax + ay이다.
(VS8) 모든 a,bFa, b \in F와 모든 xVx \in V에 대하여 (a+b)x=ax+bx(a + b) x = ax + bx이다.
FF의 원소는 스칼라(scalar) 벡터공간 VV의 원소는 벡터(vector)라 한다.
벡터공간은 정확하게 'FF-벡터공간 VV'라 표기해야 한다.
혼란의 여지가 없으면 체 FF를 생략하고 '벡터공간 VV'라 적는다.
a1,a2,...,ana_{1}, a_{2}, ... , a_{n}이 체 FF의 원소일 때 (a1,a2,...,an)(a_{1}, a_{2}, ... , a_{n}) 꼴의 수학적 대상을 FF에서 성분을 가져온 nn 순서쌍(nn-tuple)이라 한다.
FF 에서 성분을 가져온 두 nn 순서쌍 (a1,a2,...,an)(a_{1}, a_{2}, ... , a_{n})(b1,b2,...,bn)(b_{1}, b_{2}, ... , b_{n})ai=bi(i=1,2,...,n)a_{i} = b_{i} (i = 1, 2, ... , n)일 때, 같다(equal)고 정의한다.
예제 1)
FF에서 성분을 가져온 모든 nn 순서쌍의 집합을 FnF^{n}이라 표기한다.
u=(a1,a2,...,an)Fn,v=(b1,b2,...,bn)Fn,cFu = (a_{1}, a_{2}, ... , a_{n}) \in F^{n}, v = (b_{1}, b_{2}, ... , b_{n}) \in F^{n}, c \in F일 때, 합과 스칼라 곱을 다음과 같이 정의하면 이 집합은 FF-벡터 공간이다.
u+v=(a1+b1,a2+b2,...,an+bn)u + v = (a_{1} + b_{1}, a_{2} + b_{2}, ... , a_{n} + b_{n})
cu=(ca1,ca2,...,can)cu = (ca_{1}, ca_{2}, ... , ca_{n})
따라서 R3R_{3}RR-벡터 공간이다. 예컨대 R3R^{3}에서 합과 스칼라 곱은 다음과 같이 구한다.
(3,2,0)+(1,1,4)=(2,1,4)(3, -2, 0) + (-1, 1, 4) = (2, -1, 4)
5(1,2,0)=(5,10,0)-5(1, -2, 0) = (-5, 10, 0)
같은 방식으로 C2C^{2}CC-벡터 공간이다. 예컨대 C2C^{2}에서 합과 스칼라 곱은 다음과 같이 구한다.
(1+i,2)+(23i,4i)=(32i,2+4i)(1 + i, 2) + (2 - 3i, 4i) = (3-2i, 2+4i)
i(1+i,2)=(1+i,2i)i(1 + i, 2) = (-1 + i, 2i)
FnF^{n}의 벡터는 행백터(row vector) (a1,a2,...,an)(a_{1}, a_{2}, ... , a_{n}) 보다 다음과 같은 열벡터 (column vector)로 표현한다.
(a1a2...an)\left( \begin{array}{rrrr} a_{1} \\ a_{2} \\ ... \\ a_{n} \end{array} \right)
1 순서쌍은 FF에서 하나의 성분만 가져오므로 체 FF의 원소로 생각할 수 있다. 따라서 FF에서 성분을 가져온 1 순서쌍으로 이루어진 벡터공간은 F1F^{1}이라 쓰기보다 편하게 FF라 쓰는 경우가 많다.
FF에서 성분을 가져온 m×nm \times n 행렬(matrix)는 다음과 같은 직사각형 모양의 배열이다.
(a11a12...a1na21a22...a2n............am1am2...amn)\left( \begin{array}{rrrr} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \end{array} \right)
이때 모든 aij(1im,1jn)a_{ij} (1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n)FF의 원소이다.
i=ji = j인 성분 aija_{ij}는 이 행렬의 대각성분(diagonal entry)
성분 ai1,ai2,...,aina_{i1}, a_{i2}, ... , a_{in}는 이 행렬의 ii번째 행(row)
성분 a1j,a2j,...,amja_{1j}, a_{2j}, ... , a_{mj}는 이 행렬의 jj번째 열(column)
행렬의 각 행은 FnF^{n}벡터로, 각 열은 FmF^{m}의 벡터로 나타낼 수 있다.
더 나아가 FnF^{n}의 행벡터를 1×n1 \times n 행렬로, FmF^{m}의 열벡터를 m×1m \times 1 행렬로 나타낼 수 있다.
모든 성분이 00m×nm \times n 행렬을 영행렬(zero matrix)이라 하며 00로 표기한다.
행렬은 이탤릭 대문자(A,B,CA, B, C 등)를 사용하여 나타낸다.
AAiijj열에 위치한 성분을 AijA_{ij}라 표기할 것이다.
행의 개수와 열의 개수가 같은 행렬을 정사각행렬(square matrix)라 한다.
m×nm \times n 행렬 A,BA, B에서 대응하는 성분이 모두 일치할 때, 같다고 정의한다. 모든 1im,1jn1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n에 대하여 Aij=BijA_{ij} = B_{ij}이면 두 행렬은 같다.
예제 2)
성분이 체 FF의 원소인 모든 m×nm \times n 행렬의 집합은 Mm×n(F)M_{m \times n}(F)라 표기한다. A,BMm×n(F),cFA, B \in M_{m \times n}(F), c \in F 일 때 합과 스칼라 곱을 다음과 같이 정의하면 Mm×n(F)M_{m \times n}(F)는 벡터공간이다.
(A+B)ij=Aij+Bij(A + B)_{ij} = A_{ij} + B_{ij}
(cA)ij=cAij(cA)_{ij} = cA_{ij}
(단, 1im,1jn1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n)
$latex m \times n &s=2$ 행렬의 합과 스칼라 곱은 $latex F^{n} &s=2$과 $latex F^{m} &s=2$에서 정의한 연산이 자연스럽게 확장된 것이다.
두 $latex m \times n &s=2$ 행렬을 더하여 얻은 행렬의 $latex i &s=2$행은 처음 두 행렬에서 $latex i &s=2$번째 행벡터들의 합이고,
스칼라 $latex c &s=2$를 곱하여 얻은 행렬 $latex cA &s=2$의 각 행은 처음 행렬의 각 행벡터에 스칼라를 곱한 것과 같다.
같은 방식으로 두 $latex m \times n &s=2$ 행렬을 더하여 얻은 행렬의 $latex j &s=2$열은 처음 두 행렬에서 $latex j &s=2$번째 열벡터들의 합이고,
스칼라 $latex c &s=2$를 곱하여 얻은 행렬 $latex cA &s=2$의 각 열은 처음 행렬의 각 열벡터에 스칼라를 곱한 것과 같다.
예제 3)
FF의 공집합이 아닌 집합 SS를 생각하자. F(S,F)\mathcal{F}(S, F)SS에서 FF로 가는 모든 함수의 집합이다.
F(S,F)\mathcal{F}(S, F)에서 모든 sSs \in S에 대하여 f(s)=g(s)f(s) = g(s)일 때, 두 함수 f,gf, g는 같다고 한다.
f,gF(S,F),cF,sSf, g \in \mathcal{F}(S, F), c \in F, s \in S 일 때, 합과 스칼라 곱을 다음과 같이 정의하면 F\mathcal{F}는 벡터공간이다.
(f+g)(s)=f(s)+g(s)(f + g)(s) = f(s) + g(s)
(cf)(s)=c[f(s)](cf)(s) = c[f(s)]
계수가 체 FF의 원소인 다항식(polynomial)은 다음과 같이 정의한다.
f(x)=anxn+an1xn1+...+a1x+a0f(x) = a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_{1}x + a_{0}
이때 nn은 음이 아닌 정수이고, 각 aka_{k}(xkx^{k}의 계수(coefficient))는 FF의 원소이다.
f(x)=0f(x) = 0이면 다시 말해 an=an1=...=a0=0a_{n} = a_{n-1} = ... = a_{0} = 0이면 FF는 영 다항식(zero polynomial)이라 한다. 편의를 위해 영 다항식의 차수는 1-1로 정의한다.
영 다항식이 아닌 다항식을 살펴보자.
f(x)=anxn+an1xn1+...+a1x+a0f(x) = a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_{1}x + a_{0}
이때 다항식의 차수(degree)는 계수가 00이 아닌 항의 xx의 지수 중 가장 큰 값으로 정의한다. 차수가 00인 다항식은 f(x)=cf(x) = c 꼴이다. (단 cc00이 아닌 스칼라)
두 다항식 FF를 살펴보자.
f(x)=anxn+an1xn1+...+a1x+a0f(x) = a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_{1}x + a_{0}
g(x)=bmxm+bm1xm1+...+b1x+b0g(x) = b_{m}x^{m} + b_{m-1}x^{m-1} + ... + b_{1}x + b_{0}
m=nm = n이고 모든 i=0,1,...,ni = 0, 1, ... , n에 대하여 ai=bia_{i} = b_{i}일 때 f,gf, g는 같다고 한다.
FF가 무한집합일 때, FF에서 계수를 가져온 다항식을 FF에서 FF로 가는 함수로 볼 수 있다. 이때 cFc \in F에서 f(x)=anxn+an1xn1+...+a1x+a0f(x) = a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_{1}x + a_{0}의 함수값은 다음 스칼라를 가리킨다.
f(c)=ancn+an1cn1+...+a1c+a0f(c) = a_{n}c^{n} + a_{n-1}c^{n-1} + ... + a_{1}c + a_{0}
다항함수 f(x)=anxn+an1xn1+...+a1x+a0f(x) = a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_{1}x + a_{0}은 간단히 ff 또는 f(x)f(x)라 쓴다.
예제 4)
FF에서 계수를 가져온 두 다항식 f,gf, g를 생각하자.
f(x)=anxn+an1xn1+...+a1x+a0f(x) = a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_{1}x + a_{0}
g(x)=bmxm+bm1xm1+...+b1x+b0g(x) = b_{m}x^{m} + b_{m-1}x^{m-1} + ... + b_{1}x + b_{0}
mnm \leq n 일 때, bm+1=bm+2=...=bn=0b_{m+1} = b_{m+2} = ... = b_{n} = 0 이라 정의하면 g(x)g(x)를 다음과 같이 쓸 수 있다.
g(x)=bnxn+bn1xn1+...+b1x+b0g(x) = b_{n}x^{n} + b_{n-1}x^{n-1} + ... + b_{1}x + b_{0}
두 다항식의 합과 스칼라 곱을 다음과 같이 정의하면, FF에서 계수를 가져온 모든 다항식의 집합은 벡터 공간이다.
f(x)+g(x)=(an+bn)xn+(an1+bn1)xn1+...+(a1+b1)x+(a0+b0)f(x) + g(x) = (a_{n} + b_{n})x^{n} + (a_{n-1} + b_{n-1})x^{n-1} + ... + (a_{1} + b_{1})x + (a_{0} + b_{0})
cf(x)=canxn+can1xn1+...+ca1x+ca0cf(x) = ca_{n}x^{n} + ca_{n-1}x^{n-1} + ... + ca_{1}x + ca_{0} (이때 cc는 임의의 스칼라)
이 벡터공간을 P(F)P(F)라 쓴다.
다음 예제에서 소개하는 벡터공간과 P(F)P(F)는 본질적으로 같다.
예제 5)
(임의의 체) FF 위에서 정의된 수열(sequence)은 자연수 집합을 정의역, FF를 공역으로 하는 함수이다. 이 책에서는 σ(n)=an(n=1,2,3,...)\sigma(n) = a_{n} (n = 1, 2, 3, ...)인 수열 σ\sigma(an)(a_{n})이라 표기할 것이다.
FF에서 정의된 모든 수열의 집합을 VV라 하자. 두 수열 (an),(bn)(a_{n}), (b_{n})과 스칼라 tt에 대하여 다음과 같이 합과 스칼라 곱을 정의하면 VV는 벡터 공간이다.
(an)+(bn)=(an+bn)(a_{n}) + (b_{n}) = (a_{n} + b_{n})
t(an)=(tan)t(a_{n}) = (ta_{n})
예제 6)
S={(a1,a2:a1,a2R}S = \{ (a_{1}, a_{2} : a_{1}, a_{2} \in R \} 일 때, (a1,a2),(b1,b2)S(a_{1}, a_{2}), (b_{1}, b_{2}) \in ScRc \in R에 대하여 합과 스칼라 곱을 다음과 같이 정의하자.
(a1,a2)+(b1,b2)=(a1+b1,a2b2)(a_{1}, a_{2}) + (b_{1}, b_{2}) = (a_{1} + b_{1}, a_{2} - b_{2})
c(a1,a2)=(ca1,ca2)c(a_{1}, a_{2}) = (ca_{1}, ca_{2})
SS는 덧셈의 교환법칙, 결합법칙과 아래 조건을 만족하지 않으므로 이 연산에 대하여 벡터공간이 아니다.
VS8) 모든 a,bFa, b \in F와 모든 xVx \in V에 대하여 (a+b)x=ax+bx(a + b) x = ax + bx이다.
(교재에 벡터 공간의 조건으로 정의되는 조건. 강의에 나오기 때문에 생략)
예제 7)
집합 SS는 예제 6과 같고 (a1,a2),(b1,b2)S(a_{1}, a_{2}), (b_{1}, b_{2}) \in ScRc \in R에 대하여 합과 스칼라 곱을 다음과 같이 정의하자.
(a1,a2)+(b1,b2)=(a1+b1,0)(a_{1}, a_{2}) + (b_{1}, b_{2}) = (a_{1} + b_{1}, 0)
c(a1,a2)=(ca1,0)c(a_{1}, a_{2}) = (ca_{1}, 0)
아래 조건이 성립하지 않으므로 SS는 이 연산에 대하여 벡터공간이 아니다.
VS3) 모든 xVx \in V에 대하여 x+0=xx + 0 = x0V0 \in V이 존재한다.
VS4) 각 xVx \in V 마다 x+y=0x + y = 0yVy \in V가 존재한다.
VS5) 각 xVx \in V에 대하여 1x=x1x = x이다.
정리 1.1)
벡터 합의 소거 법칙
x,y,zVx, y, z \in V이고 x+z=y+zx + z = y + z일 때 x=yx = y 이다.
증명)
(VS4)에 의해 z+v=0z + v = 0인 벡터 vVv \in V가 존재한다. 따라서 (VS2), (VS3)으로부터 다음이 성립한다.
x=x+0=x+(z+v)=(x+z)+v=(y+z)+v=y+(z+v)=y+0=yx = x + 0 = x + (z + v) = (x + z) + v \\ = (y + z) + v = y + (z + v) \\ = y + 0 = y
따름 정리 1)
(VS3)을 만족하는 벡터 00은 유일하다.
따름정리 2)
(VS4)를 만족하는 벡터 yy는 유일하다.
(VS3)을 만족하는 벡터 00VV의 영벡터(zero vector)라 한다.
(VS4)를 만족하는 벡터 yy, 다시 말해 x+y=0x + y = 0를 만족하는 유일한 벡터 yy는 덧셈에 의한 xx의 역벡터(additive inverse)라 하며 x-x로 표기한다.
정리 1.2)
모든 벡터공간 VV에 대하여 다음이 성립한다.
1.
모든 벡터 xx에 대하여 0x=00x = 0이다.
2.
모든 스칼라 aa와 모든 벡터 xx에 대하여 (a)x=(ax)=a(x)(-a)x = -(ax) = a(-x)이다.
3.
모든 스칼라 aa에 대하여 a0=0a0 = 0이다.
증명)
1.
(VS8), (VS3), (VS1)에 따르면 0x+0x=(0+0)x=0x=0x+0=0+0x0x + 0x = (0 + 0)x = 0x = 0x + 0 = 0 + 0x이다. 정리 1.1에 의해 0x=00x = 0이다.
2.
벡터 (ax)-(ax)ax+{(ax)}=0ax + \{-(ax)\} = 0의 유일한 벡터이다. 만약 ax+(a)x=0ax + (-a)x = 0이면 정리 1.1의 따름 정리 2에 의해 (a)x=(ax)(-a)x = -(ax)이다.
(VS8)과 (1)로부터 ax+(a)x={a+(a)}x=0x=0ax + (-a)x = \{a + (-a)\}x = 0x = 0 이므로 (a)x=(ax)(-a)x = -(ax)이다. 특히 (1)x=x(-1)x = -x이다. 이제 (VS6)에 의해 다음이 성립한다.
a(x)=a{(1)x}={a(1)}x=(a)xa(-x) = a\{(-1)x\} = \{a(-1)\}x = (-a)x
3.
(1)의 증명과 비슷하다.