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프리드버그 선형대수학/ 선형변환과 행렬/ 선형변환, 영공간, 상공간

선형변환, 영공간, 상공간

이번 절에서는 다양한 선형변환을 소개할 것이다. 정의역이 VV이고 공역이 WW인 함수 TTT:VWT : V \to W라 표기한다.
정의)
VVWW는 모두 FF-벡터공간이라 하자. 모든 x,yV,cFx, y \in V, c \in F에 대하여 다음을 모두 만족하는 함수 T:VWT : V \to WVV에서 WW로 가는 선형변환(linear transformation)이라 한다.
1.
T(x+y)=T(x)+T(y)T(x + y) = T(x) + T(y)
2.
T(cx)=cT(x)T(cx) = cT(x)
FF가 유리수 집합이면 1은 2를 함의하지만 일반적으로 1, 2는 서로 독립된 명제이다.
'TT가 선형변환이다'라는 표현을 간단히 'TT는 선형(linear)이다' 라고 한다.
성질 1) TT가 선형이면 T(0)=0T(0) = 0이다.
성질 2) TT가 선형이기 위한 필요충분조건은 모든 x,yV,cFx, y \in V, c \in F에 대하여 T(cx+y)=cT(x)+T(y)T(cx + y) = cT(x) + T(y)인 것이다.
성질 3) TT가 선형이면 모든 x,yVx, y \in V에 대하여 T(xy)=T(x)T(y)T(x - y) = T(x) - T(y)이다.
성질 4) TT가 선형이기위한 필요충분조건은 모든 x1,x2,...,xnVx_{1}, x_{2}, ... , x_{n} \in Va1,a2,...,anFa_{1}, a_{2}, ... , a_{n} \in F에 대하여 다음 식을 만족하는 것이다.
T(i=1naixi)=i=1naiT(xi)T(\sum_{i=1}^{n} a_{i}x_{i}) = \sum_{i=1}^{n} a_{i}T(x_{i})
예제 1)
T:R2R2T : R^{2} \to R^{2}T(a1,a2)=(2a1+a2,a1)T(a_{1}, a_{2}) = (2a_{1} + a_{2}, a_{1})이라 정의하자. TT가 선형임을 보이기 위해 cR,x=(b1,b2),y=(d1,d2)c \in R, x = (b_{1}, b_{2}), y = (d_{1}, d_{2})라 하면 cx+y=(cb1+d1,cb2+d2)cx + y = (cb_{1} + d_{1}, cb_{2} + d_{2})이므로 다음이 성립한다.
T(cx+y)=(2(cb1+d1)+cb2+d2,cb1+d1)T(cx + y) = (2(cb_{1} + d_{1}) + cb_{2} + d_{2}, cb_{1} + d_{1})
또한 cT(x)+T(y)cT(x) + T(y)를 구하면 다음과 같다.
cT(x)+T(y)=c(2b1+b2,b1)+(2d1+d2,d1)=(2cb1+cb2+2d1+d2,cb1+d1)=(2(cb1+d1)+cb2+d2,cb1+d1)cT(x) + T(y) = c(2b_{1} + b_{2}, b_{1}) + (2d_{1} + d_{2}, d_{1}) \\ = (2cb_{1} + cb_{2} + 2d_{1} + d_{2}, cb_{1} + d_{1}) \\ = (2(cb_{1} + d_{1}) + cb_{2} + d_{2}, cb_{1} + d_{1})
따라서 TT 는 선형이다.
선형대수학이 기하학에서 매우 넓고 다양하게 사용되는데, 중요한 기하 변환들이 선형이기 때문이다. 대표적인 예로 회전, 대칭 사영을 살펴보자.
예제 2)
어떤 각 θ\theta에 대하여 Tθ:R2R2T_{\theta} : R^{2} \to R^{2}을 다음과 같이 정의한다.
Tθ(a1,a2)={(a1,a2)θ((a1,a2)(0,0))(0,0)((a1,a2)=(0,0))T_{\theta} (a_{1}, a_{2}) = \begin{cases} (a_{1}, a_{2}) \theta ((a_{1}, a_{2}) \neq (0, 0)) \\ (0, 0) ((a_{1}, a_{2}) = (0, 0)) \end{cases}
Tθ:R2R2T_{\theta} : R^{2} \to R^{2}는 각 TT 만큼 회전(rotation)하는 선형 변환이다.
TθT_{\theta}에 대한 구체적인 식을 구해보자.
벡터 (a1,a2)(0,0)(a_{1}, a_{2}) \neq (0, 0)를 고정하고 벡터 (a1,a2)(a_{1}, a_{2})xx축의 양의 방향이 이루는 각을 α\alpha라 놓는다.
r=a12+a22r = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2}}라 하면 a1=rcosα,a2=rsinαa_{1} = r \cos \alpha, a_{2} = r \sin \alpha이다.
벡터 Tθ(a1,a2)T_{\theta}(a_{1}, a_{2})의 크기는 rr고, xx축의 양의 방향과 이루는 각은 α+θ\alpha + \theta이므로 벡터 Tθ(a1,a2)T_{\theta}(a_{1}, a_{2})을 성분으로 나타내면 다음과 같다.
Tθ(a1,a2)=(rcos(α+θ),rsin(α+θ))=(rcosαcosθrsinαsinθ,rcosαsinθ+rsinαcosθ=(a1cosθa2sinθ,a1sinθ+a2cosθ)T_{\theta}(a_{1}, a_{2}) = (r \cos(\alpha + \theta), r \sin (\alpha + \theta)) \\ = (r \cos \alpha \cos \theta - r \sin \alpha \sin \theta, r \cos \alpha sin \theta + r \sin \alpha \cos \theta \\ = (a_{1} \cos \theta - a_{2} \sin \theta, a_{1} \sin \theta + a_{2} \cos \theta)
(a1,a2)=(0,0)(a_{1}, a_{2}) = (0, 0)인 경우에도 위 식은 성립한다.
예제 1과 비슷한 방식으로 어렵지 않게 TθT_{\theta}가 선형임을 보일 수 있다.
예제 3)
T:R2R2T : R^{2} \to R^{2}T(a1,a2)=(a1,a2)T(a_{1}, a_{2}) = (a_{1}, -a_{2})라 정의하자. TT xx축 대칭(reflection about x-axis)라 한다.
예제 4)
T:R2R2T : R^{2} \to R^{2}T(a1,a2)=(a1,0)T(a_{1}, a_{2}) = (a_{1}, 0)이라 정의하자. TTxx축으로 사영(projection on the x-axis)라 한다.
예제 5)
T:Mm×n(F)Mn×m(F)T : M_{m \times n}(F) \to M_{n \times m}(F)T(A)=AtT(A) = A^{t}라 정의하자. 이때 AtA^{t}AA의 전치행렬이다. TT는 선형변환이다.
예제 6)
무한 번 미분가능한 함수 f:RRf : R \to R의 집합을 VV라 하자. VVRR-벡터공간임을 쉽게 보일 수 있다.
T:VVT : V \to VT(f)=fT(f) = f'이라 정의하면 함수 g,hVg, h \in VaRa \in R에 대하여 다음 식이 성립한다.
T(ag+h)=(ag+h)=ag+h=aT(g)+T(h)T(ag + h) = (ag + h)' = ag' + h' = aT(g) + T(h)
성질 2에 의해 TT는 선형 변환이다.
예제 7)
V=C(R)V = C(R)RR에서 정의된 모든 연속함수의 집합이다. a,bR,a<ba, b \in R, a < b에 대하여 T:VRT : V \to R를 다음과 같이 정의하자.
T(f)=abf(t)dtT(f) = \int_{a}^{b} f(t) dt
TT는 선형변환이다. 일차결합한 함수의 정적분은 각각의 함수를 정적분한 뒤 일차결합한 것과 같기 때문이다.
앞으로 이 책에서 자주 등장할 선형변환 두 가지를 살펴보자.
FF-벡터공간 V,WV, W에 대하여
항등변환(identity transformation) IV:VVI_{V} : V \to V는 모든 xVx \in V에 대하여 IV(x)=xI_{V}(x) = x라 정의되는 함수이다.
영변환(zero transformation) T0:VWT_{0} : V \to W는 모든 xVx \in V에 대하여 T0(x)=0T_{0}(x) = 0라 정의되는 함수이다.
항등변환과 영변환 모두 선형이다. IVI_{V}는 간단하게 II라 표기하기도 한다.
선형변환과 관련된 중요한 두 집합인 상공간과 영공간에 대해 알아보자. 상공간과 영공간을 알면 주어진 선형변환의 본질을 세밀하게 관찰할 수 있다.
정의) 벡터공간 V,WV, W와 선형변환 T:VWT : V \to W에 대하여
영공간(null space 또는 kernel)은 T(x)=0T(x) = 0xVx \in V를 원소로 가지는 집합이고, N(T)N(T)라 표기한다. 집합으로 나타내면 N(T)={xV:T(x)=0}N(T) = \{ x \in V : T(x) = 0 \}이다.
상공간(range 또는 image)은 TT의 함숫값을 원소로 가지는 WW의 부분집합이고 R(T)R(T)라 표기한다. 집합으로 나타내면 R(T)={T(x):xV}R(T) = \{ T(x) : x \in V \}이다.
예제 8)
벡터공간 V,WV, W와 항등변환 I:VVI : V \to V, 영변환 T0:VWT_{0} : V \to W에 대하여 다음이 성립한다.
N(I)={0}N(I) = \{ 0 \}
R(I)=VR(I) = V
N(T0)=VN(T_{0}) = V
R(T0)={0}R(T_{0}) = \{ 0 \}
예제 9)
선형변환 T:R3R2T : R^{3} \to R^{2}T(a1,a2,a3)=(a1a2,2a3)T(a_{1}, a_{2}, a_{3}) = (a_{1} - a_{2}, 2a_{3})이라 정의하면 다음이 성립한다.
N(T)={(a,a,0):aR}N(T) = \{ (a, a, 0) : a\in R \}
R(T)=R2R(T) = R^{2}
정리 2.1)
벡터공간 V,WV, W와 선형변환 T:VWT : V \to W에 대하여 N(T),R(T)N(T), R(T)는 각각 V,WV, W의 부분공간이다.
증명)
V,WV, W의 영벡터를 각각 0v,0w0_{v}, 0_{w}라 하자.
T(0v)=0wT(0_{v}) = 0_{w} 이므로 0vN(T)0_{v} \in N(T)이다. x,yN(T),cFx, y \in N(T), c \in F에 대하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.
T(x+y)=T(x)+T(y)=0w+0w=0wT(x + y) = T(x) + T(y) = 0_{w} + 0_{w} = 0_{w}
T(cx)=cT(x)=c0w=0wT(cx) = cT(x) = c0_{w} = 0_{w}
따라서 x+yN(T),cxN(T)x + y \in N(T), cx \in N(T) 이므로 N(T)N(T)VV의 부분공간이다.
(N(T)N(T)VV의 부분집합이고, 덧셈과 스칼라곱에 닫혀 있으므로)
T(0v)=0wT(0_{v}) = 0_{w}이므로 0wR(T)0_{w} \in R(T)이다. x,yR(T)x, y \in R(T)에 대하여 T(v)=x,T(w)=yT(v) = x, T(w) = yv,wVv, w \in V 가 존재한다. 따라서 T(v+w),T(cv)T(v+w), T(cv)는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
T(v+w)=T(v)+T(w)=x+yT(v + w) = T(v) + T(w) = x + y
T(cv)=cT(v)=cxT(cv) = cT(v) = cx
따라서 x+yR(T),cxR(T)x + y \in R(T), cx \in R(T)이므로 R(T)R(T)WW의 부분공간이다.
정리 2.2)
벡터공간 V,WV, W와 선형변환 T:VWT : V \to W, VV의 기저 β={v1,v2,...,vn}\beta = \{ v_{1}, v_{2}, ... , v_{n} \}에 대하여 다음이 성립한다.
R(T)=span(T(β))=span({T(v1),T(v2),...,T(vn)})R(T) = span(T(\beta)) = span(\{ T(v_{1}), T(v_{2}), ... , T(v_{n}) \})
증명)
모든 ii에 대하여 T(vi)R(T)T(v_{i}) \in R(T)이다.
R(T)R(T)가 부분공간이므로 정리 1.5에 의해 span({T(v1),T(v2),...,T(vn)})=span(T(β))R(T)span(\{ T(v_{1}), T(v_{2}), ... , T(v_{n}) \}) = span(T(\beta)) \subseteq R(T)이다.
이제 wR(T)w \in R(T)라 하면 w=T(v)w = T(v)vVv \in V가 존재한다. β\betaVV의 기저이므로 다음과 같이 쓸 수 있다.
v=i=1naiviv = \sum_{i=1}^{n} a_{i} v_{i} (단, a1,a2,...,anFa_{1}, a_{2}, ... , a_{n} \in F)
TT는 선형이므로 w=T(v)=i=1naiT(vi)span(T(β))w = T(v) = \sum_{i=1}^{n} a_{i} T(v_{i}) \in span(T(\beta))이다. 즉, 다음이 성립한다.
R(T)span(T(β))=span({T(v1),T(v2),...,T(vn)})R(T) \subseteq span(T(\beta)) = span(\{ T(v_{1}), T(v_{2}), ... , T(v_{n}) \})
정리 2.2는 β\beta가 무한집합일 때도 성립한다. 즉, R(T)=span({T(v):vβ})R(T) = span(\{T(v) : v \in \beta\})이다.
예제 10)
선형변환 T:P2(R)M2×x(R)T : P_{2}(R) \to M_{2 \times x}(R)를 다음과 같이 정의하자.
T(f(x))=(f(1)f(2)00f(0))T(f(x)) = \left( \begin{array}{rr} f(1) - f(2) & 0 \\ 0 & f(0) \end{array} \right)
β{1,x,x2}\beta \{ 1, x, x^{2} \}P2(R)P_{2}(R)의 기저이므로 R(T)R(T)를 다음과 같이 나타낼 수 있다.
R(T)=span(T(β))=span({T(1),T(x),T(x2)})R(T) = span(T(\beta)) = span(\{ T(1), T(x), T(x^{2}) \})
span({(0001),(1000),(3000)})span(\left\{ \left( \begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right), \left( \begin{array}{rr} -1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right), \left( \begin{array}{rr} -3 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right) \right\})
span({(0001),(1000)})span(\left\{ \left( \begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right), \left( \begin{array}{rr} -1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right) \right\})
R(T)R(T)의 기저를 찾았다. 즉 dim(R(T))=2dim(R(T)) = 2이다.
이제 N(T)N(T)의 기저를 찾아보자. f(x)N(T)T(f(x))=0f(x) \in N(T) \Leftrightarrow T(f(x)) = 0 (2×22 \times 2 영행렬) 이므로 f(x)N(T)f(x) \in N(T) 와 다음 식은 동치이다.
(f(1)f(2)00f(0))=(0000)\left( \begin{array}{rr} f(1) - f(2) & 0 \\ 0 & f(0) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right)
f(x)=a+bx+cx2f(x) = a + bx + cx^{2}이라 하자. 위의 행렬 식으로부터 a,b,ca, b, c의 관계식을 얻을 수 있다.
0=f(1)f(2)=(a+b+c)(a+2b+4c)=b3c0 = f(1) - f(2) = (a+b+c) - (a+2b+4c) = -b-3c
0=f(0)=a0 = f(0) = a
이제 f(x)f(x)를 다음과 같이 쓸 수 있다.
f(x)=a+bx+cx2=3cx+cx2=c(3x+x2)f(x) = a + bx + cx^{2} = -3cx + cx^{2} = c(-3x + x^{2})
(a=0,b=3ca = 0, b = -3c 이므로)
N(T)N(T)의 기저는 {3x+x2}\{ -3x + x^{2} \}이다. 한편, 이 예제에서 다음 식이 성립함을 알 수 있다.
dim(N(T))+dim(R(T))=1+2=3=dim(P2(R))dim(N(T)) + dim(R(T)) = 1 + 2 = 3 = dim(P_{2}(R))
이 식은 일반적으로 성립한다.
벡터공간 V,WV, W와 선형변환 T:VWT : V \to W에 대하여 N(T)N(T)R(T)R(T)가 유한차원이라 가정하자.
N(T)N(T)의 차원을 nullity(영공간의 차원)라 하고, nullity(T)nullity(T)라 표기한다.
R(T)R(T)의 차원을 랭크(rank)라 하고, rank(T)rank(T)라 표기한다.
정리 2.3) 차원정리 (dimension theorem)
벡터공간 V,WV, W와 선형변환 T:VWT : V \to W에 대하여 VV가 유한차원이면 다음이 성립한다.
nullity(T)+rank(T)=dim(V)nullity(T) + rank(T) = dim(V)
증명)
dim(V)=n,dim(N(T))=kdim(V) = n, dim(N(T)) = k라 하고, N(T)N(T)의 기저를 {v1,v2,...,vk}\{ v_{1}, v_{2}, ... , v_{k} \} 라 하자. 정리 1.11의 따름정리로부터 {v1,v2,...,vk}\{ v_{1}, v_{2}, ... , v_{k} \}를 확장하여 VV 의 기저 β={v1,v2,...,vn}\beta = \{ v_{1}, v_{2}, ... , v_{n} \}를 얻을 수 있다.
S={T(vk+1),T(vk+2),...,T(vn)}S = \{ T(v_{k+1}), T(v_{k+2}), ... , T(v_{n}) \}R(T)R(T)의 기저임을 보이고자 한다. 우선 SSR(T)R(T)를 생성함을 보이자.
1ik1 \leq i \leq k에 대하여 T(vi)=0T(v_{i}) = 0라는 사실과 정리 2.2를 이용하면 다음을 얻는다.
R(T)=span({T(v1),T(v2),...,T(vn)})=span({T(vk+1),T(vk+2),...,T(vn)})=span(S)R(T) = span(\{ T(v_{1}), T(v_{2}), ... , T(v_{n}) \}) \\ = span(\{ T(v_{k+1}), T(v_{k+2}), ... , T(v_{n}) \}) = span(S)
이제 SS가 일차독립임을 보이자. i=k+1nbiT(vi)=0\sum_{i=k+1}^{n} b_{i} T(v_{i}) = 0라 가정하면 TT가 선형이므로 다음 두 식은 서로 동치이다.
T(i=k+1nbivi)=0i=k+1nbiviN(T)T(\sum_{i=k+1}^{n} b_{i}v_{i}) = 0 \Leftrightarrow \sum_{i=k+1}^{n} b_{i} v_{i} \in N(T)
따라서 적절한 c1,c2,...,ckFc_{1}, c_{2}, ... , c_{k} \in F가 존재하여 다음 식을 만족한다.
i=k+1nbivi=i=ikcivii=1k(ci)vi+i=k+1nbivi=0\sum_{i=k+1}^{n} b_{i} v_{i} = \sum_{i=i}^{k} c_{i} v_{i} \Leftrightarrow \sum_{i=1}^{k} (-c_{i})v_{i} + \sum_{i=k+1}^{n} b_{i} v_{i} = 0
β\betaVV 의 기저이므로 모든 ii 에 대하여 bi=0b_{i} = 0이다. 즉 SS 는 일차독립이다.
또한 증명과정에서 T(vk+1),T(vk+2),...,T(vn)T(v_{k+1}), T(v_{k+2}), ... , T(v_{n})이 서로 다른 벡터임도 보였다. 따라서 rank(T)=nkrank(T) = n - k이다.
정리 2.4)
벡터공간 V,WV, W와 선형변환 T:VWT : V \to W에 대하여 다음이 성립한다.
TT 는 단사함수이다. N(T)={0}N(T) = \{0\}
(단사 함수는 공역의 원소가 1개의 정의역의 원소와 대응되는 것을 말한다. 정의역의 2개 이상의 원소가 같은 공역의 원소에 대응되지 않는 것)
(전사 함수는 모든 공역의 원소가 정의역의 원소와 대응되는 것을 말한다. 정의역의 원소와 대응되는 공역의 원소를 치역이라 하기 때문에 '공역=치역'인 것이 전사 함수가 됨)
증명)
TT 가 단사함수이고 xN(T)x \in N(T)라 가정하면 T(x)=0=T(0)T(x) = 0 = T(0)이다. TT 가 단사이므로 x=0x = 0이고 N(T)={0}N(T) = \{ 0 \}이다.
이제 N(T)={0},T(x)=T(y)N(T) = \{0\}, T(x) = T(y)라 가정하자. 성질 3에 따르면 0=T(x)T(y)=T(xy)0 = T(x) - T(y) = T(x-y)이므로 다음이 성립한다.
xyN(T)={0}xy=0x=yx - y \in N(T) = \{0\} \Leftrightarrow x - y = 0 \Leftrightarrow x = y
따라서 TT 는 단사함수이다.
정리 2.5)
유한차원 벡터공간 V,WV, W의 차원이 같을 때, 선형변환 T:VWT : V \to W에 대하여 다음 세 명제는 동치이다.
TT 는 단사이다.
TT 는 전사이다.
rank(T)=dim(V)rank(T) = dim(V)
증명)
차원정리에 의해 nullity(T)+rank(T)=dim(V)nullity(T) + rank(T) = dim(V)이다. 정리 2.4로부터 다음 명제는 동치이다.
TT 가 단사 N(T)={0}nullity(T)=0rank(T)=dim(V)rank(T)=dim(W)dim(R(T))=dim(W)\Leftrightarrow N(T) = \{0\} \\ \Leftrightarrow nullity(T) = 0 \\ \Leftrightarrow rank(T) = dim(V) \\ \Leftrightarrow rank(T) = dim(W) \\ \Leftrightarrow dim(R(T)) = dim(W)
정리 1.11에 따르면 위 식의 마지막 등호는 R(T)=WR(T) = W와 동치이다. 전사함수의 정의를 만족하므로 TT 는 전사함수이다.
하지만 무한차원 벡터공간 VV와 선형변환 T:VVT : V \to V에 대하여 단사와 전사는 동치가 아니다.
정리 2.4와 정리 2.5에서 TT 는 필수적으로 선형이라 가정한다. 전사이지만 단사가 아니거나 단사이지만 전사가 아닌 함수 f:RRf : R \to R를 찾는 것은 그리 어렵지 않다.
앞의 정리를 사용하면 주어진 선형변환이 단사 또는 전사인지 판별하기 쉽다.
예제 11)
선형변환 T:P2(R)P3(R)T : P_{2}(R) \to P_{3}(R)를 다음과 같이 정의하자.
T(f(x))=2f(x)+0x3f(t)dtT(f(x)) = 2 f'(x) + \int_{0}^{x} 3 f(t) dt
R(T)R(T)를 구하면 다음과 같다.
R(T)=span({T(1),T(x),T(x2)})=span({3x,2+32x2,4x+x3})R(T) = span(\{T(1), T(x), T(x^{2})\}) = span(\{3x, 2 + {3 \over 2} x^{2}, 4x + x^{3}\})
이때 {3x,2+32x2,4x+x3}\{ 3x, 2 + {3 \over 2}x^{2}, 4x + x^{3} \}는 일차독립이므로 rank(T)=3rank(T) = 3이다. dim(P3(R))=4dim(P_{3}(R)) = 4 이므로 TT는 전사가 아니다. 차원 정리에 의해 nullity(T)+3=3nullity(T) + 3 = 3이고 다음이 성립한다. (널공간과 합하는 3은 랭크이고, 결과 3은 dim(P2)dim(P_{2}))
nullity(T)=0N(T)={0}nullity(T) = 0 \Leftrightarrow N(T) = \{0\}
따라서 TT는 정리 2.4에 의해 단사이다.
예제 12)
선형변환 T:F2F2T : F^{2} \to F^{2}을 다음과 같이 정의하자.
T(a1,a2)=(a1+a2,a1)T(a_{1}, a_{2}) = (a_{1} + a_{2}, a_{1})
N(T)={0}N(T) = \{0\}임은 쉽게 보일 수 있다. TT는 단사이므로 정리 2.5에 의해 TT는 전사이다.
예제 13)
선형변환 T:P2(R)R3T : P_{2}(R) \to R^{3}을 다음과 같이 정의하자.
T(a0+a1x+a2x2)=(a0,a1,a2)T(a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2}) = (a_{0}, a_{1}, a_{2})
TT는 확실히 선형이고 단사이다.
S={2x+3x2,x+x2,12x2}S = \{ 2 - x + 3x^{2}, x + x^{2}, 1 - 2x^{2} \}이라 하자. P2(R)P_{2}(R)의 부분집합인 SS는 일차독립인 것을, 집합 T(S)={(2,1,3),(0,1,1),(1,0,2)}T(S) = \{ (2, -1, 3), (0, 1, 1), (1, 0, -2) \}R3R^{3}에서 일차독립인 것으로부터 쉽게 확인할 수 있다.
선형변환의 중요한 성질은 기저에 따라 선형변환이 어떻게 행동하는지 완벽히 결정된다는 점이다.
정리 2.6)
FF-벡터공간 V,WV, WVV의 기저 {v1,v2,...,vn}\{ v_{1}, v_{2}, ... , v_{n} \}을 생각하자. 벡터 w1,w2,...,wnWw_{1}, w_{2}, ... , w_{n} \in W에 대하여 다음 조건을 만족하는 선형변환 T:VWT : V \to W가 유일하게 존재한다.
i=1,2,...,ni = 1, 2, ... , n에 대하여 T(vi)=wiT(v_{i}) = w_{i}
증명)
xVx \in V에 대하여 다음 일차결합 표현은 유일하다.
x=i=1naivix = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} v_{i} (a1,a2,...,ana_{1}, a_{2}, ... , a_{n}는 스칼라)
선형변환 T:VWT : V \to WT(x)=i=1naiwiT(x) = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} w_{i}라 정의하자.
TT는 선형인가?
u,vV,dFu, v \in V, d \in F에 대하여 u,vu, v를 다음과 같은 일차 결합의 표현으로 나타낼 수 있다.
u=i=1nbivi,v=i=1nciviu = \sum_{i = 1}^{n} b_{i} v_{i}, v = \sum_{i = 1}^{n} c_{i} v_{i} (단, b1,b2,...,bnb_{1}, b_{2}, ... , b_{n}c1,c2,...,cnc_{1}, c_{2}, ... , c_{n}은 스칼라)
du+v=i=1n(dbi+ci)vidu + v = \sum_{i = 1}^{n} (db_{i} + c_{i})v_{i}이므로 다음이 성립한다.
T(du+v)=i=1n(dbi+ci)wi=di=1nbiwi+i=1nciwi=dT(u)+T(v)T(du + v) = \sum_{i=1}^{n} (db_{i} + c_{i}) w_{i} \\ = d \sum_{i=1}^{n} b_{i} w_{i} + \sum_{i=1}^{n} c_{i} w_{i} = dT(u) + T(v)
i=1,2,...,ni = 1, 2, ... , n에 대하여 T(vi)=wiT(v_{i}) = w_{i}이다.
TT 는 유일한가?
선형변환 U:VWU : V \to Wi=1,2,...,ni = 1, 2, ... , n에 대하여 U(vi)=wiU(v_{i}) = w_{i}를 만족한다고 가정하자.
x=i=1naiviVx = \sum_{i=1}^{n} a_{i} v_{i} \in V에 대하여 U(x)=i=1naiU(vi)=i=1naiwi=T(x)U(x) = \sum_{i=1}^{n} a_{i} U(v_{i}) = \sum_{i=1}^{n} a_{i} w_{i} = T(x)이다.
따라서 U=TU = T.
따름정리)
두 벡터공간 V,WV, W에 대하여 VV가 유한집합인 기저 {v1,v2,...,vn}\{ v_{1}, v_{2}, ... , v_{n} \}를 포함한다고 가정하자.
두 선형변환 U,T:VWU, T : V \to Wi=1,2,...,ni = 1, 2, ... , n일 때 U(vi)=T(vi)U(v_{i}) = T(v_{i})를 만족하면 U=TU = T이다.
예제 14)
선형변환 T:R2R2T : R^{2} \to R^{2}을 다음과 같이 정의하자.
T(a1,a2)=(2a2a1,3a1)T(a_{1}, a_{2}) = (2a_{2} - a_{1}, 3a_{1})
선형변환 U:R2R2U : R^{2} \to R^{2}U(1,2)=(3,3),U(1,3)=(1,3)U(1, 2) = (3, 3), U(1, 3) = (1, 3)이면 U=TU = T이다.
{(1,2),(1,1)}\{ (1, 2), (1, 1) \}R2R^{2}의 기저이고, 위의 따름정리는 기저에서 함숫값이 같으면 같은 선형변환임을 보장하기 때문이다.
연습문제 정의)
벡터공간 VVV=W1W2V = W_{1} \oplus W_{2}인 부분공간 W1,W2W_{1}, W_{2}에 대하여 다음과 같이 정의한 함수 T:VVT : V \to VW2W_{2}에 대한 W1W_{1} 위로의 VV의 사영(projection)이라 한다.
x=x1+x2x = x_{1} + x_{2} 일때 T(x)=x1T(x) = x_{1} (단, x1W1,x2W2x_{1} \in W_{1}, x_{2} \in W_{2})
연습문제 정의)
벡터공간 VV, 선형변환 T:VVT : V \to VVV의 부분공간 WW에 대하여
모든 xWx \in W에 대하여 T(x)WT(x) \in W일 때, WWTT-불변(T-invariant)이라 한다. 즉 WWTT-불변일 때 T(W)WT(W) \subseteq W이다.
WWTT-불변일 때, WW에서 정의된 TT의 제한(restriction) TW:WWT_{W} : W \to W는 다음과 같이 정의한다.
모든 xWx \in W에 대하여 TW(x)=T(x)T_{W}(x) = T(x)
연습문제 명제)
V,WV, W는 통상적인 체에서의 벡터공간이고, β\betaVV의 기저라하자. 임의의 함수 f:βWf : \beta \to W에 대하여 T(x)=f(x)T(x) = f(x) (단, xxβ\beta의 임의의 벡터)인 선형변환 T:VWT : V \to W가 유일하게 존재한다.