선형변환의 행렬표현
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정의)
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유한차원 벡터공간 의 순서기저(ordered basis)는 순서가 주어진 기저이다. 즉, 일차독립이며 를 생성하는 벡터들로 이루어진 유한 수열을 순서기저라 한다.
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예제 1)
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에서 과 는 모두 순서기저이다. 순서기저로보면 이다.
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벡터공간 에서 을 의 표준 순서기저(standard ordered basis)라 한다. 비슷한 방식으로 벡터공간 에서 을 의 표준 순서기저라 한다.
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순서기저의 개념이 등장하였으므로 차원 벡터공간의 추상적인 벡터와 순서쌍을 같게 나타낼 수 있다. 이때 다음에 소개하는 벡터 개념을 사용한다.
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정의)
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유한차원 벡터공간 의 순서기저를 이라 하고, 에 대하여 은 를 만족하는 유일한 스칼라라 하자.
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에 대한 의 좌표벡터(coordinated vector) 은 다음과 같다.
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위 정의에 의하면 이다. 대응 가 에서 으로 가는 선형변환임을 증명하는 것은 여러분의 몫으로 남긴다.
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예제 2)
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순서기저 를 가지는 벡터공간 에 대하여
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일 때, 이다.
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선형변환의 행렬표현을 알아보자.
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유한차원 벡터공간 와 각각의 순서기저 , 선형변환 를 생각하자.
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일 때, 마다 다음을 만족하는 유일한 스칼라 가 존재한다.
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(단 )
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정의)
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위의 표기법을 그대로 사용하자. 성분이 인 행렬 를 순서기저 와 에 대한 선형변환 의 행렬표현(matrix representation)이라하고 라 표기한다.
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(행렬이란 결국 선형변환을 순서기저와 성분의 곱으로 표현할 때, 순서기저에 곱해지는 성분을 나열한 것이다.)
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(변환 전 기저()를 그 수 만큼 선형변환을 시도 —반복문— 한 각 결과를 변환 후 기저()와 성분의 일차결합으로 표현할 때, 이때 일차결합에 쓰인 원소들이 행렬 원소가 된다.)
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(이렇게 관계가 되면, 영변환의 행렬표현은 영행렬이 되고, 항등변환의 행렬표현은 항등행렬이 됨)
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(또한 이 관계를 이용해서 행렬연산이 왜 그렇게 결정되는지가 결정됨. 행렬곱이란 선형변환의 합성과 동일하다. 하나의 행렬이 하나의 선형변환이기 때문에 2개의 행렬을 곱한 것은 2개의 선형변환을 합성한 것과 같다. 함수의 합성은 그 특성상 순서에 종속적이라 교환법칙이 성립하지 않는다. 이 때문에 행렬의 곱도 교환법칙이 성립하지 않는다.)
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이면 간단히 라 표기한다.
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의 열은 이다. 또한 선형변환 가 를 만족하면 정리 2.6의 따름정리로부터 이다.
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예제 3)
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다음과 같이 정의한 선형변환 을 생각하자.
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와 의 표준 순서기저를 각각 와 라 할 때 다음이 성립한다.
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즉, 이다.
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또 다른 순서기저 를 가져오면 이다.
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예제 4)
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선형변환 가 를 만족한다고 하자. 와 의 표준 순서기저를 각각 라 할 때 다음이 성립한다.
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즉, 이다. 을 의 일차결합으로 표현할 때, 계수를 모으면 의 열이 된다.
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(교재에는 설명이 충분히 안 나와서 연습문제 추가)
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선형변환 을 라 정의하자. 가 의 표준기저이고 가 일 때 다음을 구하라.
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를 구하라
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이므로
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일 때 를 구하라
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요약하자면 의 기저를 , 의 기저를 라 할 때
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...
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이 되도록 하는 각 을 찾아서 행렬식으로 표현하면 그게 행렬이 된다. (이때 는 를 선형변환해서 얻어지는 값이 된다. 다시 말해 를 선형변환해서 나오는 값을 을 통해 구할 수 있다는게 핵심)
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이때 선형변환으로 만들어지는 행렬의 크기는 일 때 가 된다.
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와 는 유한차원 벡터공간이고, 순서기저는 각각 이라 하자.
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이므로 이다. ( 영행렬)
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또한 다음 식이 성립하므로 의 열은 이다.
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따라서 이다. 이 행렬은 항등행렬이다.
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이제 매우 편리한 표기법인 크로네커 델타를 소개하겠다.
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정의)
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크로네커 델타(Kronecker delta)는 다음과 같이 정의한다.
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일 때, 이고 일 때,
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항등행렬(identity matrix) 의 성분은 이다. 가리키는 것이 명확하면 항등행렬 아래 첨자를 생략하고 라 표기하기도 한다.
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예컨대 이다. 즉 영변환의 행렬표현은 영행렬이고, 항등변환의 행렬표현은 항등행렬이다.
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행렬과 선형변환을 연결하였으므로 정리 2.8에서 이 연결이 합과 스칼라 곱을 보존함을 보일 것이다. 이를 위해 우선 선형변환의 합과 스칼라 곱을 정의하는 것에서 시작하자.
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정의)
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-벡터공간 사이에 정의된 임의의 함수 와 스칼라 에 대하여, 두 함수의 합 와 스칼라 곱 을 다음과 같이 정의한다.
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합: 모든 에 대하여
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스칼라 곱: 모든 에 대하여
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이는 함수의 합과 스칼라 곱에 대한 보편적인 정의와 같다. 선형변환의 합과 스칼라 곱은 여전히 선형변환임을 다음 정리에서 확인하자.
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정리 2.7)
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-벡터공간 와 선형변환 에 대하여 다음이 성립한다.
1.
임의의 에 대하여 는 선형이다.
2.
위 정의와 같이 선형변환의 합과 스칼라 곱을 정의할 때 에서 로 가는 모든 선형변환의 집합은 -벡터공간이다.
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증명)
1.
에 대하여 다음이 성립한다.
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즉 는 선형이다.
2.
영변환 는 (에서 로 가는 모든 선형변환을 원소로 가지는 집합에서) 영벡터의 역할을 한다.
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에서 로 가는 모든 선형변환을 원소로 가지는 집합이 벡터공간의 공리를 만족함은 쉽게 확인할 수 있다. 즉, 이 집합은 -벡터공간이다.
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정의)
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-벡터공간 에 대하여 에서 로 가는 모든 선형변환의 모임으로 이루어진 벡터공간을 라 표기한다. 이면 를 간단히 라 표기한다.
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2.4절에서 와 (이때 와 의 차원은 각각 과 )가 본질적으로 같음을 보이는 과정을 마무리 할 것이다.
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정리 2.8)
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유한차원 벡터공간 와 각각의 순서기저 , 선형변환 에 대하여 다음이 성립한다.
1.
2.
모든 스칼라 에 대하여
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증명)
1.
라 하자. 다음 식을 만족하는 유일한 스칼라 가 존재한다.
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즉 이고 이다.
2.
(1)과 비슷한 방식으로 증명할 수 있다.
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예제 5)
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선형변환 을 다음과 같이 정의하자.
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와 는 각각 과 의 표준 순서기저이고 다음이 성립한다. (는 예제 3에서 구했다)
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를 앞서 소개한 정의에 따라 계산하면 이다. 이제 는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
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정리 2.8에서 설명한 것처럼 와 같다.