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프리드버그 선형대수학/ 벡터공간/ 일차결합과 연립일차방정식

일차결합과 연립일차방정식

앞서 공간에서 한 직선 위에 있지 않은 세 점 A,B,CA, B, C를 지나는 평면의 방정식이 x=A+su+tvx = A + su + tv임을 설명했다. AA가 원점이면 이 평면은 x=su+tvx = su + tv로 나타낼 수 있고, R3R^{3}의 부분공간이다.
su+tvsu + tv라는 표현은 벡터공간을 다룰 때 아주 중요하다. 이 아이디어를 일반화 하여 다음을 정의할 수 있다.
정의)
VV는 벡터공간이고 SSVV의 공집합이 아닌 부분집합이라 하자. 유한개의 벡터 u1,u2,...,unSu_{1}, u_{2}, ... , u_{n} \in S와 스칼라 a1,a2,...,ana_{1}, a_{2}, ... , a_{n}에 대하여 다음을 만족하는 벡터 vVv \in VSS의 일차결합(linear combination)이라 한다.
v=a1u1+a2u2+...+anunv = a_{1} u_{1} + a_{2} u_{2} + ... + a_{n} u_{n}
이때 vv는 벡터 u1,u2,...,unu_{1}, u_{2}, ... , u_{n}의 일차결합이고 a1,a2,...,ana_{1}, a_{2}, ... , a_{n}은 이 일차결합의 계수(coefficient)이다.
모든 벡터공간 VV와 모든 벡터 vVv \in V에 대하여 0v=00v = 0이다. 영벡터는 공집합이 아닌 모든 부분집합의 일차결합이다.
(가우스 소거법 상세 설명 생략)
1.
두 방정식의 위치를 바꾼다
2.
방정식에 0이 아닌 상수를 곱한다
3.
상수배해서 얻은 방정식을 다른 방정식에 더한다.
3.4절에서 이러한 연산이 처음 주어진 연립방정식의 해를 바꾸지 않음을 증명할 것이다. 이러한 과정을 반복하는 이유는 주어진 연립일차방정식이 다음 성질을 가지도록 하기 위해서이다.
성질 1) 각 방정식에서 처음으로 등장하는 0이 아닌 계수는 1이다.
성질 2) 어떤 미지수가 어떤 방정식에서 처음 등장하면 (계수가 처음으로 0이 아니면) 그 외의 다른 행에서는 등장하지 않는다. 다시 말해, 다른 행에서 그 미지수에 붙은 계수는 0이다.
성질 3) 처음 등장하는 미지수(계수가 처음으로 0이 아닌 미지수)의 첨자는 다음 행으로 내려갈 때마다 반드시 증가한다.
정의)
벡터공간 VV의 공집합이 아닌 부분집합 SS를 생각하자. SS의 생성공간(span)은 SS의 벡터를 사용하여 만든 모든 일차결합의 집합이며 span(S)span(S)라 표기한다. 편의를 위해 span()={0}span(\emptyset) = \{ 0 \}로 정의한다.
예컨대 R3R^{3}에서 집합 {(1,0,0),(0,1,0)}\{ (1, 0, 0), (0, 1, 0) \}의 생성공간은 a(1,0,0)+b(0,1,0)=(a,b,0)a(1, 0, 0) + b(0, 1, 0) = (a, b, 0) 형태의 벡터로 이루어진 집합이다. (단 a,ba, b는 스칼라)
{(1,0,0),(0,1,0)}\{ (1, 0, 0), (0, 1, 0) \}의 생성공간은 xyxy평면이고 R3R^{3}의 부분공간이다.
정리 1.5)
벡터공간 VV의 임의의 부분집합 SS의 생성공간은 SS를 포함하는 (VV의) 부분공간이다. 또한 SS를 포함하는 VV의 부분공간은 반드시 SS의 생성공간을 포함한다.
증명)
S=S = \emptyset인 경우 span()={0}span(\emptyset) = \{ 0 \}이다. {0}\{ 0 \}S=S = \emptyset를 포함하고 VV의 모든 부분공간에 포함된다.
SS \neq \emptyset가 아닌 경우를 생각하자. zSz \in S에 대하여 0z=0span(S)0z = 0 \in span(S)이다.
x,yspan(S)x, y \in span(S)에 대하여 다음 등식을 만족하는 벡터 u1,u2,...um,v1,v2,...,vnSu_{1}, u_{2}, ... u_{m}, v_{1}, v_{2}, ... , v_{n} \in S와 스칼라 a1,a2,...,am,b1,b2,...,bna_{1}, a_{2}, ... , a_{m}, b_{1}, b_{2}, ... , b_{n}이 존재한다.
x=a1u1+a2u2+...+amumx = a_{1}u_{1} + a_{2} u_{2} + ... + a_{m} u_{m}
y=b1v1+b2v2+...+bnvny = b_{1} v_{1} + b_{2} v_{2} + ... + b_{n} v_{n}
이때 x+y=a1u1+a2u2+...+amum+b1v1+b2v2+...+bnvnx + y = a_{1} u_{1} + a_{2} u_{2} + ... + a_{m} u_{m} + b_{1} v_{1} + b_{2} v_{2} + ... + b_{n} v_{n}이다. 임의의 스칼라 cc에 대하여 cx=(ca1)u1+(ca2)u2+...+(cam)umcx = (ca_{1})u_{1} + (ca_{2})u_{2} + ... + (ca_{m})u_{m} 은 명백히 SS의 일차결합이다. 다시 말해 x+yx + ycxcxspan(S)span(S)에 속한다. 따라서 span(S)span(S)VV의 부분공간이다.
vSv \in S이면 v=1vspan(S)v = 1 v \in span(S)이므로 span(S)span(S)SS를 포함한다.
이제 VV의 부분공간 WWSS를 포함한다고 가정하자. wspan(S)w \in span(S)이면 w1,w2,...,wkSw_{1}, w_{2}, ... , w_{k} \in S와 스칼라 c1,c2,...,ckc_{1}, c_{2}, ... , c_{k}에 대하여 ww는 다음과 같이 쓸 수 있다.
w=c1w1+c2w2+...+ckwkw = c_{1} w_{1} + c_{2} w_{2} + ... + c_{k} w_{k}
SWS \subseteq W이므로 w1,w2,...,wkWw_{1}, w_{2}, ... , w_{k} \in W이다. 1.3절 연습문제 20의 결과에 따르면 w=c1w1+c2w2+...+ckwkWw = c_{1} w_{1} + c_{2} w_{2} + ... + c_{k} w_{k} \in W이다. wwspan(S)span(S)에서 임의로 꺼낸 벡터이므로 span(S)Wspan(S) \subseteq W이다.
정의)
벡터공간 VV의 부분집합 SS에 대하여 span(S)=Vspan(S) = V이면 SSVV를 생성한다(generate 또는 span). 이 경우 SS의 벡터가 VV를 생성한다고 말하기도 한다.
예제 3)
세 벡터 (1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)R3R^{3}을 생성한다. 다시 말해 R3R^{3}의 임의의 벡터 (a1,a2,a3)(a_{1}, a_{2}, a_{3})은 이 세 벡터의 일차결합이다. 이를 증명하기 위해서는 다음 조건을 만족하는 스칼라 r,s,tr, s, t를 찾으면 충분하다.
r(1,1,0)+s(1,0,1)+t(0,1,1)=(a1,a2,a3)r(1, 1, 0) + s(1, 0, 1) + t(0, 1, 1) = (a_{1}, a_{2}, a_{3})
이때 r,t,sr, t, s 는 다음과 같다.
r=12(a1+a2a3)r = {1 \over 2}(a_{1} + a_{2} - a_{3})
s=12(a1a2+a3)s = {1 \over 2}(a_{1} - a_{2} + a_{3})
t=12(a1+a2+a3)t = {1 \over 2}(-a_{1} + a_{2} + a_{3})
예제 4)
다항식 x2+3x2,2x2+5x3,x24x+4x^{2} + 3x - 2, 2x^{2} + 5x - 3, -x^{2} - 4x + 4P2(R)P_{2}(R)를 생성한다. 세 다항식은 모두 P2(R)P_{2}(R)에 속하고 임의의 다항식 ax2+bx+cP2(R)ax^{2} + bx + c \in P_{2}(R)는 세 다항식의 일차결합이기 때문이다. 이를테면 다음과 같이 나나탤 수 있다.
(8a+5b+3c)(x2+3x2)+(4a2bc)(2x2+5x3)+(a+b+c)(x24x+4)=ax2+bx+c(-8a + 5b + 3c)(x^{2} + 3x - 2) + (4a-2b-c)(2x^{2} + 5x - 3) \\ + (-a + b + c)(-x^{2} - 4x + 4) = ax^{2} + bx + c
예제 5)
다음 네 행렬은 M2×2(R)M_{2 \times 2}(R)를 생성한다.
(1110),(1101),(1011),(0111)\left( \begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right), \left( \begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right), \left( \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{array} \right), \left( \begin{array}{rr} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} \right)
다시 말해 임의의 행렬 AM2×2(R)A \in M_{2 \times 2}(R)는 다음과 같이 네 행렬의 일차 결합이다.
(a11a12a21a22)=(13a11+13a12+13a2123a22)(1110)+(13a11+13a1223a21+13a22)(1110)+(13a1123a12+13a21+13a22)(1110)+(23a11+13a12+13a21+13a22)(1110)\left( \begin{array}{rr} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right) = ({1 \over 3}a_{11} + {1 \over 3}a_{12} + {1 \over 3} a_{21} - {2 \over 3} a_{22}) \left( \begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right) \\ + ({1 \over 3}a_{11} + {1 \over 3}a_{12} - {2 \over 3} a_{21} + {1 \over 3} a_{22}) \left( \begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right) \\ + ({1 \over 3}a_{11} - {2 \over 3}a_{12} + {1 \over 3} a_{21} + {1 \over 3} a_{22}) \left( \begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right) \\ + (-{2 \over 3}a_{11} + {1 \over 3}a_{12} + {1 \over 3} a_{21} + {1 \over 3} a_{22}) \left( \begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right)
반면 (1001),(1101),(1011)\left( \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right), \left( \begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right), \left( \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{array} \right)M2×2(R)M_{2 \times 2}(R)를 생성하지 못한다. 세 행렬의 대각성분이 모두 같기 때문에 일차결합한 행렬도 마찬가지로 대각성분이 같다. 따라서 M2×2(R)M_{2 \times 2}(R)에 세 행렬의 일차결합으로 표현되지 않은 행렬이 존재한다.
앞서 한 직선 위에 있지 않은 세 점 중 한 점이 원점일 때, 평면의 방정식이 x=su+tv(u,vR3,s,tF)x = su + tv (u, v \in R^{3}, s, t \in F)임을 설명했다. xR3x \in R^{3}u,vR3u, v \in R^{3}의 일차결합이기 위한 필요충분조건은 xxuuvv를 포함하는 평면에 포함되는 것이다.
일반적으로 서로 다른 부분집합이 같은 부분공간 WW를 생성할 수 있다. 그렇다면 WW를 생성하는 가장 작은 (WW의) 부분집합은 무엇일까? 다음 절에서 생성집합에서 불필요한 벡터를 제외하여 더 작은 생성 집합을 얻는 방법을 공부할 것이다.