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프리드버그 선형대수학/ 벡터공간/ 부분공간

부분공간

대수학에서는 부분집합과 처음 주어진 집합이 대수적 구조가 서로 같은지의 여부가 주요 화제다. 이번 절에서는 벡터공간에서 부분집합의 대수적 구조를 살펴본다.
정의)
FF-벡터공간 VV의 부분집합 WW를 생각하자. 이 부분집합 WWVV에서 정의한 합과 스칼라 곱을 가진 FF-벡터공간일 때, VV의 부분공간(subspace)이라 한다.
모든 벡터공간 VV에 대하여 VVVV은 부분공간이다.
특히 VV은 점공간인 부분공간(zero subspace)이라 한다.
다행히 어떤 부분집합이 부분공간인지 확인하기 위해 벡터공간의 8가지 정의를 모두 확인할 필요는 없다. 벡터공간의 모든 벡터에 대하여 (VS1), (VS2), (VS5), (VS6), (VS7), (VS8)이 성립하면 부분집합의 모든 벡터에 대해서도 당연히 성립하기 때문이다.
부분집합 WW VV의 부분공간이기 위한 필요충분조건은 다음 4가지 성질을 만족하는 것이다.
1.
모든 x,yWx, y \in W에 대하여 x+yWx + y \in W이다. (WW는 덧셈에 대하여 닫혀있다)
2.
모든 cFc \in F와 모든 xWx \in W에 대하여 cxWcx \in W이다. (WW는 스칼라 곱에 대하여 닫혀있다)
3.
WW는 영벡터를 포함한다.
4.
WW에 속한 모든 벡터의 덧셈에 대한 역벡터는 WW의 원소이다.
다음 정리에 따르면 WW의 영벡터와 VV의 영벡터는 반드시 같으며, 부분공간인지 확인할 때 성질 4는 굳이 확인할 필요가 없다.
정리 1.3)
벡터공간 VV와 부분집합 WW를 생각하자. WWVV의 부분공간이기 위한 필요충분조건은 다음 세 가지 조건을 만족하는 것이다. 이때 연산은 VV에서 정의된 것과 같다.
1.
0W0 \in W
2.
x,yW,x+yW\forall x, y \in W, x + y \in W
3.
cF,xW,cxW\forall c \in F, \forall x \in W, cx \in W
증명)
WWVV의 부분공간이면 WWVV에서 정의된 합과 스칼라 곱을 그대로 물려받은 벡터공간이므로 두 조건 2, 3이 성립한다.
WW의 영벡터를 00'이라 하면 xWx \in W에 대하여 x+0=xx + 0' = x이다. 한편 xVx \in V이므로 x+0=xx + 0 = x도 성립한다. 정리 1.1에 의해 0=00' = 0이다. 따라서 조건 1이 성립한다.
역으로 세 조건 1, 2, 3이 성립한다고 가정하자. 직전의 논의에 따르면 (VV의) 부분공간 WW에 속한 모든 벡터의 덧셈에 대한 역벡터는 WW의 원소임을 보이면 충분하다. 조건 3으로부터 xWx \in W이면 (1)xW(-1)x \in W이고 정리 1.2에 의해 x=(1)x-x = (-1)x이다. 즉 VVVV의 부분공간이다.
정리 1.3을 이용하면 주어진 부분집합이 부분공간인지 쉽게 판별할 수 있다. 앞으로 주어진 집합이 부분공간임을 증명해야 할 때, 이 방법을 자주 사용할 것이다.
m×nm \times n 행렬 AA의 전치행렬(transpose matrix) AtA^{t}AA의 행과 열을 바꾸어 얻은 n×mn \times m 행렬이다. 즉 (At)ij=Aji(A^{t})_{ij} = A_{ji}이다.
전치행렬의 예는 다음과 같다.
(123051)t=(102531),(1223)t=(1223)\left( \begin{array}{rrr} 1 & -2 & 3 \\ 0 & 5 & -1 \end{array} \right)^{t} = \left( \begin{array}{rrr} 1 & 0 \\ -2 & 5 \\ 3 & -1 \end{array} \right), \left( \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{array} \right)^{t} = \left( \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{array} \right)
대칭행렬(symmetric matrix)는 At=AA^{t} = A인 행렬이다. 위에 소개한 2×22 \times 2 행렬은 대칭행렬이다. 대칭행렬은 반드시 정사각행렬이어야 한다. Mn×n(F)M_{n \times n}(F)의 모든 대칭행렬을 원소로 하는 집합 WW는 부분공간이다. 확인해 보자.
1.
영행렬의 전치행렬은 영행렬이다. 즉 영행렬은 WW의 원소이다.
2.
AW,BWA \in W, B \in W이면 At=A,Bt=BA^{t} = A, B^{t} = B이고 (A+B)t=At+Bt=A+B(A + B)^{t} = A^{t} + B^{t} = A + B이다. 즉 A+BWA + B \in W이다.
3.
AWA \in W 이면 At=AA^{t} = A이고 임의의 스칼라 aa에 대하여 (aA)t=aAt=aA(aA)^{t} = aA^{t} = aA이다. 즉 aAWaA \in W이다.
예제 1)
음이 아닌 정수 nn에 대하여 Pn(F)P_{n}(F)nn 이하의 차수를 가진 다항식이라 하자. Pn(F)P_{n}(F)P(F)P(F)의 부분집합이다.
영 다항식의 차수는 1-1이므로 Pn(F)P_{n}(F)에 속한다.
차수가 nn 이하인 두 다항식을 더하면 차수가 nn 이하 이다.
차수가 nn 이하인 두 다항식에 스칼라 곱을 해도 차수는 바뀌지 않는다.
따라서 Pn(F)P_{n}(F)P(F)P(F)의 부분공간이다.
예제 2)
실수집합 RR에서 RR로 가는 모든 연속함수의 집합을 C(R)C(R)라 하자. 명백히 C(R)C(R)는 벡터공간 F(R,R)\mathcal{F}(R, R)의 부분집합이다. 이제 C(R)C(R)F(R,R)\mathcal{F}(R, R)의 부분공간임을 보이자.
F(R,R)\mathcal{F}(R, R)에 속한 영함수 f(t)=0f(t) = 0는 모든 실수 tt에 대하여 함숫값이 00인 상수함수이다. 상수함수는 연속함수이므로 fC(R)f \in C(R)이다.
두 연속함수의 합은 연속함수이고, 연속함수의 스칼라곱도 연속함수이므로 WW은 합과 스칼라곱에 대해 닫혀있다.
따라서 C(R)C(R)F(R,R)\mathcal{F}(R, R)의 부분공간이다.
다음 두 종류의 행렬은 특히 중요하다.
m×nm \times n 행렬 AA는 대각성분 아래의 모든 성분이 00이면 상삼각행렬 또는 위삼각행렬(upper triangular matrix)이라 한다. 즉 i>ji > j일 때 Aij=0A_{ij} = 0인 행렬이다. (아래 행렬 AA)
대각성분을 제외한 모든 성분이 00인 정사각행렬을 대각행렬(diagonal matrix)이라 한다. 다시 말해 iji \neq j일 때 Mij=0M_{ij} = 0n×nn \times n 행렬 MM이다. (아래 행렬 BB)
A=(123405670089),B=(300020008)A = \left( \begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 5 & 6 & 7 \\ 0 & 0 & 8 & 9 \end{array} \right), B = \left( \begin{array}{rrr} 3 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 8 \end{array} \right)
예제 3)
영행렬은 (모든 성분이 00이므로) 대각행렬이다. n×nn \times n 대각행렬 AABBiji \neq j 일때 임의의 스칼라 cc에 대하여 다음을 만족한다.
(A+B)ij=Aij+Bij=0+0=0(A + B)_{ij} = A_{ij} + B_{ij} = 0 + 0 = 0
(cA)ij=cAij=c0=0(cA)_{ij} = cA_{ij} = c0 = 0
따라서 정리 1.3으로부터 대각행렬의 집합은 Mn×n(F)M_{n \times n}(F)의 부분공간이다.
예제 4)
n×nn \times n 행렬 MM의 대각합(trace)은 모든 대각성분의 합이고 tr(M)tr(M)으로 표기한다.
tr(M)=M11+M22+...+Mnntr(M) = M_{11} + M_{22} + ... + M_{nn}
대각합이 00n×nn \times n 행렬의 집합은 Mn×n(F)M_{n \times n}(F) 의 부분공간이다.
예제 5)
모든 음이 아닌 실수 n×nn \times n의 행렬의 집합은 Mm×n(R)M_{m \times n}(R)의 부분공간이 아니다. 이 집합은 스칼라 곱에 대하여 닫혀 있지 않기 때문이다.
정리 1.4)
벡터공간 VV의 부분공간들을 생각하자. 이 부분공간들의 임의의 교집합은 VV의 부분공간이다.
증명)
VV의 부분공간을 원소로 하는 집합족(collection)을 CC라 하고 CC에 속한 모든 부분공간의 교집합을 WW라 하자.
영벡터는 모든 부분공간에 속하므로 0W0 \in W이다. 스칼라 aa와 벡터 x,yWx, y \in W에 대하여 x,yx, yCC에서 꺼낸 임의의 부분공간에 속한다. 벡터공간은 합과 스칼라 곱에 닫혀 있으므로 x+yx + yaxax도 부분공간에 속한다.
x+yW,axWx + y \in W, ax \in W 이므로 WW는 정리 1.3에 의해 VV의 부분공간이다.
벡터공간 VV의 임의의 교집합이 부분공간임을 확인하였으니 합집합 또한 부분공간인지 아닌지 확인해 보자.
부분공간의 합집합이 영벡터를 포함하고, 스칼라 곱에 대하여 닫혀 있음을 어렵지 않게 보일 수 있다. 아쉽게도 합에 대해서는 닫혀있다고 보장할 수 없다.
사실 VV의 두 부분공간의 합집합이 VV의 부분공간이 되기 위한 필요충분조건은 한 부분공간이 다른 부분공간에 포함되는 것이다.
두 부분공간 W1W_{1}W2W_{2}가 주어질 때 두 부분공간을 결합하여 W1W_{1}W2W_{2}를 포함하는 더 큰 부분공간을 만드는 자연스러운 방법이 있다. 앞서 설명한 것처럼 이 방법의 핵심은 벡터 합에 대하여 닫힌 공간을 만드는 것이다.
연습문제 정의)
공집합이 아닌 S1S_{1}S2S_{2}는 벡터공간 VV의 부분집합이다. 두 집합의 합(sum) S1+S2S_{1} + S_{2}는 다음과 같이 정의한다.
{x+y:xS1,yS2}\{ x + y : x \in S_{1}, y \in S_{2} \}
벡터공간 VV와 부분공간 W1,W2W_{1}, W_{2}에 대하여 W1W2={0}W_{1} \cap W_{2} = \{ 0 \}이고 W1+W2=VW_{1} + W_{2} = V이면
VVW1W_{1}W2W_{2}의 직합(direct sum)이라 하고 V=W1W2V = W_{1} \oplus W_{2}라 표기한다.
Mt=MM^{t} = -M인 행렬 MM을 skew-symmetric matrix(반대칭 행렬)이라 한다. skew-symmetric 행렬은 정사각행렬이다.
FF-벡터공간 VV와 부분공간 WW를 생각하자. 임의의 vVv \in V에 대하여 다음 집합을 vv를 포함하는 WW의 coset(잉여류)라고 한다.
{v}+W={v+w:wW}\{v\} + W = \{ v + w : w \in W \}