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프리드버그 선형대수학/ 벡터공간/ 일차결합과 연립일차방정식

일차결합과 연립일차방정식

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앞서 공간에서 한 직선 위에 있지 않은 세 점 A,B,CA, B, C를 지나는 평면의 방정식이 x=A+su+tvx = A + su + tv임을 설명했다. AA가 원점이면 이 평면은 x=su+tvx = su + tv로 나타낼 수 있고, R3R^{3}의 부분공간이다.
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su+tvsu + tv라는 표현은 벡터공간을 다룰 때 아주 중요하다. 이 아이디어를 일반화 하여 다음을 정의할 수 있다.
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정의)
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VV는 벡터공간이고 SS는 VV의 공집합이 아닌 부분집합이라 하자. 유한개의 벡터 u1,u2,...,un∈Su_{1}, u_{2}, ... , u_{n} \in S와 스칼라 a1,a2,...,ana_{1}, a_{2}, ... , a_{n}에 대하여 다음을 만족하는 벡터 v∈Vv \in V 는 SS의 일차결합(linear combination)이라 한다.
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v=a1u1+a2u2+...+anunv = a_{1} u_{1} + a_{2} u_{2} + ... + a_{n} u_{n}
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이때 vv는 벡터 u1,u2,...,unu_{1}, u_{2}, ... , u_{n}의 일차결합이고 a1,a2,...,ana_{1}, a_{2}, ... , a_{n}은 이 일차결합의 계수(coefficient)이다.
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모든 벡터공간 VV와 모든 벡터 v∈Vv \in V에 대하여 0v=00v = 0이다. 영벡터는 공집합이 아닌 모든 부분집합의 일차결합이다.
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(가우스 소거법 상세 설명 생략)
1.
두 방정식의 위치를 바꾼다
2.
방정식에 0이 아닌 상수를 곱한다
3.
상수배해서 얻은 방정식을 다른 방정식에 더한다.
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3.4절에서 이러한 연산이 처음 주어진 연립방정식의 해를 바꾸지 않음을 증명할 것이다. 이러한 과정을 반복하는 이유는 주어진 연립일차방정식이 다음 성질을 가지도록 하기 위해서이다.
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성질 1) 각 방정식에서 처음으로 등장하는 0이 아닌 계수는 1이다.
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성질 2) 어떤 미지수가 어떤 방정식에서 처음 등장하면 (계수가 처음으로 0이 아니면) 그 외의 다른 행에서는 등장하지 않는다. 다시 말해, 다른 행에서 그 미지수에 붙은 계수는 0이다.
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성질 3) 처음 등장하는 미지수(계수가 처음으로 0이 아닌 미지수)의 첨자는 다음 행으로 내려갈 때마다 반드시 증가한다.
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정의)
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벡터공간 VV의 공집합이 아닌 부분집합 SS를 생각하자. SS의 생성공간(span)은 SS의 벡터를 사용하여 만든 모든 일차결합의 집합이며 span(S)span(S)라 표기한다. 편의를 위해 span(∅)={0}span(\emptyset) = \{ 0 \}로 정의한다.
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예컨대 R3R^{3}에서 집합 {(1,0,0),(0,1,0)}\{ (1, 0, 0), (0, 1, 0) \}의 생성공간은 a(1,0,0)+b(0,1,0)=(a,b,0)a(1, 0, 0) + b(0, 1, 0) = (a, b, 0) 형태의 벡터로 이루어진 집합이다. (단 a,ba, b는 스칼라)
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{(1,0,0),(0,1,0)}\{ (1, 0, 0), (0, 1, 0) \}의 생성공간은 xyxy평면이고 R3R^{3}의 부분공간이다.
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정리 1.5)
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벡터공간 VV의 임의의 부분집합 SS의 생성공간은 SS를 포함하는 (VV의) 부분공간이다. 또한 SS를 포함하는 VV의 부분공간은 반드시 SS의 생성공간을 포함한다.
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증명)
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S=∅S = \emptyset인 경우 span(∅)={0}span(\emptyset) = \{ 0 \}이다. {0}\{ 0 \}는 S=∅S = \emptyset를 포함하고 VV의 모든 부분공간에 포함된다.
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S≠∅S \neq \emptyset가 아닌 경우를 생각하자. z∈Sz \in S에 대하여 0z=0∈span(S)0z = 0 \in span(S)이다.
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x,y∈span(S)x, y \in span(S)에 대하여 다음 등식을 만족하는 벡터 u1,u2,...um,v1,v2,...,vn∈Su_{1}, u_{2}, ... u_{m}, v_{1}, v_{2}, ... , v_{n} \in S와 스칼라 a1,a2,...,am,b1,b2,...,bna_{1}, a_{2}, ... , a_{m}, b_{1}, b_{2}, ... , b_{n}이 존재한다.
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x=a1u1+a2u2+...+amumx = a_{1}u_{1} + a_{2} u_{2} + ... + a_{m} u_{m}
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y=b1v1+b2v2+...+bnvny = b_{1} v_{1} + b_{2} v_{2} + ... + b_{n} v_{n}
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이때 x+y=a1u1+a2u2+...+amum+b1v1+b2v2+...+bnvnx + y = a_{1} u_{1} + a_{2} u_{2} + ... + a_{m} u_{m} + b_{1} v_{1} + b_{2} v_{2} + ... + b_{n} v_{n}이다. 임의의 스칼라 cc에 대하여 cx=(ca1)u1+(ca2)u2+...+(cam)umcx = (ca_{1})u_{1} + (ca_{2})u_{2} + ... + (ca_{m})u_{m} 은 명백히 SS의 일차결합이다. 다시 말해 x+yx + y와 cxcx는 span(S)span(S)에 속한다. 따라서 span(S)span(S)는 VV의 부분공간이다.
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v∈Sv \in S이면 v=1v∈span(S)v = 1 v \in span(S)이므로 span(S)span(S)는 SS를 포함한다.
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이제 VV의 부분공간 WW가 SS를 포함한다고 가정하자. w∈span(S)w \in span(S)이면 w1,w2,...,wk∈Sw_{1}, w_{2}, ... , w_{k} \in S와 스칼라 c1,c2,...,ckc_{1}, c_{2}, ... , c_{k}에 대하여 ww는 다음과 같이 쓸 수 있다.
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w=c1w1+c2w2+...+ckwkw = c_{1} w_{1} + c_{2} w_{2} + ... + c_{k} w_{k}
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S⊆WS \subseteq W이므로 w1,w2,...,wk∈Ww_{1}, w_{2}, ... , w_{k} \in W이다. 1.3절 연습문제 20의 결과에 따르면 w=c1w1+c2w2+...+ckwk∈Ww = c_{1} w_{1} + c_{2} w_{2} + ... + c_{k} w_{k} \in W이다. ww는 span(S)span(S)에서 임의로 꺼낸 벡터이므로 span(S)⊆Wspan(S) \subseteq W이다.
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정의)
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벡터공간 VV의 부분집합 SS에 대하여 span(S)=Vspan(S) = V이면 SS는 VV를 생성한다(generate 또는 span). 이 경우 SS의 벡터가 VV를 생성한다고 말하기도 한다.
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예제 3)
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세 벡터 (1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)은 R3R^{3}을 생성한다. 다시 말해 R3R^{3}의 임의의 벡터 (a1,a2,a3)(a_{1}, a_{2}, a_{3})은 이 세 벡터의 일차결합이다. 이를 증명하기 위해서는 다음 조건을 만족하는 스칼라 r,s,tr, s, t를 찾으면 충분하다.
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r(1,1,0)+s(1,0,1)+t(0,1,1)=(a1,a2,a3)r(1, 1, 0) + s(1, 0, 1) + t(0, 1, 1) = (a_{1}, a_{2}, a_{3})
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이때 r,t,sr, t, s 는 다음과 같다.
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r=12(a1+a2−a3)r = {1 \over 2}(a_{1} + a_{2} - a_{3})
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s=12(a1−a2+a3)s = {1 \over 2}(a_{1} - a_{2} + a_{3})
▪
t=12(−a1+a2+a3)t = {1 \over 2}(-a_{1} + a_{2} + a_{3})
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예제 4)
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다항식 x2+3x−2,2x2+5x−3,−x2−4x+4x^{2} + 3x - 2, 2x^{2} + 5x - 3, -x^{2} - 4x + 4는 P2(R)P_{2}(R)를 생성한다. 세 다항식은 모두 P2(R)P_{2}(R)에 속하고 임의의 다항식 ax2+bx+c∈P2(R)ax^{2} + bx + c \in P_{2}(R)는 세 다항식의 일차결합이기 때문이다. 이를테면 다음과 같이 나나탤 수 있다.
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(−8a+5b+3c)(x2+3x−2)+(4a−2b−c)(2x2+5x−3)+(−a+b+c)(−x2−4x+4)=ax2+bx+c(-8a + 5b + 3c)(x^{2} + 3x - 2) + (4a-2b-c)(2x^{2} + 5x - 3) \\ + (-a + b + c)(-x^{2} - 4x + 4) = ax^{2} + bx + c
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예제 5)
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다음 네 행렬은 M2×2(R)M_{2 \times 2}(R)를 생성한다.
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(1110),(1101),(1011),(0111)\left( \begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right), \left( \begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right), \left( \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{array} \right), \left( \begin{array}{rr} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} \right)
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다시 말해 임의의 행렬 A∈M2×2(R)A \in M_{2 \times 2}(R)는 다음과 같이 네 행렬의 일차 결합이다.
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(a11a12a21a22)=(13a11+13a12+13a21−23a22)(1110)+(13a11+13a12−23a21+13a22)(1110)+(13a11−23a12+13a21+13a22)(1110)+(−23a11+13a12+13a21+13a22)(1110)\left( \begin{array}{rr} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right) = ({1 \over 3}a_{11} + {1 \over 3}a_{12} + {1 \over 3} a_{21} - {2 \over 3} a_{22}) \left( \begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right) \\ + ({1 \over 3}a_{11} + {1 \over 3}a_{12} - {2 \over 3} a_{21} + {1 \over 3} a_{22}) \left( \begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right) \\ + ({1 \over 3}a_{11} - {2 \over 3}a_{12} + {1 \over 3} a_{21} + {1 \over 3} a_{22}) \left( \begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right) \\ + (-{2 \over 3}a_{11} + {1 \over 3}a_{12} + {1 \over 3} a_{21} + {1 \over 3} a_{22}) \left( \begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right)
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반면 (1001),(1101),(1011)\left( \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right), \left( \begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right), \left( \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{array} \right)은 M2×2(R)M_{2 \times 2}(R)를 생성하지 못한다. 세 행렬의 대각성분이 모두 같기 때문에 일차결합한 행렬도 마찬가지로 대각성분이 같다. 따라서 M2×2(R)M_{2 \times 2}(R)에 세 행렬의 일차결합으로 표현되지 않은 행렬이 존재한다.
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앞서 한 직선 위에 있지 않은 세 점 중 한 점이 원점일 때, 평면의 방정식이 x=su+tv(u,v∈R3,s,t∈F)x = su + tv (u, v \in R^{3}, s, t \in F)임을 설명했다. x∈R3x \in R^{3}이 u,v∈R3u, v \in R^{3}의 일차결합이기 위한 필요충분조건은 xx가 uu와 vv를 포함하는 평면에 포함되는 것이다.
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일반적으로 서로 다른 부분집합이 같은 부분공간 WW를 생성할 수 있다. 그렇다면 WW를 생성하는 가장 작은 (WW의) 부분집합은 무엇일까? 다음 절에서 생성집합에서 불필요한 벡터를 제외하여 더 작은 생성 집합을 얻는 방법을 공부할 것이다.
Made with