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프리드버그 선형대수학/ 선형변환과 행렬/ 선형변환의 행렬표현

선형변환의 행렬표현

정의)
유한차원 벡터공간 VV의 순서기저(ordered basis)는 순서가 주어진 기저이다. 즉, 일차독립이며 VV를 생성하는 벡터들로 이루어진 유한 수열을 순서기저라 한다.
예제 1)
F3F^{3}에서 β={e1,e2,e3}\beta = \{ e_{1}, e_{2}, e_{3} \}γ={e2,e1,e3}\gamma = \{ e_{2}, e_{1}, e_{3} \}는 모두 순서기저이다. 순서기저로보면 βγ\beta \neq \gamma이다.
벡터공간 FnF^{n}에서 β={e1,e2,...,en}\beta = \{ e_{1}, e_{2}, ... , e_{n} \}FnF^{n}의 표준 순서기저(standard ordered basis)라 한다. 비슷한 방식으로 벡터공간 Pn(F)P_{n}(F)에서 {1,x,x2,...,xn}\{ 1, x, x^{2}, ... , x^{n} \}Pn(F)P_{n}(F)의 표준 순서기저라 한다.
순서기저의 개념이 등장하였으므로 nn차원 벡터공간의 추상적인 벡터와 nn순서쌍을 같게 나타낼 수 있다. 이때 다음에 소개하는 벡터 개념을 사용한다.
정의)
유한차원 벡터공간 VV의 순서기저를 β={u1,u2,...,un}\beta = \{ u_{1}, u_{2}, ... , u_{n} \}이라 하고, xVx \in V에 대하여 a1,a2,...,ana_{1}, a_{2}, ... , a_{n}x=i=1naiuix = \sum_{i=1}^{n} a_{i} u_{i}를 만족하는 유일한 스칼라라 하자.
β\beta에 대한 xx의 좌표벡터(coordinated vector) [x]β[x]_{\beta}은 다음과 같다.
[x]β=(a1a2...an)[x]_{\beta} = \left( \begin{array}{rrrr} a_{1} \\ a_{2} \\ ... \\ a_{n} \end{array} \right)
위 정의에 의하면 [ui]β=ei[u_{i}]_{\beta} = e_{i}이다. 대응 x[x]βx \to [x]_{\beta}VV에서 FnF^{n}으로 가는 선형변환임을 증명하는 것은 여러분의 몫으로 남긴다.
예제 2)
순서기저 β={1,x,x2}\beta = \{ 1, x, x^{2} \}를 가지는 벡터공간 V=P2(R)V = P_{2}(R)에 대하여
f(x)=4+6x7x2f(x) = 4 + 6x - 7x^{2}일 때, [f]β=(467)[f]_{\beta} = \left( \begin{array}{rrr} 4 \\ 6 \\ -7 \end{array} \right)이다.
선형변환의 행렬표현을 알아보자.
유한차원 벡터공간 V,WV, W와 각각의 순서기저 β={v1,v2,...,vn},γ={w1,w2,...,wm}\beta = \{ v_{1}, v_{2}, ... , v_{n} \}, \gamma = \{ w_{1}, w_{2}, ... , w_{m} \}, 선형변환 T:VWT : V \to W를 생각하자.
j=1,2,...,nj = 1, 2, ... , n일 때, jj마다 다음을 만족하는 유일한 스칼라 aijF(i=1,2,...,m)a_{ij} \in F (i = 1, 2, ... , m)가 존재한다.
T(vj)=i=1maijwiT(v_{j}) = \sum_{i=1}^{m} a_{ij} w_{i} (단 j=1,2,...,nj = 1, 2, ... , n)
정의)
위의 표기법을 그대로 사용하자. 성분이 Aij=aijA_{ij} = a_{ij}m×nm \times n행렬 AA를 순서기저 β\betaγ\gamma에 대한 선형변환 TT의 행렬표현(matrix representation)이라하고 A=[T]βγA = [T]_{\beta}^{\gamma}라 표기한다.
V=W,β=γV = W, \beta = \gamma이면 간단히 A=[T]βA = [T]_{\beta}라 표기한다.
AAjj열은 [T(vj)]γ[T(v_{j})]_{\gamma} 이다. 또한 선형변환 U:VWU : V \to W[U]βγ=[T]βγ[U]_{\beta}^{\gamma} = [T]_{\beta}^{\gamma}를 만족하면 정리 2.6의 따름정리로부터 U=TU = T이다.
예제 3)
다음과 같이 정의한 선형변환 T:R2R3T : R^{2} \to R^{3}을 생각하자.
T(a1,a2)=(a1+3a2,0,2a14a2)T(a_{1}, a_{2}) = (a_{1} + 3a_{2}, 0, 2a_{1} - 4a_{2})
R2R^{2}R3R^{3}의 표준 순서기저를 각각 β\betaγ\gamma라 할 때 다음이 성립한다.
T(1,0)=(1,0,2)=1e1+0e2+2e3T(1, 0) = (1, 0, 2) = 1e_{1} + 0e_{2} + 2e_{3}
T(0,1)=(3,0,4)=3e1+0e24e3T(0, 1) = (3, 0, -4) = 3e_{1} + 0e_{2} - 4e_{3}
즉, [T]βγ=(130024)[T]_{\beta}^{\gamma} = \left( \begin{array}{rrr} 1 & 3 \\ 0 & 0 \\ 2 & -4 \end{array} \right) 이다.
또 다른 순서기저 γ={e3,e2,e1}\gamma' = \{ e_{3}, e_{2}, e_{1} \}를 가져오면 [T]βγ=(240013)[T]_{\beta}^{\gamma'} = \left( \begin{array}{rrr} 2 & -4 \\ 0 & 0 \\ 1 & 3 \end{array} \right)이다.
예제 4)
선형변환 T:P3(R)P2(R)T : P_{3}(R) \to P_{2}(R)T(f(x))=f(x)T(f(x)) = f'(x)를 만족한다고 하자. P3(R)P_{3}(R)P2(R)P_{2}(R)의 표준 순서기저를 각각 β,γ\beta, \gamma라 할 때 다음이 성립한다.
T(1)=01+0x+0x2T(1) = 0 \cdot 1 + 0 \cdot x + 0 \cdot x^{2}
T(x)=11+0x+0x2T(x) = 1 \cdot 1 + 0 \cdot x + 0 \cdot x^{2}
T(x2)=01+2x+0x2T(x^{2}) = 0 \cdot 1 + 2 \cdot x + 0 \cdot x^{2}
T(x3)=01+0x+3x3T(x^{3}) = 0 \cdot 1 + 0 \cdot x + 3 \cdot x^{3}
즉, [T]βγ=(010000200003)[T]_{\beta}^{\gamma} = \left( \begin{array}{rrrr} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array} \right)이다. T(xj)T(x^{j})γ\gamma의 일차결합으로 표현할 때, 계수를 모으면 [T]βγ[T]_{\beta}^{\gamma}j+1j + 1열이 된다.
(교재에는 설명이 충분히 안 나와서 연습문제 추가)
선형변환 T:R2R3T : R^{2} \to R^{3}T(a1,a2)=(a1a2,a1,2a1+a2)T(a_{1}, a_{2}) = (a_{1} - a_{2}, a_{1}, 2a_{1} + a_{2})라 정의하자. β\betaR2R^{2}의 표준기저이고 γ={(1,1,0),(0,1,1),(2,2,3)}\gamma = \{ (1, 1, 0), (0, 1, 1), (2, 2, 3) \}가 일 때 다음을 구하라.
[T]βγ[T]_{\beta}^{\gamma}를 구하라
β={(1,0),(0,1)}\beta = \{ (1, 0), (0, 1) \}이므로
T(1,0)=(1,1,2)=c1(1,1,0)+c2(0,1,1)+c3(2,2,3)=13(1,1,0)+0(0,1,1)+23(2,2,3)T(1, 0) = (1, 1, 2) \\ = c_{1} (1, 1, 0) + c_{2} (0, 1, 1) + c_{3} (2, 2, 3) \\ = -{1 \over 3} (1, 1, 0) + 0 (0, 1, 1) + {2 \over 3} (2, 2, 3)
T(0,1)=(1,0,1)=c1(1,1,0)+c2(0,1,1)+c3(2,2,3)=1(1,1,0)+1(0,1,1)+0(2,2,3)T(0, 1) = (-1, 0, 1) \\ = c_{1} (1, 1, 0) + c_{2} (0, 1, 1) + c_{3} (2, 2, 3) \\ = -1 (1, 1, 0) + 1 (0, 1, 1) + 0 (2, 2, 3)
[T]βγ=(13101230)[T]_{\beta}^{\gamma} = \left( \begin{array}{rrr} - {1 \over 3} & -1 \\ 0 & 1 \\ {2 \over 3} & 0 \end{array} \right)
α={(1,2),(2,3)}\alpha = \{ (1, 2), (2, 3) \}일 때 VV를 구하라
T(1,2)=(1,1,4)=c1(1,1,0)+c2(0,1,1)+c3(2,2,3)=73(1,1,0)+2(0,1,1)+23(2,2,3)T(1, 2) = (-1, 1, 4) \\ = c_{1} (1, 1, 0) + c_{2} (0, 1, 1) + c_{3} (2, 2, 3) \\ = -{7 \over 3} (1, 1, 0) + 2 (0, 1, 1) + {2 \over 3} (2, 2, 3)
T(2,3)=(1,2,7)=c1(1,1,0)+c2(0,1,1)+c3(2,2,3)=113(1,1,0)+3(0,1,1)+43(2,2,3)T(2, 3) = (-1, 2, 7) \\ = c_{1} (1, 1, 0) + c_{2} (0, 1, 1) + c_{3} (2, 2, 3) \\ = -{11 \over 3} (1, 1, 0) + 3 (0, 1, 1) + {4 \over 3} (2, 2, 3)
[T]βγ=(73113232343)[T]_{\beta}^{\gamma} = \left( \begin{array}{rrr} - {7 \over 3} & -{11 \over 3} \\ 2 & 3 \\ {2 \over 3} & {4 \over 3} \end{array} \right)
요약하자면 VV의 기저를 {v1,v2,...,vn}\{ v_{1}, v_{2}, ... , v_{n} \}, WW의 기저를 {w1,w2,...,wm}\{ w_{1}, w_{2}, ... , w_{m} \}라 할 때
T(v1)=(c11,c21,...,cm1)=a11w1+a21w2+...+am1wmT(v_{1}) = (c_{11}, c_{21}, ... , c_{m1}) = a_{11} w_{1} + a_{21} w_{2} + ... + a_{m1} w_{m}
T(v2)=(c12,c22,...,cm2)=a12w1+a22w2+...+am2wmT(v_{2}) = (c_{12}, c_{22}, ... , c_{m2}) = a_{12} w_{1} + a_{22} w_{2} + ... + a_{m2} w_{m}
...
T(vn)=(c1n,c2n,...,cmn)=a1nw1+a2nw2+...+amnwmT(v_{n}) = (c_{1n}, c_{2n}, ... , c_{mn}) = a_{1n} w_{1} + a_{2n} w_{2} + ... + a_{mn} w_{m}
이 되도록 하는 각 aija_{ij}을 찾아서 행렬식으로 표현하면 그게 행렬이 된다. (이때 cijc_{ij}는 viv_{i}를 선형변환해서 얻어지는 값이 된다. 다시 말해 viv_{i}를 선형변환해서 나오는 값을 i=1mbiwi\sum_{i=1}^{m} b_{i} w_{i}을 통해 구할 수 있다는게 핵심)
이때 선형변환으로 만들어지는 행렬의 크기는 dim(V)=n,dim(W)=mdim(V) = n, dim(W) = m일 때 dim(W)×dim(V)=m×ndim(W) \times dim(V) = m \times n가 된다.
VVWW는 유한차원 벡터공간이고, 순서기저는 각각 β={v1,v2,...,vn},γ={w1,w2,...,wm}\beta = \{ v_{1}, v_{2}, ... , v_{n} \}, \gamma = \{ w_{1}, w_{2}, ... , w_{m} \} 이라 하자.
T0(vj)=0=0w1+0w2+...+0wmT_{0}(v_{j}) = 0 = 0w_{1} + 0w_{2} + ... + 0w_{m}이므로 [T0]βγ=0[T_{0}]_{\beta}^{\gamma} = 0이다. (m×nm \times n 영행렬)
또한 다음 식이 성립하므로 IvI_{v}jj열은 eje_{j}이다.
Iv(vj)=vj=0v1+0v2+...+0vj1+1vj+0vj+1+...+0vnI_{v}(v_{j}) = v_{j} = 0v_{1} + 0v_{2} + ... + 0v_{j-1} + 1v_{j} + 0v_{j+1} + ... + 0v_{n}
따라서 [IV]βγ=(10...001...0...00...1)[I_{V}]_{\beta}^{\gamma} = \left( \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & ... & 0 \\ 0 & 1 & ... & 0 \\ ... \\ 0 & 0 & ... & 1 \end{array} \right) 이다. 이 행렬은 n×nn \times n 항등행렬이다.
이제 매우 편리한 표기법인 크로네커 델타를 소개하겠다.
정의)
크로네커 델타(Kronecker delta)는 다음과 같이 정의한다.
i=ji = j일 때, δij=1\delta_{ij} = 1이고 iji \neq j일 때, δij=0\delta_{ij} = 0
n×nn \times n 항등행렬(identity matrix) InI_{n}의 성분은 (In)ij=δij(I_{n})_{ij} = \delta_{ij}이다. 가리키는 것이 명확하면 항등행렬 아래 첨자를 생략하고 II라 표기하기도 한다.
예컨대 I1=(1),I2=(1001),I3=(100010001)I_{1} = (1), I_{2} = \left( \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 &1 \end{array} \right), I_{3} = \left( \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)이다. 즉 영변환의 행렬표현은 영행렬이고, 항등변환의 행렬표현은 항등행렬이다.
행렬과 선형변환을 연결하였으므로 정리 2.8에서 이 연결이 합과 스칼라 곱을 보존함을 보일 것이다. 이를 위해 우선 선형변환의 합과 스칼라 곱을 정의하는 것에서 시작하자.
정의)
FF-벡터공간 V,WV, W 사이에 정의된 임의의 함수 T,U:VWT, U : V \to W와 스칼라 aFa \in F에 대하여, 두 함수의 합 T+U:VWT + U : V \to W와 스칼라 곱 aT:VWaT : V \to W을 다음과 같이 정의한다.
합: 모든 xVx \in V에 대하여 (T+U)(x)=T(x)+U(x)(T + U)(x) = T(x) + U(x)
스칼라 곱: 모든 xVx \in V에 대하여 (aT)(x)=aT(x)(aT)(x) = aT(x)
이는 함수의 합과 스칼라 곱에 대한 보편적인 정의와 같다. 선형변환의 합과 스칼라 곱은 여전히 선형변환임을 다음 정리에서 확인하자.
정리 2.7)
FF-벡터공간 V,WV, W와 선형변환 T,U:VWT, U : V \to W에 대하여 다음이 성립한다.
1.
임의의 aFa \in F에 대하여 aT+UaT + U는 선형이다.
2.
위 정의와 같이 선형변환의 합과 스칼라 곱을 정의할 때 VV에서 WW로 가는 모든 선형변환의 집합은 FF-벡터공간이다.
증명)
1.
x,yV,cFx, y \in V, c \in F에 대하여 다음이 성립한다.
(aT+U)(cx+y)=aT(cx+y)+U(cx+y)=a[T(cx+y)]+cU(x)+U(y)=a[cT(x)+T(y)]+cU(x)+U(y)=acT(x)+cU(x)+aT(y)+U(y)=c(aT+U)(x)+(aT+U)(y)(aT + U)(cx + y) = aT(cx + y) + U(cx + y) \\ = a[T(cx + y)] + cU(x) + U(y) \\ = a[cT(x) + T(y)] + cU(x) + U(y) \\ = acT(x) + cU(x) + aT(y) + U(y) \\ = c(aT + U)(x) + (aT + U)(y)
aT+UaT + U는 선형이다.
2.
영변환 T0T_{0}는 (VV 에서 WW로 가는 모든 선형변환을 원소로 가지는 집합에서) 영벡터의 역할을 한다.
VV 에서 WW로 가는 모든 선형변환을 원소로 가지는 집합이 벡터공간의 공리를 만족함은 쉽게 확인할 수 있다. 즉, 이 집합은 FF-벡터공간이다.
정의)
FF-벡터공간 V,WV, W에 대하여 VV 에서 WW로 가는 모든 선형변환의 모임으로 이루어진 벡터공간을 L(V,W)\mathcal{L}(V, W)라 표기한다. V=WV = W이면 L(V,V)\mathcal{L}(V, V)를 간단히 L(V)\mathcal{L}(V)라 표기한다.
2.4절에서 L(V,W)\mathcal{L}(V, W)Mm×n(F)M_{m \times n}(F) (이때 VV WW의 차원은 각각 nnmm)가 본질적으로 같음을 보이는 과정을 마무리 할 것이다.
정리 2.8)
유한차원 벡터공간 V,WV, W와 각각의 순서기저 β,γ\beta, \gamma, 선형변환 T,U:VWT, U : V \to W에 대하여 다음이 성립한다.
1.
[T+U]βγ=[T]βγ+[U]βγ[T + U]_{\beta}^{\gamma} = [T]_{\beta}^{\gamma} + [U]_{\beta}^{\gamma}
2.
모든 스칼라 aa에 대하여 [aT]βγ=a[T]βγ[aT]_{\beta}^{\gamma} = a[T]_{\beta}^{\gamma}
증명)
1.
β={v1,v2,...,vn},γ={w1,w2,...,wm}\beta = \{ v_{1}, v_{2}, ... , v_{n} \}, \gamma = \{ w_{1}, w_{2}, ... , w_{m} \}라 하자. 다음 식을 만족하는 유일한 스칼라 aij,bij(1im,1jn)a_{ij}, b_{ij} (1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n)가 존재한다.
T(vj)=i=1maijwi,U(vj)=i=1mbijwi(1jn)T(v_{j}) = \sum_{i=1}^{m} a_{ij} w_{i}, U(v_{j}) = \sum_{i=1}^{m} b_{ij} w_{i} (1 \leq j \leq n)
(T+U)(vj)=i=1m(aij+bij)wi(T+U)(v_{j}) = \sum_{i=1}^{m} (a_{ij} + b_{ij}) w_{i}이고 ([T+U]βγ)ij=aij+bij=([T]βγ+[U]βγ)ij([T+U]_{\beta}^{\gamma})_{ij} = a_{ij} + b_{ij} = ([T]_{\beta}^{\gamma} + [U]_{\beta}^{\gamma})_{ij} 이다.
2.
(1)과 비슷한 방식으로 증명할 수 있다.
예제 5)
선형변환 T:R2R3,U:R2R3T : R^{2} \to R^{3}, U : R^{2} \to R^{3}을 다음과 같이 정의하자.
T(a1,a2)=(a1+3a2,0,2a14a2)T(a_{1}, a_{2}) = (a_{1} + 3a_{2}, 0, 2a_{1} - 4a_{2})
U(a1,a2)=(a1a2,2a1,3a1+2a2)U(a_{1}, a_{2}) = (a_{1} - a_{2}, 2a_{1}, 3a_{1} + 2a_{2})
β\betaγ\gamma는 각각 R2R^{2}R3R^{3}의 표준 순서기저이고 다음이 성립한다. ([T]βγ[T]_{\beta}^{\gamma}는 예제 3에서 구했다)
[T]βγ=(130024),[U]βγ=(112032)[T]_{\beta}^{\gamma} = \left( \begin{array}{rrr} 1 & 3 \\ 0 & 0 \\ 2 & -4 \end{array} \right), [U]_{\beta}^{\gamma} = \left( \begin{array}{rrr} 1 & -1 \\ 2 & 0 \\ 3 & 2 \end{array} \right)
T+UT + U를 앞서 소개한 정의에 따라 계산하면 (T+U)(a1,a2)=(2a1+2a2,2a1,5a12a2)(T + U)(a_{1}, a_{2}) = (2a_{1} + 2a_{2}, 2a_{1}, 5a_{1} - 2a_{2})이다. 이제 [T+U]βγ[T+U]_{\beta}^{\gamma}는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
[T+U]βγ =(222052)[T+U]_{\beta}^{\gamma} = \left( \begin{array}{rrr} 2 & 2 \\ 2 & 0 \\ 5 & -2 \end{array} \right)
정리 2.8에서 설명한 것처럼 [T]βγ+[U]βγ[T]_{\beta}^{\gamma} +[U]_{\beta}^{\gamma}와 같다.