일차독립인 극대 부분집합
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이번 절에서는 1.6절의 중요한 결과를 무한차원 벡터공간에서 성립하는 형태로 일반화한다. 가장 중요한 목표는 '모든 벡터공간은 기저가 존재함'을 증명하는 것이다.
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무한차원 벡터공간을 다룰 때 이 사실은 매우 중요하다. 무한차원 벡터공간의 기저를 구체적으로 기술하기란 매우 어렵기 때문이다.
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유리수체에서 실수 벡터공간을 생각해 보자. 이 벡터공간의 기저는 어떤 모양일까? 구체적인 모양을 생각하기는 무척 힘들지만, 그럼에도 불구하고 기저는 반드시 존재한다.
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1.6절에서 증명한 결과를 무한차원으로 일반화하는데 가장 큰 걸림돌은 수학적 귀납법을 더는 사용할 수 없다는 점이다. 대신 여기서 하우스도르프 극대원리를 사용할 것이다.
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정의)
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를 집합족(family)이라 하자. 다음 조건을 만족하는 의 멤버 은 (집합의 포함 관계에 대한) 극대(maximal)이다.
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을 포함하는 의 멤버는 오직 뿐이다.
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예제 1)
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공집합이 아닌 집합 의 모든 부분집합을 원소로 가지는 집합족 를 생각하자. 이 집합족은 의 멱집합(power set)이라 한다. 집합 는 당연히 의 극대원소(maximal element)이다.
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예제 2)
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공집합이 아닌 두 집합 가 서로소일 때, (두 집합의) 멱집합의 합집합으로 정의한 집합족 를 생각하자. 두 집합 와 는 모두 집합족 의 극대원소이다.
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예제 3)
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무한집합 의 모든 유한 부분집합을 원소로 가지는 집합족 를 생각하자. 집합족 는 극대원소를 가지지 않는다.
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왜 그럴까? 집합족 에 속한 어떤 집합 을 가져오더라도 에 속하지 않은 를 사용하여 (의 멤버인) 의 유한 부분집합 을 만들 수 있다. 이 집합은 을 포함하는 더 큰 집합이다.
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정의)
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다음 조건을 만족하는 집합족(collection) 는 사슬(chain)이라 한다.
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의 멤버 를 임의로 선택할 때 또는 가 반드시 성립한다.
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예제 4)
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집합 을 생각하자. (단 은 자연수) 집합족(collection) 은 사슬이다. 이기 위한 필요충분조건은 이다.
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하우스도르프 극대원리(Hausdorff maximal principle)
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집합족(family) 에 포함되는 임의의 사슬 를 가져왔을 때, 의 모든 멤버를 포함하는 의 멤버가 존재하면 에는 극대원소가 있다.
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하우스도르프 극대원리는 집합족이 특정한 조건을 만족하면 극대원소가 반드시 존재함을 보장한다. 이제 극대원리의 관점에서 기저의 정의를 다른 형태로 표현하자. 정리 1.12에 의하면 다음 정의는 기저의 정의와 같다.
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정의) 극대원리의 관점에서 기저의 정의를 다른 형태로 표현
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벡터공간 의 부분집합 를 생각하자. 의 일차독립인 극대 부분집합(maximal linearly independent subset) 는 다음 두 가지 조건을 만족하는 의 부분집합이다.
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집합 는 일차독립이다.
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집합 를 포함하고 일차독립인 (의) 부분집합은 오직 뿐이다.
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예제 5)
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1.4절의 예제 2에서는 집합 가 다음과 같이 주어진 집합 의 일차독립인 극대 부분집합임을 보였다.
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더 나아가 두 개의 다항식으로 구성된 의 부분집합은 항상 의 일차독립인 극대 부분집합임을 보일 수 있다. 일반적으로 일차독립인 극대 부분집합은 유일하지 않다.
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벡터공간 의 기저 는 일차독립인 극대 부분집합이다. 왜 그럴까?
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정의에 따르면 는 당연히 일차독립이다.
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이면 는 정리 1.7에 의해 일차종속이다. 이기 때문이다.
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정리 1.12)
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는 벡터공간이고, 부분집합 는 를 생성한다. 가 의 일차독립인 극대 부분집합이면 는 의 기저이다.
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증명)
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가 의 일차독립인 극대 부분집합이라 하자. 는 일차독립이므로 가 를 생성함을 보이면 충분하다.
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라 가정하자. 그렇지 않으면 인 가 존재한다.
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정리 1.7에 의해 는 일차독립이고 가 극대라는 가정에 모순이다.
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따라서 이고 는 를 생성하므로 정리 1.5로부터 이다.
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기저와 '일차독립인 극대 부분집합'은 동치이다. 즉 모든 벡터공간마다 '일차독립인 극대 부분집합'이 존재함을 보이는 것과 모든 벡터공간이 기저를 가짐을 보이는 것은 같다. 이 결과는 다음 정리에서 바로 이끌어낼 수 있다.
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정리 1.13)
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벡터공간 와 일차독립인 부분집합 를 생각하자. 를 포함하는 의 (일차독립인) 극대 부분집합이 존재한다.
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증명)
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를 포함하는 일차독립인 부분집합()을 원소로 가지는 집합족을 라 하자. 가 극대원소를 가짐을 보이고자 한다. 에서 사슬 를 임의로 하나 꺼낼 때, 의 모든 멤버를 포함하는 의 멤버 가 존재함을 보일 것이다.
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가 공집합이면 로 잡는다. 가 공집합이 아니면 에 속한 모든 멤버의 합집합을 로 잡는다. 는 확실히 의 모든 멤버를 포함한다. (가 일차독립인 의 부분집합이고 를 포함함)을 보이면 충분하다. 사슬 의 모든 멤버는 를 포함하는 의 부분집합이므로 이다.
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가 일차독립임을 보이자. 이고 은 스칼라이며, 이라 가정하자. 이므로, 인 멤버 가 존재한다. 는 사슬이므로 모든 를 포함하는 집합이 존재한다. 이 집합을 라 하자. 즉, 모든 에 대하여 이다. 는 일차독립이므로 은 임을 의미한다. 따라서 는 일차독립이다.
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하우스도르프 극대원리에 의해 에는 극대원소가 있다. 이 극대원소는 의 일차독립인 극대 부분집합이며 를 포함한다.
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따름정리) 모든 벡터공간은 기저를 포함한다.
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두 집합 사이에 일대일대응이 존재할 때, 두 집합은 기수(cardinality)가 같다.
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대체정리의 따름정리 1을 무한차원으로 유추하면 다음의 참인 명제를 생각할 수 있다.
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무한차원 벡터공간이 주어질 때, 무한차원 벡터공간의 모든 기저는 기수가 같다.