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데코수학/ 선형대수학/ 부분벡터공간

(유튜브 동영상인데 현재는 삭제되어서 내용만 남김)

개념

•
(V,+′,⋅′)(V, +', \cdot '): V.S over F\mathbb{F} 일때, (W,+′,⋅′)(W, +', \cdot ') : sub V.S of (V,+′,⋅′)(V, +', \cdot ') (V.S = Vector Space)
◦
⇔\Leftrightarrow
▪
W⊆VW \subseteq V
▪
+′,⋅′+', \cdot '가 WW 위에서 그대로 잘 정의되어, (W,+′,⋅′)(W, +', \cdot ') : V.S over F\mathbb{F}
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Sub V.S 예시
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Qn\mathbb{Q}^{n} (over Q\mathbb{Q}) : sub V.S of Rn\mathbb{R}^{n} (over Q\mathbb{Q})
◦
V : sub V.S of V
◦
{0⃗V}\{ \vec{0}_{V} \}: sub V.S of V
◦
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WW: sub V.S of VV
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⇔\Leftrightarrow
▪
0⃗V∈W\vec{0}_{V} \in W
▪
a,b∈W⇒a+b∈Wa, b \in W \Rightarrow a + b \in W
▪
α∈F,a∈W⇒α⋅a∈W\alpha \in \mathbb{F}, a \in W \Rightarrow \alpha \cdot a \in W
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Sub V.S 특징
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WW : sub V.S of V,UV, U : sub V.S of W⇒UW \Rightarrow U: sub V.S of VV
◦
WαW_{\alpha} : sub V.S of V⇒∩WαV \Rightarrow \cap W_{\alpha} : sub V.S of VV
◦
W1,W2W_{1}, W_{2} : sub V.S of VV
▪
⇒\Rightarrow
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W1∪W2W_{1} \cup W_{2} : sub V.S of V⇔W1⊆W2∨W2⊆W1V \Leftrightarrow W_{1} \subseteq W_{2} \lor W_{2} \subseteq W_{1}
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W1,W2W_{1}, W_{2}: sub V.S of VV
▪
⇒\Rightarrow
•
W1+W2W_{1} + W_{2} : sub V.S of VV
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W1,W2W_{1}, W_{2} : sub V.S of W1+W2W_{1} + W_{2}
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UU : sub V.S of V,W1⊆U,W2⊆U⇒W1+W2⊆UV, W_{1} \subseteq U, W_{2} \subseteq U \Rightarrow W_{1} + W_{2} \subseteq U
◦
WW: sub V.S of VV
▪
⇔\Leftrightarrow
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W≠∅ (c∈F,a,b∈W⇒c⋅a∈W,a+b∈W)W \neq \emptyset (c \in \mathbb{F}, a, b \in W \Rightarrow c \cdot a \in W, a + b \in W)
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0v∈W(α∈F,a,b∈W⇒α⋅a+b∈W)0_{v} \in W (\alpha \in \mathbb{F}, a, b \in W \Rightarrow \alpha \cdot a + b \in W)
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(V1,+1,⋅1),(V2,+2,⋅2)(V_{1}, +_{1}, \cdot_{1}), (V_{2}, +_{2}, \cdot_{2}) : V.S over F\mathbb{F} 일 때, 곱집합
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벡터 공간의 External Direct Sum
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V1×V2={(a,b)∣a∈V1,b∈V2}V_{1} \times V_{2} = \{ (a, b) | a \in V_{1}, b \in V_{2} \} 에 다음 연산을 정의한다.
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(a,b)+E(c,d)=(a+1c,b+2d)(a, b) +_{E} (c, d) = (a +_{1} c, b +_{2} d)
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α⋅E(a,b)=(α⋅1a,α⋅2b)\alpha \cdot_{E} (a, b) = (\alpha \cdot_{1} a, \alpha \cdot_{2} b)
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그러면 (V1×V2,+E,⋅E)(V_{1} \times V_{2}, +_{E}, \cdot_{E})는 V.S over F\mathbb{F} 가 된다.
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이 벡터공간을 V1⊕EV2V_{1} \oplus_{E} V_{2} 이라 한다.
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벡터 공간의 Internal Direct Sum
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(Z,+,⋅)(Z, +, \cdot): V.S over F\mathbb{F} , (X,+,⋅),(Y,+,⋅)(X, +, \cdot), (Y, +, \cdot): sub V.S of (Z,+,⋅)(Z, +, \cdot) 일 때
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Z=X⊕IYZ = X \oplus_{I} Y
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⇔\Leftrightarrow
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∀z∈Z,∃x∈X,y∈Y,z=x+y\forall z \in Z, \exists x \in X, y \in Y, z = x + y
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X∩Y=0⃗X \cap Y = {\vec{0}}
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(Z=X⊕IY)≈X⊕EY(Z = X \oplus_{I} Y) \approx X \oplus_{E} Y
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External, Internal Direct Sum이 Isomorphic 하기 때문에 특별히 구분 하지 않고 X⊕YX \oplus Y라 쓴다.
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벡터 공간의 Direct Sum의 예
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R⊕R≈R2\mathbb{R} \oplus \mathbb{R} \approx \mathbb{R}^{2}
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{(a,0)∣a∈F}⊕ {(0,b)∣b∈F}≈F2\{ (a, 0) | a \in \mathbb{F} \} \oplus \{ (0, b) | b \in \mathbb{F} \} \approx \mathbb{F}^{2}
◦
F⊕(F⊕F)≈F3\mathbb{F} \oplus (\mathbb{F} \oplus \mathbb{F}) \approx \mathbb{F}^{3}
◦
F2⊕F3≈F5\mathbb{F}^{2} \oplus \mathbb{F}^{3} \approx \mathbb{F}^{5}
◦
R⊕IRi=C≈R⊕ER=R2\mathbb{R} \oplus_{I} \mathbb{R}_{i} = \mathbb{C} \approx \mathbb{R} \oplus_{E} \mathbb{R} = \mathbb{R}^{2}
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Direct Sum of Many V.S 에 대해서도 정의 가능. 유한한 경우와 무한한 경우 정의가 다른데 생략.
Made with