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데코수학/ 벡터미적분학/ 급수전개법

(유튜브 동영상인데 현재는 삭제되어서 내용만 남김)

개념

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f(x)f(x) : p에서 해석적 (Analytic, CωC^{\omega})
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⇔\Leftrightarrow (x = p 근처에서) f(x)=∑k=0∞ak(x−p)kf(x) = \sum_{k=0}^{\infty} a_{k} (x-p){k}
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f(x) : 해석적
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⇔\Leftrightarrow 정의역에 있는 임의의 x = p에 대하여, p에서 해석적이다.
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해석함수의 특징, 종류
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f(x):Cω⇒f(x):C∞f(x) : C^{\omega} \Rightarrow f(x) : C^{\infty}
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sinx,cosx,ex,3x2+2x+7:Cωsin x, cos x, e^{x}, 3x^{2} + 2x + 7 : C^{\omega}
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초등함수는 CωC^{\omega}
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erf(x)=2π∫0xe−t2dt:Cωerf(x) = {2 \over \sqrt{\pi}} \int_{0}^{x} e^{-t^{2}} dt : C^{\omega}
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exi=isin⁡x+cos⁡xe^{xi} = i \sin x + \cos x
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위 식의 x 자리에 π\pi를 넣으면 eπi=isinπ+cosπ=0−1=−1e^{\pi i} = i sin \pi + cos \pi = 0 - 1 = -1이 된다. (오일러의 공식)
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급수전개법
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테일러 급수전개 - 무한차 다항식
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로랑 급수전개 - 해석적인 항 + 해석적이지 않은 항
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푸리에 급수전개 - 주기함수
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다중극전개 - 물리학에서 사용
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