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프리드버그 선형대수학/ 벡터공간/ 일차독립인 극대부분집합

일차독립인 극대 부분집합

이번 절에서는 1.6절의 중요한 결과를 무한차원 벡터공간에서 성립하는 형태로 일반화한다. 가장 중요한 목표는 '모든 벡터공간은 기저가 존재함'을 증명하는 것이다.
무한차원 벡터공간을 다룰 때 이 사실은 매우 중요하다. 무한차원 벡터공간의 기저를 구체적으로 기술하기란 매우 어렵기 때문이다.
유리수체에서 실수 벡터공간을 생각해 보자. 이 벡터공간의 기저는 어떤 모양일까? 구체적인 모양을 생각하기는 무척 힘들지만, 그럼에도 불구하고 기저는 반드시 존재한다.
1.6절에서 증명한 결과를 무한차원으로 일반화하는데 가장 큰 걸림돌은 수학적 귀납법을 더는 사용할 수 없다는 점이다. 대신 여기서 하우스도르프 극대원리를 사용할 것이다.
정의)
FF를 집합족(family)이라 하자. 다음 조건을 만족하는 FF의 멤버 MM은 (집합의 포함 관계에 대한) 극대(maximal)이다.
MM을 포함하는 FF의 멤버는 오직 MM 뿐이다.
예제 1)
공집합이 아닌 집합 SS의 모든 부분집합을 원소로 가지는 집합족 FF를 생각하자. 이 집합족은 SS의 멱집합(power set)이라 한다. 집합 SS는 당연히 FF의 극대원소(maximal element)이다.
예제 2)
공집합이 아닌 두 집합 S,TS, T가 서로소일 때, (두 집합의) 멱집합의 합집합으로 정의한 집합족 FF를 생각하자. 두 집합 SSTT는 모두 집합족 FF의 극대원소이다.
예제 3)
무한집합 SS의 모든 유한 부분집합을 원소로 가지는 집합족 FF를 생각하자. 집합족 FF는 극대원소를 가지지 않는다.
왜 그럴까? 집합족 FF에 속한 어떤 집합 MM을 가져오더라도 MM에 속하지 않은 sSs \in S를 사용하여 (FF의 멤버인) SS의 유한 부분집합 M{s}M \cup \{ s \}을 만들 수 있다. 이 집합은 MM을 포함하는 더 큰 집합이다.
정의)
다음 조건을 만족하는 집합족(collection) CC는 사슬(chain)이라 한다.
CC의 멤버 A,BA, B를 임의로 선택할 때 ABA \subseteq B 또는 BAB \subseteq A가 반드시 성립한다.
예제 4)
집합 An={1,2,...,n}A_{n} = \{ 1, 2, ... , n \}을 생각하자. (단 nn은 자연수) 집합족(collection) C={An:n=1,2,3,...}C = \{ A_{n} : n = 1, 2, 3, ... \}은 사슬이다. AmAnA_{m} \subseteq A_{n}이기 위한 필요충분조건은 mnm \leq n이다.
하우스도르프 극대원리(Hausdorff maximal principle)
집합족(family) FF에 포함되는 임의의 사슬 CC를 가져왔을 때, CC의 모든 멤버를 포함하는 FF의 멤버가 존재하면 FF에는 극대원소가 있다.
하우스도르프 극대원리는 집합족이 특정한 조건을 만족하면 극대원소가 반드시 존재함을 보장한다. 이제 극대원리의 관점에서 기저의 정의를 다른 형태로 표현하자. 정리 1.12에 의하면 다음 정의는 기저의 정의와 같다.
정의) 극대원리의 관점에서 기저의 정의를 다른 형태로 표현
벡터공간 FF의 부분집합 FF를 생각하자. FF의 일차독립인 극대 부분집합(maximal linearly independent subset) BB는 다음 두 가지 조건을 만족하는 SS의 부분집합이다.
집합 BB는 일차독립이다.
집합 BB를 포함하고 일차독립인 (SS의) 부분집합은 오직 BB 뿐이다.
예제 5)
1.4절의 예제 2에서는 집합 {x32x25x3,3x35x24x9}\{ x^{3} - 2x^{2} - 5x - 3, 3x^{3} - 5x^{2} - 4x - 9 \}가 다음과 같이 주어진 집합 SS의 일차독립인 극대 부분집합임을 보였다.
S={2x32x2+12x6,x32x25x3,3x35x24x9}P3(R)S = \{ 2x^{3} - 2x^{2} + 12x - 6, x^{3} - 2x^{2} - 5x - 3, 3x^{3} - 5x^{2} - 4x - 9 \} \in P_{3}(R)
더 나아가 두 개의 다항식으로 구성된 SS의 부분집합은 항상 SS의 일차독립인 극대 부분집합임을 보일 수 있다. 일반적으로 일차독립인 극대 부분집합은 유일하지 않다.
벡터공간 VV의 기저 β\beta는 일차독립인 극대 부분집합이다. 왜 그럴까?
정의에 따르면 β\beta는 당연히 일차독립이다.
vV,vβv \in V, v \notin \beta 이면 β{v}\beta \cup \{v\}는 정리 1.7에 의해 일차종속이다. span(β)=Vspan(\beta) = V이기 때문이다.
정리 1.12)
VV는 벡터공간이고, 부분집합 SSVV를 생성한다. β\betaSS의 일차독립인 극대 부분집합이면 β\betaVV의 기저이다.
증명)
β\betaSS의 일차독립인 극대 부분집합이라 하자. β\beta는 일차독립이므로 β\betaVV를 생성함을 보이면 충분하다.
Sspan(β)S \subseteq span(\beta)라 가정하자. 그렇지 않으면 vspan(β)v \notin span(\beta)vSv \in S가 존재한다.
정리 1.7에 의해 β{v}\beta \cup \{v\}는 일차독립이고 β\beta가 극대라는 가정에 모순이다.
따라서 Sspan(β)S \subseteq span(\beta)이고 SSVV를 생성하므로 정리 1.5로부터 span(β)=Vspan(\beta) = V이다.
기저와 '일차독립인 극대 부분집합'은 동치이다. 즉 모든 벡터공간마다 '일차독립인 극대 부분집합'이 존재함을 보이는 것과 모든 벡터공간이 기저를 가짐을 보이는 것은 같다. 이 결과는 다음 정리에서 바로 이끌어낼 수 있다.
정리 1.13)
벡터공간 VV와 일차독립인 부분집합 SS를 생각하자. SS를 포함하는 VV의 (일차독립인) 극대 부분집합이 존재한다.
증명)
SS를 포함하는 일차독립인 부분집합(V\subseteq V)을 원소로 가지는 집합족을 FF라 하자. FF가 극대원소를 가짐을 보이고자 한다. FF에서 사슬 CC를 임의로 하나 꺼낼 때, CC의 모든 멤버를 포함하는 FF의 멤버 UU가 존재함을 보일 것이다.
CC가 공집합이면 U=SU = S로 잡는다. CC가 공집합이 아니면 CC에 속한 모든 멤버의 합집합을 UU로 잡는다. UU는 확실히 CC의 모든 멤버를 포함한다. UFU \in F (UU가 일차독립인 VV의 부분집합이고 SS를 포함함)을 보이면 충분하다. 사슬 CC의 모든 멤버는 SS를 포함하는 VV의 부분집합이므로 SUVS \subseteq U \subseteq V이다.
UU가 일차독립임을 보이자. u1,u2,...,unUu_{1}, u_{2}, ... , u_{n} \in U이고 a1,a2,...,ana_{1}, a_{2}, ... , a_{n}은 스칼라이며, a1u1+a2u2+...+anun=0a_{1} u_{1} + a_{2} u_{2} + ... + a_{n} u_{n} = 0이라 가정하자. uiU(i=1,2,...,n)u_{i} \in U (i = 1, 2, ... , n) 이므로, uiAiu_{i} \in A_{i}인 멤버 Ai(C)A_{i}(\in C)가 존재한다. CC는 사슬이므로 모든 AiA_{i}를 포함하는 집합이 존재한다. 이 집합을 AkA_{k}라 하자. 즉, 모든 i(i=1,2,...,n)i (i = 1, 2, ... , n)에 대하여 uiAku_{i} \in A_{k}이다. AkA_{k}는 일차독립이므로 a1u1+a2u2+...+anun=0a_{1} u_{1} + a_{2} u_{2} + ... + a_{n} u_{n} = 0a1=a2=...=an=0a_{1} = a_{2} = ... = a_{n} = 0임을 의미한다. 따라서 UU는 일차독립이다.
하우스도르프 극대원리에 의해 FF에는 극대원소가 있다. 이 극대원소는 VV의 일차독립인 극대 부분집합이며 SS를 포함한다.
따름정리) 모든 벡터공간은 기저를 포함한다.
두 집합 사이에 일대일대응이 존재할 때, 두 집합은 기수(cardinality)가 같다.
대체정리의 따름정리 1을 무한차원으로 유추하면 다음의 참인 명제를 생각할 수 있다.
무한차원 벡터공간이 주어질 때, 무한차원 벡터공간의 모든 기저는 기수가 같다.