선형변환, 영공간, 상공간
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이번 절에서는 다양한 선형변환을 소개할 것이다. 정의역이 이고 공역이 인 함수 를 라 표기한다.
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정의)
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와 는 모두 -벡터공간이라 하자. 모든 에 대하여 다음을 모두 만족하는 함수 를 에서 로 가는 선형변환(linear transformation)이라 한다.
1.
2.
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체 가 유리수 집합이면 1은 2를 함의하지만 일반적으로 1, 2는 서로 독립된 명제이다.
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'가 선형변환이다'라는 표현을 간단히 '는 선형(linear)이다' 라고 한다.
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성질 1) 가 선형이면 이다.
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성질 2) 가 선형이기 위한 필요충분조건은 모든 에 대하여 인 것이다.
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성질 3) 가 선형이면 모든 에 대하여 이다.
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성질 4) 가 선형이기위한 필요충분조건은 모든 와 에 대하여 다음 식을 만족하는 것이다.
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예제 1)
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은 이라 정의하자. 가 선형임을 보이기 위해 라 하면 이므로 다음이 성립한다.
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또한 를 구하면 다음과 같다.
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따라서 는 선형이다.
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선형대수학이 기하학에서 매우 넓고 다양하게 사용되는데, 중요한 기하 변환들이 선형이기 때문이다. 대표적인 예로 회전, 대칭 사영을 살펴보자.
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예제 2)
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어떤 각 에 대하여 을 다음과 같이 정의한다.
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는 각 만큼 회전(rotation)하는 선형 변환이다.
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에 대한 구체적인 식을 구해보자.
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벡터 를 고정하고 벡터 와 축의 양의 방향이 이루는 각을 라 놓는다.
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라 하면 이다.
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벡터 의 크기는 고, 축의 양의 방향과 이루는 각은 이므로 벡터 을 성분으로 나타내면 다음과 같다.
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인 경우에도 위 식은 성립한다.
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예제 1과 비슷한 방식으로 어렵지 않게 가 선형임을 보일 수 있다.
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예제 3)
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을 라 정의하자. 는 축 대칭(reflection about x-axis)라 한다.
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예제 4)
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을 이라 정의하자. 는 축으로 사영(projection on the x-axis)라 한다.
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예제 5)
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를 라 정의하자. 이때 는 의 전치행렬이다. 는 선형변환이다.
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예제 6)
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무한번 미분가능한 함수 의 집합을 라 하자. 가 -벡터공간임을 쉽게 보일 수 있다.
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를 이라 정의하면 함수 와 에 대하여 다음 식이 성립한다.
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성질 2에 의해 는 선형 변환이다.
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예제 7)
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는 에서 정의된 모든 연속함수의 집합이다. 에 대하여 를 다음과 같이 정의하자.
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는 선형변환이다. 일차결합한 함수의 정적분은 각각의 함수를 정적분한 뒤 일차결합한 것과 같기 때문이다.
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앞으로 이 책에서 자주 등장할 선형변환 두 가지를 살펴보자.
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-벡터공간 에 대하여
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항등변환(identity transformation) 는 모든 에 대하여 라 정의되는 함수이다.
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영변환(zero transformation) 는 모든 에 대하여 라 정의되는 함수이다.
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항등변환과 영변환 모두 선형이다. 는 간단하게 라 표기하기도 한다.
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선형변환과 관련된 중요한 두 집합인 상공간과 영공간에 대해 알아보자. 상공간과 영공간을 알면 주어진 선형변환의 본질을 세밀하게 관찰할 수 있다.
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정의) 벡터공간 와 선형변환 에 대하여
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영공간(null space 또는 kernel)은 인 를 원소로 가지는 집합이고, 라 표기한다. 집합으로 나타내면 이다.
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(의 0에 대응 되는 의 원소들의 집합)
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상공간(range 또는 image)은 의 함숫값을 원소로 가지는 의 부분집합이고 라 표기한다. 집합으로 나타내면 이다.
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(의 원소에 대응 되는 의 원소들의 집합. 치역)
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(영공간과 상공간이 중요한 이유는 이 둘을 합하면 차원의 크기를 알 수 있기 때문)
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예제 8)
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벡터공간 와 항등변환 , 영변환 에 대하여 다음이 성립한다.
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(이 내용은 화살표를 그리면 쉽다. 모든 원소가 자기 자신으로 가는 와 모든 원소가 0으로 가는 에 대해 영공간과 치역은 위와 같다)
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예제 9)
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선형변환 을 이라 정의하면 다음이 성립한다.
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정리 2.1)
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벡터공간 와 선형변환 에 대하여 는 각각 의 부분공간이다.
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증명)
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의 영벡터를 각각 라 하자.
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이므로 이다. 에 대하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.
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따라서 이므로 는 의 부분공간이다.
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(는 의 부분집합이고, 덧셈과 스칼라곱에 닫혀 있으므로)
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이므로 이다. 에 대하여 인 가 존재한다. 따라서 는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
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따라서 이므로 는 의 부분공간이다.
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정리 2.2)
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벡터공간 와 선형변환 , 의 기저 에 대하여 다음이 성립한다.
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증명)
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모든 에 대하여 이다.
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가 부분공간이므로 정리 1.5에 의해 이다.
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이제 라 하면 인 가 존재한다. 가 의 기저이므로 다음과 같이 쓸 수 있다.
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(단, )
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는 선형이므로 이다. 즉, 다음이 성립한다.
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정리 2.2는 가 무한집합일 때도 성립한다. 즉, 이다.
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예제 10)
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선형변환 를 다음과 같이 정의하자.
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는 의 기저이므로 를 다음과 같이 나타낼 수 있다.
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의 기저를 찾았다. 즉 이다.
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이제 의 기저를 찾아보자. ( 영행렬) 이므로 와 다음 식은 동치이다.
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이라 하자. 위의 행렬 식으로부터 의 관계식을 얻을 수 있다.
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이제 를 다음과 같이 쓸 수 있다.
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( 이므로)
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즉 의 기저는 이다. 한편, 이 예제에서 다음 식이 성립함을 알 수 있다.
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이 식은 일반적으로 성립한다.
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벡터공간 와 선형변환 에 대하여 와 가 유한차원이라 가정하자.
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의 차원을 nullity(영공간의 차원)라 하고, 라 표기한다.
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의 차원을 랭크(rank)라 하고, 라 표기한다.
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정리 2.3) 차원정리 (dimension theorem)
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벡터공간 와 선형변환 에 대하여 가 유한차원이면 다음이 성립한다.
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증명)
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라 하고, 의 기저를 라 하자. 정리 1.11의 따름정리로부터 를 확장하여 의 기저 를 얻을 수 있다.
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이 의 기저임을 보이고자 한다. 우선 가 를 생성함을 보이자.
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에 대하여 라는 사실과 정리 2.2를 이용하면 다음을 얻는다.
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이제 가 일차독립임을 보이자. 라 가정하면 가 선형이므로 다음 두 식은 서로 동치이다.
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따라서 적절한 가 존재하여 다음 식을 만족한다.
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가 의 기저이므로 모든 에 대하여 이다. 즉 는 일차독립이다.
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또한 증명과정에서 이 서로 다른 벡터임도 보였다. 따라서 이다.
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정리 2.4)
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벡터공간 와 선형변환 에 대하여 다음이 성립한다.
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는 단사함수이다.
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(단사 함수는 공역의 원소가 1개의 정의역의 원소와 대응되는 것을 말한다. 정의역의 2개 이상의 원소가 같은 공역의 원소에 대응되지 않는 것)
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(전사 함수는 모든 공역의 원소가 정의역의 원소와 대응되는 것을 말한다. 정의역의 원소와 대응되는 공역의 원소를 치역이라 하기 때문에 '공역=치역'인 것이 전사 함수가 됨)
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증명)
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가 단사함수이고 라 가정하면 이다. 가 단사이므로 이고 이다.
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이제 라 가정하자. 성질 3에 따르면 이므로 다음이 성립한다.
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따라서 는 단사함수이다.
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정리 2.5)
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유한차원 벡터공간 의 차원이 같을 때, 선형변환 에 대하여 다음 세 명제는 동치이다.
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는 단사이다.
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는 전사이다.
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증명)
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차원정리에 의해 이다. 정리 2.4로부터 다음 명제는 동치이다.
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가 단사
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정리 1.11에 따르면 위 식의 마지막 등호는 와 동치이다. 전사함수의 정의를 만족하므로 는 전사함수이다.
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하지만 무한차원 벡터공간 와 선형변환 에 대하여 단사와 전사는 동치가 아니다.
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정리 2.4와 정리 2.5에서 는 필수적으로 선형이라 가정한다. 전사이지만 단사가 아니거나 단사이지만 전사가 아닌 함수 를 찾는 것은 그리 어렵지 않다.
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앞의 정리를 사용하면 주어진 선형변환이 단사 또는 전사인지 판별하기 쉽다.
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예제 11)
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선형변환 를 다음과 같이 정의하자.
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를 구하면 다음과 같다.
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이때 는 일차독립이므로 이다. 이므로 는 전사가 아니다. 차원 정리에 의해 이고 다음이 성립한다. (널공간과 합하는 3은 랭크이고, 결과 3은 )
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따라서 는 정리 2.4에 의해 단사이다.
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예제 12)
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선형변환 을 다음과 같이 정의하자.
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임은 쉽게 보일 수 있다. 는 단사이므로 정리 2.5에 의해 는 전사이다.
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예제 13)
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선형변환 을 다음과 같이 정의하자.
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는 확실히 선형이고 단사이다.
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이라 하자. 의 부분집합인 는 일차독립인 것을, 집합 가 에서 일차독립인 것으로부터 쉽게 확인할 수 있다.
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선형변환의 중요한 성질은 기저에 따라 선형변환이 어떻게 행동하는지 완벽히 결정된다는 점이다.
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정리 2.6)
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-벡터공간 와 의 기저 을 생각하자. 벡터 에 대하여 다음 조건을 만족하는 선형변환 가 유일하게 존재한다.
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에 대하여
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증명)
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에 대하여 다음 일차결합 표현은 유일하다.
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(는 스칼라)
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선형변환 를 라 정의하자.
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는 선형인가?
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에 대하여 를 다음과 같은 일차 결합의 표현으로 나타낼 수 있다.
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(단, 과 은 스칼라)
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이므로 다음이 성립한다.
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에 대하여 이다.
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는 유일한가?
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선형변환 가 에 대하여 를 만족한다고 가정하자.
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에 대하여 이다.
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따라서 .
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따름정리)
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두 벡터공간 에 대하여 가 유한집합인 기저 를 포함한다고 가정하자.
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두 선형변환 가 일 때 를 만족하면 이다.
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예제 14)
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선형변환 을 다음과 같이 정의하자.
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선형변환 이 이면 이다.
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은 의 기저이고, 위의 따름정리는 기저에서 함숫값이 같으면 같은 선형변환임을 보장하기 때문이다.
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연습문제 정의)
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벡터공간 와 인 부분공간 에 대하여 다음과 같이 정의한 함수 를 에 대한 위로의 의 사영(projection)이라 한다.
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일때 (단, )
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연습문제 정의)
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벡터공간 , 선형변환 와 의 부분공간 에 대하여
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모든 에 대하여 일 때, 는 -불변(T-invariant)이라 한다. 즉 가 -불변일 때 이다.
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가 -불변일 때, 에서 정의된 의 제한(restriction) 는 다음과 같이 정의한다.
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모든 에 대하여
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연습문제 명제)
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는 통상적인 체에서의 벡터공간이고, 는 의 기저라하자. 임의의 함수 에 대하여 (단, 는 의 임의의 벡터)인 선형변환 가 유일하게 존재한다.