프리드버그 선형대수학/ 벡터공간/ 일차독립인 극대부분집합

일차독립인 극대 부분집합

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이번 절에서는 1.6절의 중요한 결과를 무한차원 벡터공간에서 성립하는 형태로 일반화한다. 가장 중요한 목표는 '모든 벡터공간은 기저가 존재함'을 증명하는 것이다.

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무한차원 벡터공간을 다룰 때 이 사실은 매우 중요하다. 무한차원 벡터공간의 기저를 구체적으로 기술하기란 매우 어렵기 때문이다.

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유리수체에서 실수 벡터공간을 생각해 보자. 이 벡터공간의 기저는 어떤 모양일까? 구체적인 모양을 생각하기는 무척 힘들지만, 그럼에도 불구하고 기저는 반드시 존재한다.

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1.6절에서 증명한 결과를 무한차원으로 일반화하는데 가장 큰 걸림돌은 수학적 귀납법을 더는 사용할 수 없다는 점이다. 대신 여기서 하우스도르프 극대원리를 사용할 것이다.

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정의)

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FFF를 집합족(family)이라 하자. 다음 조건을 만족하는 FFF의 멤버 MMM은 (집합의 포함 관계에 대한) 극대(maximal)이다.

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MMM을 포함하는 FFF의 멤버는 오직 MMM 뿐이다.

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예제 1)

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공집합이 아닌 집합 SSS의 모든 부분집합을 원소로 가지는 집합족 FFF를 생각하자. 이 집합족은 SSS의 멱집합(power set)이라 한다. 집합 SSS는 당연히 FFF의 극대원소(maximal element)이다.

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예제 2)

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공집합이 아닌 두 집합 S,TS, TS,T가 서로소일 때, (두 집합의) 멱집합의 합집합으로 정의한 집합족 FFF를 생각하자. 두 집합 SSS와 TTT는 모두 집합족 FFF의 극대원소이다.

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예제 3)

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무한집합 SSS의 모든 유한 부분집합을 원소로 가지는 집합족 FFF를 생각하자. 집합족 FFF는 극대원소를 가지지 않는다.

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왜 그럴까? 집합족 FFF에 속한 어떤 집합 MMM을 가져오더라도 MMM에 속하지 않은 s∈Ss \in Ss∈S를 사용하여 (FFF의 멤버인) SSS의 유한 부분집합 M∪{s}M \cup \{ s \}M∪{s}을 만들 수 있다. 이 집합은 MMM을 포함하는 더 큰 집합이다.

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정의)

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다음 조건을 만족하는 집합족(collection) CCC는 사슬(chain)이라 한다.

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CCC의 멤버 A,BA, BA,B를 임의로 선택할 때 A⊆BA \subseteq BA⊆B 또는 B⊆AB \subseteq AB⊆A가 반드시 성립한다.

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예제 4)

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집합 An={1,2,...,n}A_{n} = \{ 1, 2, ... , n \}An​={1,2,...,n}을 생각하자. (단 nnn은 자연수) 집합족(collection) C={An:n=1,2,3,...}C = \{ A_{n} : n = 1, 2, 3, ... \}C={An​:n=1,2,3,...}은 사슬이다. Am⊆AnA_{m} \subseteq A_{n}Am​⊆An​이기 위한 필요충분조건은 m≤nm \leq nm≤n이다.

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하우스도르프 극대원리(Hausdorff maximal principle)

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집합족(family) FFF에 포함되는 임의의 사슬 CCC를 가져왔을 때, CCC의 모든 멤버를 포함하는 FFF의 멤버가 존재하면 FFF에는 극대원소가 있다.

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하우스도르프 극대원리는 집합족이 특정한 조건을 만족하면 극대원소가 반드시 존재함을 보장한다. 이제 극대원리의 관점에서 기저의 정의를 다른 형태로 표현하자. 정리 1.12에 의하면 다음 정의는 기저의 정의와 같다.

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정의) 극대원리의 관점에서 기저의 정의를 다른 형태로 표현

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벡터공간 FFF의 부분집합 FFF를 생각하자. FFF의 일차독립인 극대 부분집합(maximal linearly independent subset) BBB는 다음 두 가지 조건을 만족하는 SSS의 부분집합이다.

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집합 BBB는 일차독립이다.

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집합 BBB를 포함하고 일차독립인 (SSS의) 부분집합은 오직 BBB 뿐이다.

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예제 5)

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1.4절의 예제 2에서는 집합 {x3−2x2−5x−3,3x3−5x2−4x−9}\{ x^{3} - 2x^{2} - 5x - 3, 3x^{3} - 5x^{2} - 4x - 9 \}{x3−2x2−5x−3,3x3−5x2−4x−9}가 다음과 같이 주어진 집합 SSS의 일차독립인 극대 부분집합임을 보였다.

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S={2x3−2x2+12x−6,x3−2x2−5x−3,3x3−5x2−4x−9}∈P3(R)S = \{ 2x^{3} - 2x^{2} + 12x - 6, x^{3} - 2x^{2} - 5x - 3, 3x^{3} - 5x^{2} - 4x - 9 \} \in P_{3}(R)S={2x3−2x2+12x−6,x3−2x2−5x−3,3x3−5x2−4x−9}∈P3​(R)

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더 나아가 두 개의 다항식으로 구성된 SSS의 부분집합은 항상 SSS의 일차독립인 극대 부분집합임을 보일 수 있다. 일반적으로 일차독립인 극대 부분집합은 유일하지 않다.

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벡터공간 VVV의 기저 β\betaβ는 일차독립인 극대 부분집합이다. 왜 그럴까?

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정의에 따르면 β\betaβ는 당연히 일차독립이다.

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v∈V,v∉βv \in V, v \notin \betav∈V,v∈/β 이면 β∪{v}\beta \cup \{v\}β∪{v}는 정리 1.7에 의해 일차종속이다. span(β)=Vspan(\beta) = Vspan(β)=V이기 때문이다.

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정리 1.12)

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VVV는 벡터공간이고, 부분집합 SSS는 VVV를 생성한다. β\betaβ가 SSS의 일차독립인 극대 부분집합이면 β\betaβ는 VVV의 기저이다.

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증명)

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β\betaβ가 SSS의 일차독립인 극대 부분집합이라 하자. β\betaβ는 일차독립이므로 β\betaβ가 VVV를 생성함을 보이면 충분하다.

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S⊆span(β)S \subseteq span(\beta)S⊆span(β)라 가정하자. 그렇지 않으면 v∉span(β)v \notin span(\beta)v∈/span(β)인 v∈Sv \in Sv∈S가 존재한다.

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정리 1.7에 의해 β∪{v}\beta \cup \{v\}β∪{v}는 일차독립이고 β\betaβ가 극대라는 가정에 모순이다.

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따라서 S⊆span(β)S \subseteq span(\beta)S⊆span(β)이고 SSS는 VVV를 생성하므로 정리 1.5로부터 span(β)=Vspan(\beta) = Vspan(β)=V이다.

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기저와 '일차독립인 극대 부분집합'은 동치이다. 즉 모든 벡터공간마다 '일차독립인 극대 부분집합'이 존재함을 보이는 것과 모든 벡터공간이 기저를 가짐을 보이는 것은 같다. 이 결과는 다음 정리에서 바로 이끌어낼 수 있다.

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정리 1.13)

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벡터공간 VVV와 일차독립인 부분집합 SSS를 생각하자. SSS를 포함하는 VVV의 (일차독립인) 극대 부분집합이 존재한다.

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증명)

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SSS를 포함하는 일차독립인 부분집합(⊆V\subseteq V⊆V)을 원소로 가지는 집합족을 FFF라 하자. FFF가 극대원소를 가짐을 보이고자 한다. FFF에서 사슬 CCC를 임의로 하나 꺼낼 때, CCC의 모든 멤버를 포함하는 FFF의 멤버 UUU가 존재함을 보일 것이다.

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CCC가 공집합이면 U=SU = SU=S로 잡는다. CCC가 공집합이 아니면 CCC에 속한 모든 멤버의 합집합을 UUU로 잡는다. UUU는 확실히 CCC의 모든 멤버를 포함한다. U∈FU \in FU∈F (UUU가 일차독립인 VVV의 부분집합이고 SSS를 포함함)을 보이면 충분하다. 사슬 CCC의 모든 멤버는 SSS를 포함하는 VVV의 부분집합이므로 S⊆U⊆VS \subseteq U \subseteq VS⊆U⊆V이다.

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UUU가 일차독립임을 보이자. u1,u2,...,un∈Uu_{1}, u_{2}, ... , u_{n} \in Uu1​,u2​,...,un​∈U이고 a1,a2,...,ana_{1}, a_{2}, ... , a_{n}a1​,a2​,...,an​은 스칼라이며, a1u1+a2u2+...+anun=0a_{1} u_{1} + a_{2} u_{2} + ... + a_{n} u_{n} = 0a1​u1​+a2​u2​+...+an​un​=0이라 가정하자. ui∈U(i=1,2,...,n)u_{i} \in U (i = 1, 2, ... , n)ui​∈U(i=1,2,...,n) 이므로, ui∈Aiu_{i} \in A_{i}ui​∈Ai​인 멤버 Ai(∈C)A_{i}(\in C)Ai​(∈C)가 존재한다. CCC는 사슬이므로 모든 AiA_{i}Ai​를 포함하는 집합이 존재한다. 이 집합을 AkA_{k}Ak​라 하자. 즉, 모든 i(i=1,2,...,n)i (i = 1, 2, ... , n)i(i=1,2,...,n)에 대하여 ui∈Aku_{i} \in A_{k}ui​∈Ak​이다. AkA_{k}Ak​는 일차독립이므로 a1u1+a2u2+...+anun=0a_{1} u_{1} + a_{2} u_{2} + ... + a_{n} u_{n} = 0a1​u1​+a2​u2​+...+an​un​=0은 a1=a2=...=an=0a_{1} = a_{2} = ... = a_{n} = 0a1​=a2​=...=an​=0임을 의미한다. 따라서 UUU는 일차독립이다.

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하우스도르프 극대원리에 의해 FFF에는 극대원소가 있다. 이 극대원소는 VVV의 일차독립인 극대 부분집합이며 SSS를 포함한다.

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따름정리) 모든 벡터공간은 기저를 포함한다.

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두 집합 사이에 일대일대응이 존재할 때, 두 집합은 기수(cardinality)가 같다.

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대체정리의 따름정리 1을 무한차원으로 유추하면 다음의 참인 명제를 생각할 수 있다.

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무한차원 벡터공간이 주어질 때, 무한차원 벡터공간의 모든 기저는 기수가 같다.