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프리드버그 선형대수학/ 선형변환과 행렬/ 선형변환, 영공간, 상공간

선형변환, 영공간, 상공간

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이번 절에서는 다양한 선형변환을 소개할 것이다. 정의역이 VV이고 공역이 WW인 함수 TT를 T:V→WT : V \to W라 표기한다.
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정의)
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VV와 WW는 모두 FF-벡터공간이라 하자. 모든 x,y∈V,c∈Fx, y \in V, c \in F에 대하여 다음을 모두 만족하는 함수 T:V→WT : V \to W를 VV에서 WW로 가는 선형변환(linear transformation)이라 한다.
1.
T(x+y)=T(x)+T(y)T(x + y) = T(x) + T(y)
2.
T(cx)=cT(x)T(cx) = cT(x)
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체 FF가 유리수 집합이면 1은 2를 함의하지만 일반적으로 1, 2는 서로 독립된 명제이다.
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'TT가 선형변환이다'라는 표현을 간단히 'TT는 선형(linear)이다' 라고 한다.
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성질 1) TT가 선형이면 T(0)=0T(0) = 0이다.
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성질 2) TT가 선형이기 위한 필요충분조건은 모든 x,y∈V,c∈Fx, y \in V, c \in F에 대하여 T(cx+y)=cT(x)+T(y)T(cx + y) = cT(x) + T(y)인 것이다.
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성질 3) TT가 선형이면 모든 x,y∈Vx, y \in V에 대하여 T(x−y)=T(x)−T(y)T(x - y) = T(x) - T(y)이다.
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성질 4) TT가 선형이기위한 필요충분조건은 모든 x1,x2,...,xn∈Vx_{1}, x_{2}, ... , x_{n} \in V와 a1,a2,...,an∈Fa_{1}, a_{2}, ... , a_{n} \in F에 대하여 다음 식을 만족하는 것이다.
▪
T(∑i=1naixi)=∑i=1naiT(xi)T(\sum_{i=1}^{n} a_{i}x_{i}) = \sum_{i=1}^{n} a_{i}T(x_{i})
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예제 1)
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T:R2→R2T : R^{2} \to R^{2}은 T(a1,a2)=(2a1+a2,a1)T(a_{1}, a_{2}) = (2a_{1} + a_{2}, a_{1})이라 정의하자. TT가 선형임을 보이기 위해 c∈R,x=(b1,b2),y=(d1,d2)c \in R, x = (b_{1}, b_{2}), y = (d_{1}, d_{2})라 하면 cx+y=(cb1+d1,cb2+d2)cx + y = (cb_{1} + d_{1}, cb_{2} + d_{2})이므로 다음이 성립한다.
▪
T(cx+y)=(2(cb1+d1)+cb2+d2,cb1+d1)T(cx + y) = (2(cb_{1} + d_{1}) + cb_{2} + d_{2}, cb_{1} + d_{1})
◦
또한 cT(x)+T(y)cT(x) + T(y)를 구하면 다음과 같다.
▪
cT(x)+T(y)=c(2b1+b2,b1)+(2d1+d2,d1)=(2cb1+cb2+2d1+d2,cb1+d1)=(2(cb1+d1)+cb2+d2,cb1+d1)cT(x) + T(y) = c(2b_{1} + b_{2}, b_{1}) + (2d_{1} + d_{2}, d_{1}) \\ = (2cb_{1} + cb_{2} + 2d_{1} + d_{2}, cb_{1} + d_{1}) \\ = (2(cb_{1} + d_{1}) + cb_{2} + d_{2}, cb_{1} + d_{1})
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따라서 TT 는 선형이다.
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선형대수학이 기하학에서 매우 넓고 다양하게 사용되는데, 중요한 기하 변환들이 선형이기 때문이다. 대표적인 예로 회전, 대칭 사영을 살펴보자.
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예제 2)
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어떤 각 θ\theta에 대하여 Tθ:R2→R2T_{\theta} : R^{2} \to R^{2}을 다음과 같이 정의한다.
▪
Tθ(a1,a2)={(a1,a2)θ((a1,a2)≠(0,0))(0,0)((a1,a2)=(0,0))T_{\theta} (a_{1}, a_{2}) = \begin{cases} (a_{1}, a_{2}) \theta ((a_{1}, a_{2}) \neq (0, 0)) \\ (0, 0) ((a_{1}, a_{2}) = (0, 0)) \end{cases}
▪
Tθ:R2→R2T_{\theta} : R^{2} \to R^{2}는 각 TT 만큼 회전(rotation)하는 선형 변환이다.
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TθT_{\theta}에 대한 구체적인 식을 구해보자.
▪
벡터 (a1,a2)≠(0,0)(a_{1}, a_{2}) \neq (0, 0)를 고정하고 벡터 (a1,a2)(a_{1}, a_{2})와 xx축의 양의 방향이 이루는 각을 α\alpha라 놓는다.
▪
r=a12+a22r = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2}}라 하면 a1=rcos⁡α,a2=rsin⁡αa_{1} = r \cos \alpha, a_{2} = r \sin \alpha이다.
▪
벡터 Tθ(a1,a2)T_{\theta}(a_{1}, a_{2})의 크기는 rr고, xx축의 양의 방향과 이루는 각은 α+θ\alpha + \theta이므로 벡터 Tθ(a1,a2)T_{\theta}(a_{1}, a_{2})을 성분으로 나타내면 다음과 같다.
▪
Tθ(a1,a2)=(rcos⁡(α+θ),rsin⁡(α+θ))=(rcos⁡αcos⁡θ−rsin⁡αsin⁡θ,rcos⁡αsinθ+rsin⁡αcos⁡θ=(a1cos⁡θ−a2sin⁡θ,a1sin⁡θ+a2cos⁡θ)T_{\theta}(a_{1}, a_{2}) = (r \cos(\alpha + \theta), r \sin (\alpha + \theta)) \\ = (r \cos \alpha \cos \theta - r \sin \alpha \sin \theta, r \cos \alpha sin \theta + r \sin \alpha \cos \theta \\ = (a_{1} \cos \theta - a_{2} \sin \theta, a_{1} \sin \theta + a_{2} \cos \theta)
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(a1,a2)=(0,0)(a_{1}, a_{2}) = (0, 0)인 경우에도 위 식은 성립한다.
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예제 1과 비슷한 방식으로 어렵지 않게 TθT_{\theta}가 선형임을 보일 수 있다.
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예제 3)
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T:R2→R2T : R^{2} \to R^{2}을 T(a1,a2)=(a1,−a2)T(a_{1}, a_{2}) = (a_{1}, -a_{2})라 정의하자. TT 는 xx축 대칭(reflection about x-axis)라 한다.
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예제 4)
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T:R2→R2T : R^{2} \to R^{2}을 T(a1,a2)=(a1,0)T(a_{1}, a_{2}) = (a_{1}, 0)이라 정의하자. TT는 xx축으로 사영(projection on the x-axis)라 한다.
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예제 5)
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T:Mm×n(F)→Mn×m(F)T : M_{m \times n}(F) \to M_{n \times m}(F)를 T(A)=AtT(A) = A^{t}라 정의하자. 이때 AtA^{t}는 AA의 전치행렬이다. TT는 선형변환이다.
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예제 6)
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무한 번 미분가능한 함수 f:R→Rf : R \to R의 집합을 VV라 하자. VV가 RR-벡터공간임을 쉽게 보일 수 있다.
◦
T:V→VT : V \to V를 T(f)=f′T(f) = f'이라 정의하면 함수 g,h∈Vg, h \in V와 a∈Ra \in R에 대하여 다음 식이 성립한다.
▪
T(ag+h)=(ag+h)′=ag′+h′=aT(g)+T(h)T(ag + h) = (ag + h)' = ag' + h' = aT(g) + T(h)
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성질 2에 의해 TT는 선형 변환이다.
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예제 7)
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V=C(R)V = C(R)는 RR에서 정의된 모든 연속함수의 집합이다. a,b∈R,a<ba, b \in R, a < b에 대하여 T:V→RT : V \to R를 다음과 같이 정의하자.
▪
T(f)=∫abf(t)dtT(f) = \int_{a}^{b} f(t) dt
◦
TT는 선형변환이다. 일차결합한 함수의 정적분은 각각의 함수를 정적분한 뒤 일차결합한 것과 같기 때문이다.
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앞으로 이 책에서 자주 등장할 선형변환 두 가지를 살펴보자.
◦
FF-벡터공간 V,WV, W에 대하여
▪
항등변환(identity transformation) IV:V→VI_{V} : V \to V는 모든 x∈Vx \in V에 대하여 IV(x)=xI_{V}(x) = x라 정의되는 함수이다.
▪
영변환(zero transformation) T0:V→WT_{0} : V \to W는 모든 x∈Vx \in V에 대하여 T0(x)=0T_{0}(x) = 0라 정의되는 함수이다.
◦
항등변환과 영변환 모두 선형이다. IVI_{V}는 간단하게 II라 표기하기도 한다.
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선형변환과 관련된 중요한 두 집합인 상공간과 영공간에 대해 알아보자. 상공간과 영공간을 알면 주어진 선형변환의 본질을 세밀하게 관찰할 수 있다.
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정의) 벡터공간 V,WV, W와 선형변환 T:V→WT : V \to W에 대하여
◦
영공간(null space 또는 kernel)은 T(x)=0T(x) = 0인 x∈Vx \in V를 원소로 가지는 집합이고, N(T)N(T)라 표기한다. 집합으로 나타내면 N(T)={x∈V:T(x)=0}N(T) = \{ x \in V : T(x) = 0 \}이다.
◦
상공간(range 또는 image)은 TT의 함숫값을 원소로 가지는 WW의 부분집합이고 R(T)R(T)라 표기한다. 집합으로 나타내면 R(T)={T(x):x∈V}R(T) = \{ T(x) : x \in V \}이다.
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예제 8)
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벡터공간 V,WV, W와 항등변환 I:V→VI : V \to V, 영변환 T0:V→WT_{0} : V \to W에 대하여 다음이 성립한다.
▪
N(I)={0}N(I) = \{ 0 \}
▪
R(I)=VR(I) = V
▪
N(T0)=VN(T_{0}) = V
▪
R(T0)={0}R(T_{0}) = \{ 0 \}
•
예제 9)
◦
선형변환 T:R3→R2T : R^{3} \to R^{2}을 T(a1,a2,a3)=(a1−a2,2a3)T(a_{1}, a_{2}, a_{3}) = (a_{1} - a_{2}, 2a_{3})이라 정의하면 다음이 성립한다.
▪
N(T)={(a,a,0):a∈R}N(T) = \{ (a, a, 0) : a\in R \}
▪
R(T)=R2R(T) = R^{2}
•
정리 2.1)
◦
벡터공간 V,WV, W와 선형변환 T:V→WT : V \to W에 대하여 N(T),R(T)N(T), R(T)는 각각 V,WV, W의 부분공간이다.
◦
증명)
▪
V,WV, W의 영벡터를 각각 0v,0w0_{v}, 0_{w}라 하자.
▪
T(0v)=0wT(0_{v}) = 0_{w} 이므로 0v∈N(T)0_{v} \in N(T)이다. x,y∈N(T),c∈Fx, y \in N(T), c \in F에 대하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.
•
T(x+y)=T(x)+T(y)=0w+0w=0wT(x + y) = T(x) + T(y) = 0_{w} + 0_{w} = 0_{w}
•
T(cx)=cT(x)=c0w=0wT(cx) = cT(x) = c0_{w} = 0_{w}
▪
따라서 x+y∈N(T),cx∈N(T)x + y \in N(T), cx \in N(T) 이므로 N(T)N(T)는 VV의 부분공간이다.
•
(N(T)N(T)는 VV의 부분집합이고, 덧셈과 스칼라곱에 닫혀 있으므로)
▪
T(0v)=0wT(0_{v}) = 0_{w}이므로 0w∈R(T)0_{w} \in R(T)이다. x,y∈R(T)x, y \in R(T)에 대하여 T(v)=x,T(w)=yT(v) = x, T(w) = y인 v,w∈Vv, w \in V 가 존재한다. 따라서 T(v+w),T(cv)T(v+w), T(cv)는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
•
T(v+w)=T(v)+T(w)=x+yT(v + w) = T(v) + T(w) = x + y
•
T(cv)=cT(v)=cxT(cv) = cT(v) = cx
▪
따라서 x+y∈R(T),cx∈R(T)x + y \in R(T), cx \in R(T)이므로 R(T)R(T)는 WW의 부분공간이다.
•
정리 2.2)
◦
벡터공간 V,WV, W와 선형변환 T:V→WT : V \to W, VV의 기저 β={v1,v2,...,vn}\beta = \{ v_{1}, v_{2}, ... , v_{n} \}에 대하여 다음이 성립한다.
▪
R(T)=span(T(β))=span({T(v1),T(v2),...,T(vn)})R(T) = span(T(\beta)) = span(\{ T(v_{1}), T(v_{2}), ... , T(v_{n}) \})
◦
증명)
▪
모든 ii에 대하여 T(vi)∈R(T)T(v_{i}) \in R(T)이다.
▪
R(T)R(T)가 부분공간이므로 정리 1.5에 의해 span({T(v1),T(v2),...,T(vn)})=span(T(β))⊆R(T)span(\{ T(v_{1}), T(v_{2}), ... , T(v_{n}) \}) = span(T(\beta)) \subseteq R(T)이다.
▪
이제 w∈R(T)w \in R(T)라 하면 w=T(v)w = T(v)인 v∈Vv \in V가 존재한다. β\beta가 VV의 기저이므로 다음과 같이 쓸 수 있다.
•
v=∑i=1naiviv = \sum_{i=1}^{n} a_{i} v_{i} (단, a1,a2,...,an∈Fa_{1}, a_{2}, ... , a_{n} \in F)
▪
TT는 선형이므로 w=T(v)=∑i=1naiT(vi)∈span(T(β))w = T(v) = \sum_{i=1}^{n} a_{i} T(v_{i}) \in span(T(\beta))이다. 즉, 다음이 성립한다.
•
R(T)⊆span(T(β))=span({T(v1),T(v2),...,T(vn)})R(T) \subseteq span(T(\beta)) = span(\{ T(v_{1}), T(v_{2}), ... , T(v_{n}) \})
▪
정리 2.2는 β\beta가 무한집합일 때도 성립한다. 즉, R(T)=span({T(v):v∈β})R(T) = span(\{T(v) : v \in \beta\})이다.
•
예제 10)
◦
선형변환 T:P2(R)→M2×x(R)T : P_{2}(R) \to M_{2 \times x}(R)를 다음과 같이 정의하자.
▪
T(f(x))=(f(1)−f(2)00f(0))T(f(x)) = \left( \begin{array}{rr} f(1) - f(2) & 0 \\ 0 & f(0) \end{array} \right)
◦
β{1,x,x2}\beta \{ 1, x, x^{2} \}는 P2(R)P_{2}(R)의 기저이므로 R(T)R(T)를 다음과 같이 나타낼 수 있다.
▪
R(T)=span(T(β))=span({T(1),T(x),T(x2)})R(T) = span(T(\beta)) = span(\{ T(1), T(x), T(x^{2}) \})
▪
span({(0001),(−1000),(−3000)})span(\left\{ \left( \begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right), \left( \begin{array}{rr} -1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right), \left( \begin{array}{rr} -3 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right) \right\})
▪
span({(0001),(−1000)})span(\left\{ \left( \begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right), \left( \begin{array}{rr} -1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right) \right\})
◦
R(T)R(T)의 기저를 찾았다. 즉 dim(R(T))=2dim(R(T)) = 2이다.
◦
이제 N(T)N(T)의 기저를 찾아보자. f(x)∈N(T)⇔T(f(x))=0f(x) \in N(T) \Leftrightarrow T(f(x)) = 0 (2×22 \times 2 영행렬) 이므로 f(x)∈N(T)f(x) \in N(T) 와 다음 식은 동치이다.
▪
(f(1)−f(2)00f(0))=(0000)\left( \begin{array}{rr} f(1) - f(2) & 0 \\ 0 & f(0) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right)
◦
f(x)=a+bx+cx2f(x) = a + bx + cx^{2}이라 하자. 위의 행렬 식으로부터 a,b,ca, b, c의 관계식을 얻을 수 있다.
▪
0=f(1)−f(2)=(a+b+c)−(a+2b+4c)=−b−3c0 = f(1) - f(2) = (a+b+c) - (a+2b+4c) = -b-3c
▪
0=f(0)=a0 = f(0) = a
◦
이제 f(x)f(x)를 다음과 같이 쓸 수 있다.
▪
f(x)=a+bx+cx2=−3cx+cx2=c(−3x+x2)f(x) = a + bx + cx^{2} = -3cx + cx^{2} = c(-3x + x^{2})
•
(a=0,b=−3ca = 0, b = -3c 이므로)
◦
즉 N(T)N(T)의 기저는 {−3x+x2}\{ -3x + x^{2} \}이다. 한편, 이 예제에서 다음 식이 성립함을 알 수 있다.
▪
dim(N(T))+dim(R(T))=1+2=3=dim(P2(R))dim(N(T)) + dim(R(T)) = 1 + 2 = 3 = dim(P_{2}(R))
◦
이 식은 일반적으로 성립한다.
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벡터공간 V,WV, W와 선형변환 T:V→WT : V \to W에 대하여 N(T)N(T)와 R(T)R(T)가 유한차원이라 가정하자.
◦
N(T)N(T)의 차원을 nullity(영공간의 차원)라 하고, nullity(T)nullity(T)라 표기한다.
◦
R(T)R(T)의 차원을 랭크(rank)라 하고, rank(T)rank(T)라 표기한다.
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정리 2.3) 차원정리 (dimension theorem)
◦
벡터공간 V,WV, W와 선형변환 T:V→WT : V \to W에 대하여 VV가 유한차원이면 다음이 성립한다.
▪
nullity(T)+rank(T)=dim(V)nullity(T) + rank(T) = dim(V)
◦
증명)
▪
dim(V)=n,dim(N(T))=kdim(V) = n, dim(N(T)) = k라 하고, N(T)N(T)의 기저를 {v1,v2,...,vk}\{ v_{1}, v_{2}, ... , v_{k} \} 라 하자. 정리 1.11의 따름정리로부터 {v1,v2,...,vk}\{ v_{1}, v_{2}, ... , v_{k} \}를 확장하여 VV 의 기저 β={v1,v2,...,vn}\beta = \{ v_{1}, v_{2}, ... , v_{n} \}를 얻을 수 있다.
▪
S={T(vk+1),T(vk+2),...,T(vn)}S = \{ T(v_{k+1}), T(v_{k+2}), ... , T(v_{n}) \}이 R(T)R(T)의 기저임을 보이고자 한다. 우선 SS가 R(T)R(T)를 생성함을 보이자.
▪
1≤i≤k1 \leq i \leq k에 대하여 T(vi)=0T(v_{i}) = 0라는 사실과 정리 2.2를 이용하면 다음을 얻는다.
•
R(T)=span({T(v1),T(v2),...,T(vn)})=span({T(vk+1),T(vk+2),...,T(vn)})=span(S)R(T) = span(\{ T(v_{1}), T(v_{2}), ... , T(v_{n}) \}) \\ = span(\{ T(v_{k+1}), T(v_{k+2}), ... , T(v_{n}) \}) = span(S)
▪
이제 SS가 일차독립임을 보이자. ∑i=k+1nbiT(vi)=0\sum_{i=k+1}^{n} b_{i} T(v_{i}) = 0라 가정하면 TT가 선형이므로 다음 두 식은 서로 동치이다.
•
T(∑i=k+1nbivi)=0⇔∑i=k+1nbivi∈N(T)T(\sum_{i=k+1}^{n} b_{i}v_{i}) = 0 \Leftrightarrow \sum_{i=k+1}^{n} b_{i} v_{i} \in N(T)
▪
따라서 적절한 c1,c2,...,ck∈Fc_{1}, c_{2}, ... , c_{k} \in F가 존재하여 다음 식을 만족한다.
•
∑i=k+1nbivi=∑i=ikcivi⇔∑i=1k(−ci)vi+∑i=k+1nbivi=0\sum_{i=k+1}^{n} b_{i} v_{i} = \sum_{i=i}^{k} c_{i} v_{i} \Leftrightarrow \sum_{i=1}^{k} (-c_{i})v_{i} + \sum_{i=k+1}^{n} b_{i} v_{i} = 0
▪
β\beta가 VV 의 기저이므로 모든 ii 에 대하여 bi=0b_{i} = 0이다. 즉 SS 는 일차독립이다.
▪
또한 증명과정에서 T(vk+1),T(vk+2),...,T(vn)T(v_{k+1}), T(v_{k+2}), ... , T(v_{n})이 서로 다른 벡터임도 보였다. 따라서 rank(T)=n−krank(T) = n - k이다.
•
정리 2.4)
◦
벡터공간 V,WV, W와 선형변환 T:V→WT : V \to W에 대하여 다음이 성립한다.
▪
TT 는 단사함수이다. N(T)={0}N(T) = \{0\}
▪
(단사 함수는 공역의 원소가 1개의 정의역의 원소와 대응되는 것을 말한다. 정의역의 2개 이상의 원소가 같은 공역의 원소에 대응되지 않는 것)
▪
(전사 함수는 모든 공역의 원소가 정의역의 원소와 대응되는 것을 말한다. 정의역의 원소와 대응되는 공역의 원소를 치역이라 하기 때문에 '공역=치역'인 것이 전사 함수가 됨)
◦
증명)
▪
TT 가 단사함수이고 x∈N(T)x \in N(T)라 가정하면 T(x)=0=T(0)T(x) = 0 = T(0)이다. TT 가 단사이므로 x=0x = 0이고 N(T)={0}N(T) = \{ 0 \}이다.
▪
이제 N(T)={0},T(x)=T(y)N(T) = \{0\}, T(x) = T(y)라 가정하자. 성질 3에 따르면 0=T(x)−T(y)=T(x−y)0 = T(x) - T(y) = T(x-y)이므로 다음이 성립한다.
•
x−y∈N(T)={0}⇔x−y=0⇔x=yx - y \in N(T) = \{0\} \Leftrightarrow x - y = 0 \Leftrightarrow x = y
▪
따라서 TT 는 단사함수이다.
•
정리 2.5)
◦
유한차원 벡터공간 V,WV, W의 차원이 같을 때, 선형변환 T:V→WT : V \to W에 대하여 다음 세 명제는 동치이다.
▪
TT 는 단사이다.
▪
TT 는 전사이다.
▪
rank(T)=dim(V)rank(T) = dim(V)
◦
증명)
▪
차원정리에 의해 nullity(T)+rank(T)=dim(V)nullity(T) + rank(T) = dim(V)이다. 정리 2.4로부터 다음 명제는 동치이다.
•
TT 가 단사 ⇔N(T)={0}⇔nullity(T)=0⇔rank(T)=dim(V)⇔rank(T)=dim(W)⇔dim(R(T))=dim(W)\Leftrightarrow N(T) = \{0\} \\ \Leftrightarrow nullity(T) = 0 \\ \Leftrightarrow rank(T) = dim(V) \\ \Leftrightarrow rank(T) = dim(W) \\ \Leftrightarrow dim(R(T)) = dim(W)
◦
정리 1.11에 따르면 위 식의 마지막 등호는 R(T)=WR(T) = W와 동치이다. 전사함수의 정의를 만족하므로 TT 는 전사함수이다.
•
하지만 무한차원 벡터공간 VV와 선형변환 T:V→VT : V \to V에 대하여 단사와 전사는 동치가 아니다.
•
정리 2.4와 정리 2.5에서 TT 는 필수적으로 선형이라 가정한다. 전사이지만 단사가 아니거나 단사이지만 전사가 아닌 함수 f:R→Rf : R \to R를 찾는 것은 그리 어렵지 않다.
•
앞의 정리를 사용하면 주어진 선형변환이 단사 또는 전사인지 판별하기 쉽다.
•
예제 11)
◦
선형변환 T:P2(R)→P3(R)T : P_{2}(R) \to P_{3}(R)를 다음과 같이 정의하자.
▪
T(f(x))=2f′(x)+∫0x3f(t)dtT(f(x)) = 2 f'(x) + \int_{0}^{x} 3 f(t) dt
◦
R(T)R(T)를 구하면 다음과 같다.
▪
R(T)=span({T(1),T(x),T(x2)})=span({3x,2+32x2,4x+x3})R(T) = span(\{T(1), T(x), T(x^{2})\}) = span(\{3x, 2 + {3 \over 2} x^{2}, 4x + x^{3}\})
◦
이때 {3x,2+32x2,4x+x3}\{ 3x, 2 + {3 \over 2}x^{2}, 4x + x^{3} \}는 일차독립이므로 rank(T)=3rank(T) = 3이다. dim(P3(R))=4dim(P_{3}(R)) = 4 이므로 TT는 전사가 아니다. 차원 정리에 의해 nullity(T)+3=3nullity(T) + 3 = 3이고 다음이 성립한다. (널공간과 합하는 3은 랭크이고, 결과 3은 dim(P2)dim(P_{2}))
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nullity(T)=0⇔N(T)={0}nullity(T) = 0 \Leftrightarrow N(T) = \{0\}
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따라서 TT는 정리 2.4에 의해 단사이다.
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예제 12)
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선형변환 T:F2→F2T : F^{2} \to F^{2}을 다음과 같이 정의하자.
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T(a1,a2)=(a1+a2,a1)T(a_{1}, a_{2}) = (a_{1} + a_{2}, a_{1})
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N(T)={0}N(T) = \{0\}임은 쉽게 보일 수 있다. TT는 단사이므로 정리 2.5에 의해 TT는 전사이다.
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예제 13)
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선형변환 T:P2(R)→R3T : P_{2}(R) \to R^{3}을 다음과 같이 정의하자.
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T(a0+a1x+a2x2)=(a0,a1,a2)T(a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2}) = (a_{0}, a_{1}, a_{2})
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TT는 확실히 선형이고 단사이다.
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S={2−x+3x2,x+x2,1−2x2}S = \{ 2 - x + 3x^{2}, x + x^{2}, 1 - 2x^{2} \}이라 하자. P2(R)P_{2}(R)의 부분집합인 SS는 일차독립인 것을, 집합 T(S)={(2,−1,3),(0,1,1),(1,0,−2)}T(S) = \{ (2, -1, 3), (0, 1, 1), (1, 0, -2) \}가 R3R^{3}에서 일차독립인 것으로부터 쉽게 확인할 수 있다.
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선형변환의 중요한 성질은 기저에 따라 선형변환이 어떻게 행동하는지 완벽히 결정된다는 점이다.
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정리 2.6)
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FF-벡터공간 V,WV, W와 VV의 기저 {v1,v2,...,vn}\{ v_{1}, v_{2}, ... , v_{n} \}을 생각하자. 벡터 w1,w2,...,wn∈Ww_{1}, w_{2}, ... , w_{n} \in W에 대하여 다음 조건을 만족하는 선형변환 T:V→WT : V \to W가 유일하게 존재한다.
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i=1,2,...,ni = 1, 2, ... , n에 대하여 T(vi)=wiT(v_{i}) = w_{i}
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증명)
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x∈Vx \in V에 대하여 다음 일차결합 표현은 유일하다.
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x=∑i=1naivix = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} v_{i} (a1,a2,...,ana_{1}, a_{2}, ... , a_{n}는 스칼라)
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선형변환 T:V→WT : V \to W를 T(x)=∑i=1naiwiT(x) = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} w_{i}라 정의하자.
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TT는 선형인가?
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u,v∈V,d∈Fu, v \in V, d \in F에 대하여 u,vu, v를 다음과 같은 일차 결합의 표현으로 나타낼 수 있다.
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u=∑i=1nbivi,v=∑i=1nciviu = \sum_{i = 1}^{n} b_{i} v_{i}, v = \sum_{i = 1}^{n} c_{i} v_{i} (단, b1,b2,...,bnb_{1}, b_{2}, ... , b_{n}과 c1,c2,...,cnc_{1}, c_{2}, ... , c_{n}은 스칼라)
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du+v=∑i=1n(dbi+ci)vidu + v = \sum_{i = 1}^{n} (db_{i} + c_{i})v_{i}이므로 다음이 성립한다.
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T(du+v)=∑i=1n(dbi+ci)wi=d∑i=1nbiwi+∑i=1nciwi=dT(u)+T(v)T(du + v) = \sum_{i=1}^{n} (db_{i} + c_{i}) w_{i} \\ = d \sum_{i=1}^{n} b_{i} w_{i} + \sum_{i=1}^{n} c_{i} w_{i} = dT(u) + T(v)
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i=1,2,...,ni = 1, 2, ... , n에 대하여 T(vi)=wiT(v_{i}) = w_{i}이다.
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TT 는 유일한가?
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선형변환 U:V→WU : V \to W가 i=1,2,...,ni = 1, 2, ... , n에 대하여 U(vi)=wiU(v_{i}) = w_{i}를 만족한다고 가정하자.
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x=∑i=1naivi∈Vx = \sum_{i=1}^{n} a_{i} v_{i} \in V에 대하여 U(x)=∑i=1naiU(vi)=∑i=1naiwi=T(x)U(x) = \sum_{i=1}^{n} a_{i} U(v_{i}) = \sum_{i=1}^{n} a_{i} w_{i} = T(x)이다.
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따라서 U=TU = T.
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따름정리)
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두 벡터공간 V,WV, W에 대하여 VV가 유한집합인 기저 {v1,v2,...,vn}\{ v_{1}, v_{2}, ... , v_{n} \}를 포함한다고 가정하자.
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두 선형변환 U,T:V→WU, T : V \to W가 i=1,2,...,ni = 1, 2, ... , n일 때 U(vi)=T(vi)U(v_{i}) = T(v_{i})를 만족하면 U=TU = T이다.
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예제 14)
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선형변환 T:R2→R2T : R^{2} \to R^{2}을 다음과 같이 정의하자.
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T(a1,a2)=(2a2−a1,3a1)T(a_{1}, a_{2}) = (2a_{2} - a_{1}, 3a_{1})
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선형변환 U:R2→R2U : R^{2} \to R^{2}이 U(1,2)=(3,3),U(1,3)=(1,3)U(1, 2) = (3, 3), U(1, 3) = (1, 3)이면 U=TU = T이다.
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{(1,2),(1,1)}\{ (1, 2), (1, 1) \}은 R2R^{2}의 기저이고, 위의 따름정리는 기저에서 함숫값이 같으면 같은 선형변환임을 보장하기 때문이다.
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연습문제 정의)
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벡터공간 VV와 V=W1⊕W2V = W_{1} \oplus W_{2}인 부분공간 W1,W2W_{1}, W_{2}에 대하여 다음과 같이 정의한 함수 T:V→VT : V \to V를 W2W_{2}에 대한 W1W_{1} 위로의 VV의 사영(projection)이라 한다.
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x=x1+x2x = x_{1} + x_{2} 일때 T(x)=x1T(x) = x_{1} (단, x1∈W1,x2∈W2x_{1} \in W_{1}, x_{2} \in W_{2})
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연습문제 정의)
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벡터공간 VV, 선형변환 T:V→VT : V \to V와 VV의 부분공간 WW에 대하여
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모든 x∈Wx \in W에 대하여 T(x)∈WT(x) \in W일 때, WW는 TT-불변(T-invariant)이라 한다. 즉 WW가 TT-불변일 때 T(W)⊆WT(W) \subseteq W이다.
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WW가 TT-불변일 때, WW에서 정의된 TT의 제한(restriction) TW:W→WT_{W} : W \to W는 다음과 같이 정의한다.
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모든 x∈Wx \in W에 대하여 TW(x)=T(x)T_{W}(x) = T(x)
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연습문제 명제)
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V,WV, W는 통상적인 체에서의 벡터공간이고, β\beta는 VV의 기저라하자. 임의의 함수 f:β→Wf : \beta \to W에 대하여 T(x)=f(x)T(x) = f(x) (단, xx는 β\beta의 임의의 벡터)인 선형변환 T:V→WT : V \to W가 유일하게 존재한다.
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