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데코수학/ 벡터미적분학/ 함수에 벡터가 들어가면 어떻게 될까?

(유튜브 동영상인데 현재는 삭제되어서 내용만 남김)

개념

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일변수 실함수 f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R} 형 (f:Rn→Rmf : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{m}의 형태에서 n과 m이 모두 1인 경우)
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t∈R↦f(t)∈Rt \in \mathbb{R} \mapsto f(t) \in \mathbb{R}
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예
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f(x)=x2f(x) = x^{2}
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f(x)=sin⁡xf(x) = \sin x
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f(t)=t3−etf(t) = t^{3} - e^{t}
▪
t2+f(t)2=4(f(t)≥0)t^{2} + f(t)^{2} = 4 (f(t) \ge 0)
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일변수 벡터함수 f:R→Rnf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{n}형 (f:Rn→Rmf : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{m} 의 형태에서 n이 1인 경우)
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t∈R↦f(t)∈Rnt \in \mathbb{R} \mapsto f(t) \in \mathbb{R}^{n}
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파라미터는 1개지만 결과는 벡터로 나오는 경우. 결과가 일변수 실함수를 여러 개.
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f(t)=(f1(t),f2(t),...fn(t))f(t) = (f_{1}(t), f_{2}(t), ... f_{n}(t))
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매개곡선이라고 부르기도 한다.
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α⃗(t),β⃗(t),γ⃗(t)...\vec{\alpha}(t), \vec{\beta}(t), \vec{\gamma}(t)... 등으로 표기
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예
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α⃗(t)=(cos⁡t,sin⁡t)\vec{\alpha}(t) = (\cos t, \sin t)
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β⃗(t)=(t,t2)\vec{\beta}(t) = (t, t^{2})
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γ⃗(t)=(cos⁡t,sin⁡t,t2)\vec{\gamma}(t) = (\cos t, \sin t, t^{2})
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다변수 실함수 f:Rn→Rf : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}형 (f:Rn→Rmf : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{m}의 형태에서 m이 1인 경우)
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(x1,x2,...xn)∈Rn↦f(x1,x2,...xn)∈R(x_{1}, x_{2}, ... x_{n}) \in \mathbb{R}^{n} \mapsto f(x_{1}, x_{2}, ... x_{n}) \in \mathbb{R}
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이런 함수를 스칼라장이라고도 부름
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f(x,y),f(x⃗),V(x,y,z),ϕ(x1,x2,...xn)f(x, y), f(\vec{x}), V(x, y, z), \phi(x_{1}, x_{2}, ... x_{n}) 등으로 표기
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예
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f(x,y)=1−x2−y2f(x, y) = \sqrt{1 - x^{2} - y^{2}}
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V(x1,x2)=x12−4x1+x22V(x_{1}, x_{2}) = x_{1}^{2} - 4x_{1} + x_{2}^{2}
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ϕ(x,y)=x2−y2\phi (x, y) = x^{2} - y^{2}
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f(x,y,z)=3x2−4y2+5z2f(x, y, z) = 3x^{2} - 4y^{2} + 5z^{2}
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다변수 벡터함수 f:Rn→Rmf : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{m} 형 (f:Rn→Rmf : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{m}의 형태에서 n과 m이 모두 1이 아닌 경우)
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(x1,x2,...xn)∈Rn↦f(x1,x2,...xn)∈Rm(x_{1}, x_{2}, ... x_{n}) \in \mathbb{R}^{n} \mapsto f(x_{1}, x_{2}, ... x_{n}) \in \mathbb{R}^{m}
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즉, f(x1,x2,...xn)=(f1(x1,x2,...xn),f2(x1,x2,...xn),...,fm(x1,x2,...xn))f(x_{1}, x_{2}, ... x_{n}) = (f_{1}(x_{1}, x_{2}, ... x_{n}), f_{2}(x_{1}, x_{2}, ... x_{n}), ... , f_{m}(x_{1}, x_{2}, ... x_{n}))
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벡터장이라 부르기도 한다.
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F⃗,G⃗,H⃗(x1,x2,...xn)\vec{F}, \vec{G}, \vec{H} (x_{1}, x_{2}, ... x_{n}) 등으로 표기
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예
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F⃗(x,y)=(x,−y)\vec{F}(x, y) = (x, -y)
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F⃗(x,y,z)=(x,y,z)\vec{F}(x, y, z) = (x, y, z)
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F⃗(x,y)=(2,3)\vec{F}(x, y) = (2, 3)
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F⃗(x,y)=(x+y,−y,x2)\vec{F}(x, y) = (x+y, -y, x^{2})
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F⃗(x,y)=(−y,x)\vec{F}(x, y) = (-y, x)
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F⃗(x,y)=(−xx2+y2,−yx2+y2)\vec{F}(x, y) = (\frac{-x}{x^{2} + y^{2}}, \frac{-y}{x^{2} + y^{2}} )
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F⃗(x1,x2,...,xn)=M(x1x2...xn)\vec{F}(x_{1}, x_{2}, ... , x_{n}) = M \left( \begin{array}{r} x_{1} \\ x_{2} \\ ... \\ x_{n} \end{array} \right)
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M : m × n 행렬
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