일차결합과 연립일차방정식
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앞서 공간에서 한 직선 위에 있지 않은 세 점 를 지나는 평면의 방정식이 임을 설명했다. 가 원점이면 이 평면은 로 나타낼 수 있고, 의 부분공간이다.
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라는 표현은 벡터공간을 다룰 때 아주 중요하다. 이 아이디어를 일반화 하여 다음을 정의할 수 있다.
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정의)
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는 벡터공간이고 는 의 공집합이 아닌 부분집합이라 하자. 유한개의 벡터 와 스칼라 에 대하여 다음을 만족하는 벡터 는 의 일차결합(linear combination)이라 한다.
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이때 는 벡터 의 일차결합이고 은 이 일차결합의 계수(coefficient)이다.
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모든 벡터공간 와 모든 벡터 에 대하여 이다. 영벡터는 공집합이 아닌 모든 부분집합의 일차결합이다.
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(가우스 소거법 상세 설명 생략)
1.
두 방정식의 위치를 바꾼다
2.
방정식에 0이 아닌 상수를 곱한다
3.
상수배해서 얻은 방정식을 다른 방정식에 더한다.
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3.4절에서 이러한 연산이 처음 주어진 연립방정식의 해를 바꾸지 않음을 증명할 것이다. 이러한 과정을 반복하는 이유는 주어진 연립일차방정식이 다음 성질을 가지도록 하기 위해서이다.
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성질 1) 각 방정식에서 처음으로 등장하는 0이 아닌 계수는 1이다.
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성질 2) 어떤 미지수가 어떤 방정식에서 처음 등장하면 (계수가 처음으로 0이 아니면) 그 외의 다른 행에서는 등장하지 않는다. 다시 말해, 다른 행에서 그 미지수에 붙은 계수는 0이다.
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성질 3) 처음 등장하는 미지수(계수가 처음으로 0이 아닌 미지수)의 첨자는 다음 행으로 내려갈 때마다 반드시 증가한다.
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정의)
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벡터공간 의 공집합이 아닌 부분집합 를 생각하자. 의 생성공간(span)은 의 벡터를 사용하여 만든 모든 일차결합의 집합이며 라 표기한다. 편의를 위해 로 정의한다.
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예컨대 에서 집합 의 생성공간은 형태의 벡터로 이루어진 집합이다. (단 는 스칼라)
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의 생성공간은 평면이고 의 부분공간이다.
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정리 1.5)
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벡터공간 의 임의의 부분집합 의 생성공간은 를 포함하는 (의) 부분공간이다. 또한 를 포함하는 의 부분공간은 반드시 의 생성공간을 포함한다.
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증명)
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인 경우 이다. 는 를 포함하고 의 모든 부분공간에 포함된다.
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가 아닌 경우를 생각하자. 에 대하여 이다.
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에 대하여 다음 등식을 만족하는 벡터 와 스칼라 이 존재한다.
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이때 이다. 임의의 스칼라 에 대하여 은 명백히 의 일차결합이다. 다시 말해 와 는 에 속한다. 따라서 는 의 부분공간이다.
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이면 이므로 는 를 포함한다.
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이제 의 부분공간 가 를 포함한다고 가정하자. 이면 와 스칼라 에 대하여 는 다음과 같이 쓸 수 있다.
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이므로 이다. 1.3절 연습문제 20의 결과에 따르면 이다. 는 에서 임의로 꺼낸 벡터이므로 이다.
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정의)
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벡터공간 의 부분집합 에 대하여 이면 는 를 생성한다(generate 또는 span). 이 경우 의 벡터가 를 생성한다고 말하기도 한다.
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예제 3)
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세 벡터 은 을 생성한다. 다시 말해 의 임의의 벡터 은 이 세 벡터의 일차결합이다. 이를 증명하기 위해서는 다음 조건을 만족하는 스칼라 를 찾으면 충분하다.
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이때 는 다음과 같다.
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예제 4)
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다항식 는 를 생성한다. 세 다항식은 모두 에 속하고 임의의 다항식 는 세 다항식의 일차결합이기 때문이다. 이를테면 다음과 같이 나나탤 수 있다.
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예제 5)
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다음 네 행렬은 를 생성한다.
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다시 말해 임의의 행렬 는 다음과 같이 네 행렬의 일차 결합이다.
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반면 은 를 생성하지 못한다. 세 행렬의 대각성분이 모두 같기 때문에 일차결합한 행렬도 마찬가지로 대각성분이 같다. 따라서 에 세 행렬의 일차결합으로 표현되지 않은 행렬이 존재한다.
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앞서 한 직선 위에 있지 않은 세 점 중 한 점이 원점일 때, 평면의 방정식이 임을 설명했다. 이 의 일차결합이기 위한 필요충분조건은 가 와 를 포함하는 평면에 포함되는 것이다.
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일반적으로 서로 다른 부분집합이 같은 부분공간 를 생성할 수 있다. 그렇다면 를 생성하는 가장 작은 (의) 부분집합은 무엇일까? 다음 절에서 생성집합에서 불필요한 벡터를 제외하여 더 작은 생성 집합을 얻는 방법을 공부할 것이다.