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프리드버그 선형대수학/ 벡터공간/ 벡터공간

벡터 공간

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앞서는 좁은 의미의 벡터에 대해 정의하였는데, 이번 절에서는 보다 넓은 의미를 지닌 대수적 구조로서 벡터의 개념을 소개한다.
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정의)
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체 FF에서 벡터공간(vector space) 또는 선형공간(linear space) VV는 다음 8가지 조건을 만족하는 두 연산, 합과 스칼라 곱을 가지는 집합니다.
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합(sum)은 VV의 두 원소 x,yx, y에 대하여 유일한 원소 x+y∈Vx + y \in V를 대응하는 연산이다. 이때 x+yx + y는 xx와 yy의 합이라 한다.
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스칼라 곱(scalar multiplication)은 체 FF의 원소 aa와 벡터공간 VV의 원소 xx마다 유일한 원소 ax∈Vax \in V를 대응하는 연산이다. 이때 axax는 aa와 xx의 스칼라 곱(product)이라 한다.
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(VS1) 모든 x,y∈Vx, y \in V에 대하여 x+y=y+xx + y = y + x이다. (덧셈의 교환 법칙)
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(VS2) 모든 x,y,z∈Vx, y, z \in V에 대하여 (x+y)+z=x+(y+z)(x + y) + z = x + (y + z)이다. (덧셈의 결합법칙)
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(VS3) 모든 x∈Vx \in V에 대하여 x+0=xx + 0 = x인 0∈V0 \in V이 존재한다.
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(VS4) 각 x∈Vx \in V마다 x+y=0x + y = 0인 y∈Vy \in V가 존재한다.
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(VS5) 각 VV에 대하여 VV이다.
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(VS6) 모든 a,b∈Fa, b \in F와 모든 x∈Vx \in V에 대하여 (ab)x=a(bx)(ab)x = a(bx)이다.
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(VS7) 모든 a∈Fa \in F와 모든 x,y∈Vx, y \in V에 대하여 a(x+y)=ax+aya(x + y) = ax + ay이다.
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(VS8) 모든 a,b∈Fa, b \in F와 모든 x∈Vx \in V에 대하여 (a+b)x=ax+bx(a + b) x = ax + bx이다.
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체 FF의 원소는 스칼라(scalar) 벡터공간 VV의 원소는 벡터(vector)라 한다.
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벡터공간은 정확하게 'FF-벡터공간 VV'라 표기해야 한다.
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혼란의 여지가 없으면 체 FF를 생략하고 '벡터공간 VV'라 적는다.
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a1,a2,...,ana_{1}, a_{2}, ... , a_{n}이 체 FF의 원소일 때 (a1,a2,...,an)(a_{1}, a_{2}, ... , a_{n}) 꼴의 수학적 대상을 FF에서 성분을 가져온 nn 순서쌍(nn-tuple)이라 한다.
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FF 에서 성분을 가져온 두 nn 순서쌍 (a1,a2,...,an)(a_{1}, a_{2}, ... , a_{n})과 (b1,b2,...,bn)(b_{1}, b_{2}, ... , b_{n})은 ai=bi(i=1,2,...,n)a_{i} = b_{i} (i = 1, 2, ... , n)일 때, 같다(equal)고 정의한다.
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예제 1)
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체 FF에서 성분을 가져온 모든 nn 순서쌍의 집합을 FnF^{n}이라 표기한다.
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u=(a1,a2,...,an)∈Fn,v=(b1,b2,...,bn)∈Fn,c∈Fu = (a_{1}, a_{2}, ... , a_{n}) \in F^{n}, v = (b_{1}, b_{2}, ... , b_{n}) \in F^{n}, c \in F일 때, 합과 스칼라 곱을 다음과 같이 정의하면 이 집합은 FF-벡터 공간이다.
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u+v=(a1+b1,a2+b2,...,an+bn)u + v = (a_{1} + b_{1}, a_{2} + b_{2}, ... , a_{n} + b_{n})
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cu=(ca1,ca2,...,can)cu = (ca_{1}, ca_{2}, ... , ca_{n})
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따라서 R3R_{3}는 RR-벡터 공간이다. 예컨대 R3R^{3}에서 합과 스칼라 곱은 다음과 같이 구한다.
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(3,−2,0)+(−1,1,4)=(2,−1,4)(3, -2, 0) + (-1, 1, 4) = (2, -1, 4)
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−5(1,−2,0)=(−5,10,0)-5(1, -2, 0) = (-5, 10, 0)
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같은 방식으로 C2C^{2}은 CC-벡터 공간이다. 예컨대 C2C^{2}에서 합과 스칼라 곱은 다음과 같이 구한다.
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(1+i,2)+(2−3i,4i)=(3−2i,2+4i)(1 + i, 2) + (2 - 3i, 4i) = (3-2i, 2+4i)
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i(1+i,2)=(−1+i,2i)i(1 + i, 2) = (-1 + i, 2i)
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FnF^{n}의 벡터는 행백터(row vector) (a1,a2,...,an)(a_{1}, a_{2}, ... , a_{n}) 보다 다음과 같은 열벡터 (column vector)로 표현한다.
(a1a2...an)\left( \begin{array}{rrrr} a_{1} \\ a_{2} \\ ... \\ a_{n} \end{array} \right)
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1 순서쌍은 FF에서 하나의 성분만 가져오므로 체 FF의 원소로 생각할 수 있다. 따라서 FF에서 성분을 가져온 1 순서쌍으로 이루어진 벡터공간은 F1F^{1}이라 쓰기보다 편하게 FF라 쓰는 경우가 많다.
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FF에서 성분을 가져온 m×nm \times n 행렬(matrix)는 다음과 같은 직사각형 모양의 배열이다.
(a11a12...a1na21a22...a2n............am1am2...amn)\left( \begin{array}{rrrr} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \end{array} \right)
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이때 모든 aij(1≤i≤m,1≤j≤n)a_{ij} (1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n)는 FF의 원소이다.
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i=ji = j인 성분 aija_{ij}는 이 행렬의 대각성분(diagonal entry)
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성분 ai1,ai2,...,aina_{i1}, a_{i2}, ... , a_{in}는 이 행렬의 ii번째 행(row)
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성분 a1j,a2j,...,amja_{1j}, a_{2j}, ... , a_{mj}는 이 행렬의 jj번째 열(column)
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행렬의 각 행은 FnF^{n}벡터로, 각 열은 FmF^{m}의 벡터로 나타낼 수 있다.
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더 나아가 FnF^{n}의 행벡터를 1×n1 \times n 행렬로, FmF^{m}의 열벡터를 m×1m \times 1 행렬로 나타낼 수 있다.
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모든 성분이 00인 m×nm \times n 행렬을 영행렬(zero matrix)이라 하며 00로 표기한다.
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행렬은 이탤릭 대문자(A,B,CA, B, C 등)를 사용하여 나타낸다.
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AA의 ii행 jj열에 위치한 성분을 AijA_{ij}라 표기할 것이다.
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행의 개수와 열의 개수가 같은 행렬을 정사각행렬(square matrix)라 한다.
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두 m×nm \times n 행렬 A,BA, B에서 대응하는 성분이 모두 일치할 때, 같다고 정의한다. 모든 1≤i≤m,1≤j≤n1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n에 대하여 Aij=BijA_{ij} = B_{ij}이면 두 행렬은 같다.
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예제 2)
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성분이 체 FF의 원소인 모든 m×nm \times n 행렬의 집합은 Mm×n(F)M_{m \times n}(F)라 표기한다. A,B∈Mm×n(F),c∈FA, B \in M_{m \times n}(F), c \in F 일 때 합과 스칼라 곱을 다음과 같이 정의하면 Mm×n(F)M_{m \times n}(F)는 벡터공간이다.
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(A+B)ij=Aij+Bij(A + B)_{ij} = A_{ij} + B_{ij}
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(cA)ij=cAij(cA)_{ij} = cA_{ij}
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(단, 1≤i≤m,1≤j≤n1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n)
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$latex m \times n &s=2$ 행렬의 합과 스칼라 곱은 $latex F^{n} &s=2$과 $latex F^{m} &s=2$에서 정의한 연산이 자연스럽게 확장된 것이다.
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두 $latex m \times n &s=2$ 행렬을 더하여 얻은 행렬의 $latex i &s=2$행은 처음 두 행렬에서 $latex i &s=2$번째 행벡터들의 합이고,
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스칼라 $latex c &s=2$를 곱하여 얻은 행렬 $latex cA &s=2$의 각 행은 처음 행렬의 각 행벡터에 스칼라를 곱한 것과 같다.
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같은 방식으로 두 $latex m \times n &s=2$ 행렬을 더하여 얻은 행렬의 $latex j &s=2$열은 처음 두 행렬에서 $latex j &s=2$번째 열벡터들의 합이고,
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스칼라 $latex c &s=2$를 곱하여 얻은 행렬 $latex cA &s=2$의 각 열은 처음 행렬의 각 열벡터에 스칼라를 곱한 것과 같다.
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예제 3)
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체 FF의 공집합이 아닌 집합 SS를 생각하자. F(S,F)\mathcal{F}(S, F)는 SS에서 FF로 가는 모든 함수의 집합이다.
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F(S,F)\mathcal{F}(S, F)에서 모든 s∈Ss \in S에 대하여 f(s)=g(s)f(s) = g(s)일 때, 두 함수 f,gf, g는 같다고 한다.
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f,g∈F(S,F),c∈F,s∈Sf, g \in \mathcal{F}(S, F), c \in F, s \in S 일 때, 합과 스칼라 곱을 다음과 같이 정의하면 F\mathcal{F}는 벡터공간이다.
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(f+g)(s)=f(s)+g(s)(f + g)(s) = f(s) + g(s)
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(cf)(s)=c[f(s)](cf)(s) = c[f(s)]
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계수가 체 FF의 원소인 다항식(polynomial)은 다음과 같이 정의한다.
f(x)=anxn+an−1xn−1+...+a1x+a0f(x) = a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_{1}x + a_{0}
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이때 nn은 음이 아닌 정수이고, 각 aka_{k}(xkx^{k}의 계수(coefficient))는 FF의 원소이다.
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f(x)=0f(x) = 0이면 다시 말해 an=an−1=...=a0=0a_{n} = a_{n-1} = ... = a_{0} = 0이면 FF는 영 다항식(zero polynomial)이라 한다. 편의를 위해 영 다항식의 차수는 −1-1로 정의한다.
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영 다항식이 아닌 다항식을 살펴보자.
f(x)=anxn+an−1xn−1+...+a1x+a0f(x) = a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_{1}x + a_{0}
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이때 다항식의 차수(degree)는 계수가 00이 아닌 항의 xx의 지수 중 가장 큰 값으로 정의한다. 차수가 00인 다항식은 f(x)=cf(x) = c 꼴이다. (단 cc는 00이 아닌 스칼라)
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두 다항식 FF를 살펴보자.
f(x)=anxn+an−1xn−1+...+a1x+a0f(x) = a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_{1}x + a_{0}
g(x)=bmxm+bm−1xm−1+...+b1x+b0g(x) = b_{m}x^{m} + b_{m-1}x^{m-1} + ... + b_{1}x + b_{0}
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m=nm = n이고 모든 i=0,1,...,ni = 0, 1, ... , n에 대하여 ai=bia_{i} = b_{i}일 때 f,gf, g는 같다고 한다.
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FF가 무한집합일 때, FF에서 계수를 가져온 다항식을 FF에서 FF로 가는 함수로 볼 수 있다. 이때 c∈Fc \in F에서 f(x)=anxn+an−1xn−1+...+a1x+a0f(x) = a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_{1}x + a_{0}의 함수값은 다음 스칼라를 가리킨다.
f(c)=ancn+an−1cn−1+...+a1c+a0f(c) = a_{n}c^{n} + a_{n-1}c^{n-1} + ... + a_{1}c + a_{0}
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다항함수 f(x)=anxn+an−1xn−1+...+a1x+a0f(x) = a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_{1}x + a_{0}은 간단히 ff 또는 f(x)f(x)라 쓴다.
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예제 4)
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FF에서 계수를 가져온 두 다항식 f,gf, g를 생각하자.
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f(x)=anxn+an−1xn−1+...+a1x+a0f(x) = a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_{1}x + a_{0}
◦
g(x)=bmxm+bm−1xm−1+...+b1x+b0g(x) = b_{m}x^{m} + b_{m-1}x^{m-1} + ... + b_{1}x + b_{0}
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m≤nm \leq n 일 때, bm+1=bm+2=...=bn=0b_{m+1} = b_{m+2} = ... = b_{n} = 0 이라 정의하면 g(x)g(x)를 다음과 같이 쓸 수 있다.
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g(x)=bnxn+bn−1xn−1+...+b1x+b0g(x) = b_{n}x^{n} + b_{n-1}x^{n-1} + ... + b_{1}x + b_{0}
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두 다항식의 합과 스칼라 곱을 다음과 같이 정의하면, FF에서 계수를 가져온 모든 다항식의 집합은 벡터 공간이다.
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f(x)+g(x)=(an+bn)xn+(an−1+bn−1)xn−1+...+(a1+b1)x+(a0+b0)f(x) + g(x) = (a_{n} + b_{n})x^{n} + (a_{n-1} + b_{n-1})x^{n-1} + ... + (a_{1} + b_{1})x + (a_{0} + b_{0})
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cf(x)=canxn+can−1xn−1+...+ca1x+ca0cf(x) = ca_{n}x^{n} + ca_{n-1}x^{n-1} + ... + ca_{1}x + ca_{0} (이때 cc는 임의의 스칼라)
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이 벡터공간을 P(F)P(F)라 쓴다.
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다음 예제에서 소개하는 벡터공간과 P(F)P(F)는 본질적으로 같다.
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예제 5)
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(임의의 체) FF 위에서 정의된 수열(sequence)은 자연수 집합을 정의역, FF를 공역으로 하는 함수이다. 이 책에서는 σ(n)=an(n=1,2,3,...)\sigma(n) = a_{n} (n = 1, 2, 3, ...)인 수열 σ\sigma를 (an)(a_{n})이라 표기할 것이다.
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FF에서 정의된 모든 수열의 집합을 VV라 하자. 두 수열 (an),(bn)(a_{n}), (b_{n})과 스칼라 tt에 대하여 다음과 같이 합과 스칼라 곱을 정의하면 VV는 벡터 공간이다.
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(an)+(bn)=(an+bn)(a_{n}) + (b_{n}) = (a_{n} + b_{n})
▪
t(an)=(tan)t(a_{n}) = (ta_{n})
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예제 6)
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S={(a1,a2:a1,a2∈R}S = \{ (a_{1}, a_{2} : a_{1}, a_{2} \in R \} 일 때, (a1,a2),(b1,b2)∈S(a_{1}, a_{2}), (b_{1}, b_{2}) \in S와 c∈Rc \in R에 대하여 합과 스칼라 곱을 다음과 같이 정의하자.
◦
(a1,a2)+(b1,b2)=(a1+b1,a2−b2)(a_{1}, a_{2}) + (b_{1}, b_{2}) = (a_{1} + b_{1}, a_{2} - b_{2})
◦
c(a1,a2)=(ca1,ca2)c(a_{1}, a_{2}) = (ca_{1}, ca_{2})
◦
SS는 덧셈의 교환법칙, 결합법칙과 아래 조건을 만족하지 않으므로 이 연산에 대하여 벡터공간이 아니다.
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VS8) 모든 a,b∈Fa, b \in F와 모든 x∈Vx \in V에 대하여 (a+b)x=ax+bx(a + b) x = ax + bx이다.
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(교재에 벡터 공간의 조건으로 정의되는 조건. 강의에 나오기 때문에 생략)
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예제 7)
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집합 SS는 예제 6과 같고 (a1,a2),(b1,b2)∈S(a_{1}, a_{2}), (b_{1}, b_{2}) \in S와 c∈Rc \in R에 대하여 합과 스칼라 곱을 다음과 같이 정의하자.
◦
(a1,a2)+(b1,b2)=(a1+b1,0)(a_{1}, a_{2}) + (b_{1}, b_{2}) = (a_{1} + b_{1}, 0)
◦
c(a1,a2)=(ca1,0)c(a_{1}, a_{2}) = (ca_{1}, 0)
◦
아래 조건이 성립하지 않으므로 SS는 이 연산에 대하여 벡터공간이 아니다.
▪
VS3) 모든 x∈Vx \in V에 대하여 x+0=xx + 0 = x인 0∈V0 \in V이 존재한다.
▪
VS4) 각 x∈Vx \in V 마다 x+y=0x + y = 0인 y∈Vy \in V가 존재한다.
▪
VS5) 각 x∈Vx \in V에 대하여 1x=x1x = x이다.
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정리 1.1)
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벡터 합의 소거 법칙
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x,y,z∈Vx, y, z \in V이고 x+z=y+zx + z = y + z일 때 x=yx = y 이다.
◦
증명)
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(VS4)에 의해 z+v=0z + v = 0인 벡터 v∈Vv \in V가 존재한다. 따라서 (VS2), (VS3)으로부터 다음이 성립한다.
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x=x+0=x+(z+v)=(x+z)+v=(y+z)+v=y+(z+v)=y+0=yx = x + 0 = x + (z + v) = (x + z) + v \\ = (y + z) + v = y + (z + v) \\ = y + 0 = y
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따름 정리 1)
◦
(VS3)을 만족하는 벡터 00은 유일하다.
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따름정리 2)
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(VS4)를 만족하는 벡터 yy는 유일하다.
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(VS3)을 만족하는 벡터 00은 VV의 영벡터(zero vector)라 한다.
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(VS4)를 만족하는 벡터 yy, 다시 말해 x+y=0x + y = 0를 만족하는 유일한 벡터 yy는 덧셈에 의한 xx의 역벡터(additive inverse)라 하며 −x-x로 표기한다.
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정리 1.2)
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모든 벡터공간 VV에 대하여 다음이 성립한다.
1.
모든 벡터 xx에 대하여 0x=00x = 0이다.
2.
모든 스칼라 aa와 모든 벡터 xx에 대하여 (−a)x=−(ax)=a(−x)(-a)x = -(ax) = a(-x)이다.
3.
모든 스칼라 aa에 대하여 a0=0a0 = 0이다.
◦
증명)
1.
(VS8), (VS3), (VS1)에 따르면 0x+0x=(0+0)x=0x=0x+0=0+0x0x + 0x = (0 + 0)x = 0x = 0x + 0 = 0 + 0x이다. 정리 1.1에 의해 0x=00x = 0이다.
2.
벡터 −(ax)-(ax)는 ax+{−(ax)}=0ax + \{-(ax)\} = 0의 유일한 벡터이다. 만약 ax+(−a)x=0ax + (-a)x = 0이면 정리 1.1의 따름 정리 2에 의해 (−a)x=−(ax)(-a)x = -(ax)이다.
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(VS8)과 (1)로부터 ax+(−a)x={a+(−a)}x=0x=0ax + (-a)x = \{a + (-a)\}x = 0x = 0 이므로 (−a)x=−(ax)(-a)x = -(ax)이다. 특히 (−1)x=−x(-1)x = -x이다. 이제 (VS6)에 의해 다음이 성립한다.
•
a(−x)=a{(−1)x}={a(−1)}x=(−a)xa(-x) = a\{(-1)x\} = \{a(-1)\}x = (-a)x
3.
(1)의 증명과 비슷하다.
Made with