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이상엽/ 선형대수학/ 복소벡터공간

복소벡터공간

정의

복소수체 C\mathbb{C}에 대한 가군. 즉 적당한 집합 VV에 대해 벡터공간 (V,C,+,⋅)(V, \mathbb{C}, +, \cdot)을 복소벡터공간이라 한다.
((V,C,+,⋅)(V, \mathbb{C}, +, \cdot)에서 C\mathbb{C}는 스칼라를 복소수에서 가져왔다는 얘기다. 실수벡터공간에서는 스칼라를 어디서 가져왔는지를 생략해서 표기한 셈. 엄밀하게 쓰면 (V,R,+,⋅)(V, \mathbb{R}, +, \cdot)이 되지만 일반적으로 생략해서 표기한다.)
또한 모든 복소 n-튜플 (v1,v2,...,vn)(v_{1}, v_{2}, ... , v_{n})의 집합을 복수 n-공간이라 하고 Cn\mathbb{C}^{n}으로 표시한다.

복소켤레

Cn\mathbb{C}^{n}의 임의의 벡터
•
v=(v1,v2,...,vn)v = (v_{1}, v_{2}, ... , v_{n})
◦
=(a1+b1i,a2+b2i,...,an+bni)= (a_{1} + b_{1}i, a_{2} + b_{2}i, ... , a_{n} + b_{n}i)
◦
=(a1,a2,...,an)+i(b1,b2,...,bn)= (a_{1}, a_{2}, ... , a_{n}) + i(b_{1}, b_{2}, ... , b_{n})
◦
=Re(v)+iIm(v)= Re(v) + i Im(v)
에 대하여 vv의 복소켤레 (복소수 부분의 부호만 바뀜)
•
vˉ=(v1ˉ,v2ˉ,...,vnˉ)=Re(v)−iIm(v)\bar{v} = (\bar{v_{1}}, \bar{v_{2}}, ... , \bar{v_{n}}) = Re(v) - i Im(v)
•
ex 1) v=(1+i,−i,3,3i)v = (1+i, -i, 3, 3i)에 대하여 Re(v),Im(v),vˉRe(v), Im(v), \bar{v}를 구하시오
◦
Re(v)=(1,0,3,0)Re(v) = (1, 0, 3, 0)
◦
Im(v)=(1,−1,0,3)Im(v) = (1, -1, 0, 3)
◦
vˉ=Re(v)−iIm(v)=(1−i,i,3,−3i)\bar{v} = Re(v) - i Im(v) = (1 - i, i, 3, -3i)
•
ex 2) A=(1−i2i−13+2i)A = \left( \begin{array}{rr} 1 - i & 2i \\ -1 & 3+2i \end{array} \right)에 대하여 Aˉ,det(Aˉ)\bar{A}, det(\bar{A})를 구하시오
◦
Aˉ=(1+i−2i−13−2i)\bar{A} = \left( \begin{array}{rr} 1 + i & -2i \\ -1 & 3-2i \end{array} \right)
◦
det(Aˉ)=3−2i+3i+2−2i=5−idet(\bar{A}) = 3 - 2i + 3i + 2 - 2i = 5 - i

대수적 성질

•
Cn\mathbb{C}^{n}의 벡터 u,vu, v와 스칼라 kk에 대해
◦
uˉˉ=u\bar{\bar{u}} = u
◦
ku‾=kˉuˉ\overline{ku} = \bar{k} \bar{u}
◦
u±v‾=uˉ±vˉ\overline{u \pm v} = \bar{u} \pm \bar{v}
•
m×km \times k 행렬 AA와 k×nk \times n 행렬 BB에 대해
◦
Aˉˉ=A\bar{\bar{A}} = A
◦
(AT‾)=(Aˉ)T(\overline{A^{T}}) = (\bar{A})^{T}
◦
AB‾=AˉBˉ\overline{AB} = \bar{A} \bar{B}

복소내적공간

정의

복소벡터공간 (V,C,+,⋅)(V, \mathbb{C}, +, \cdot)의 두 벡터 u=(u1,u2,...,un),v=(v1,v2,...,vn)u = (u_{1}, u_{2}, ... , u_{n}), v = (v_{1}, v_{2}, ... , v_{n})의 내적 <u,v>:V×V→C<u, v> : V \times V \to \mathbb{C}은
<u,v>=u⋅v=u1v1ˉ+u2v2ˉ+...+unvnˉ<u, v> = u \cdot v = u_{1} \bar{v_{1}} + u_{2} \bar{v_{2}} + ... + u_{n} \bar{v_{n}}
로 정의한다. 또한 내적이 정의되어 있는 복소벡터공간을 복소내적공간이라 한다.
(만약 뒤에 있는 벡터에 켤레를 취해주지 않으면 노름 값이 0이나 음수가 나올 수가 있다. 때문에 뒤의 벡터에 켤레를 취해서 노름 값을 자연스럽게 만들어 줌. 엄밀히 말해주면 위의 연산이 내적공간의 연산이 기본이고, 실수벡터공간에서는 켤레를 취해줘도 의미가 없기 때문에 생략이 되었던 것)

성질

복소내적공간의 세 벡터 u,v,wu, v, w와 스칼라 kk에 대해 다음 성질이 만족한다.
•
<u,v>=<v,u>‾<u, v> = \overline{<v, u>}
•
<u+v,w>=<u,w>+<v,w><u + v, w> = <u, w> + <v, w>
•
<u,v+w>=<u,v>+<u,w><u, v + w> = <u, v> + <u, w>
•
<ku,w>=k<u,w><ku, w> = k<u, w>
•
<u,kv>=kˉ<u,v><u, kv> = \bar{k}<u, v>
•
v≠0⃗v \neq \vec{0} 일 때 <v,v>>0<v, v> > 0

고윳값과 벡터

정의

복소정사각행렬 AA에 대하여 고유방정식 det(λI−A)=0det(\lambda I - A) = 0의 복소해 λ\lambda를 AA의 복소고윳값이라 한다.
또한 Av=λvAv = \lambda v를 만족시키는 모든 벡터 vv의 집합을 AA의 고유공간, 고유공간의 영벡터가 아닌 벡터를 AA의 복소고유벡터라고 한다.
•
ex) A=(21−5−2)A = \left( \begin{array}{rr} 2 & 1 \\ -5 & -2 \end{array} \right)일 때
◦
det(λI2−A)=det((λ−2−15λ+2))=λ2+1=0det(\lambda I_{2} - A) = det(\left( \begin{array}{rr} \lambda - 2 & -1 \\ 5 & \lambda + 2 \end{array} \right)) = \lambda^{2} + 1 = 0
◦
∴λ=ior−i\therefore \lambda = i or -i
◦
λ=i\lambda = i 일 때
▪
V=t(−i+251)V = t \left( \begin{array}{rr} - {i + 2 \over 5} \\ 1 \end{array} \right)
▪
고유공간 ={(−i+25,1)}=\{(- {i + 2 \over 5} , 1) \}
▪
고유벡터 =(−i+25t,t)(t≠0)=(- {i + 2 \over 5}t , t) (t \neq 0)

정리

λ\lambda가 실 정사각행렬 AA의 고윳값이고 vv는 이에 대응하는 고유벡터이면, λˉ\bar{\lambda} 또한 AA의 고윳값이며 vˉ\bar{v}는 이에 대응하는 고유벡터이다.

유니터리 대각화

용어의 정의

켤레전치행렬

복소행렬 AA의 전치행렬을 구한 다음 각 성분을 켤레인 복소수로 바꾼 행렬 AHA^{H}를 AA의 켤레전치행렬 또는 에르미트 전치행렬이라 한다.
스칼라 kk와 m×r행렬A,r×n행렬Bm \times r \text{행렬} A, r \times n \text{행렬} B에 대해 다음이 성립한다.
•
(AH)H=A(A^{H})^{H} = A
•
(A±B)H=AH±BH(A \pm B)^{H} = A^{H} \pm B^{H} (복부호 동순)
•
(kA)H=kˉAH(kA)^{H} = \bar{k} A^{H}
•
(AB)H=BHAH(AB)^{H} = B^{H} A^{H}

에르미트행렬

A=AHA = A^{H}가 성립하는 복소정사각행렬 AA를 에르미트행렬이라 한다.

유니터리행렬

복소정사각행렬 AA의 역행렬 A−1A^{-1} 에 대하여 A−1=AHA^{-1} = A^{H}가 성립하는 행렬 AA를 유니터리행렬이라 한다.

정규행렬

AAH=AHAA A^{H} = A^{H} A가 성립하는 복소정사각행렬 AA를 정규행렬이라 한다. 에르미트행렬, 유니터리행렬 등이 이에 해당한다.

유니터리 대각화

정의

PHAP=DP^{H}AP = D가 복소대각행렬이 되는 유니터리행렬 PP가 존재하면 복소정사각행렬 AA는 유니터리 대각화가능하다고 한다.
또한 이러한 임의의 행렬 PP는 AA를 유니터리 대각화한다고 한다.

정리

유니터리 대각화 가능한 행렬은 정규행렬이며, 그 역도 성립한다. 즉 정규행렬은 유니터리 대각화 가능하다.

에르미트행렬 A의 유티너리 대각화 과정

1.
AA의 모든 고유공간의 기저를 구한다.
2.
고유공간의 정규직교기저를 구한다.
3.
기저벡터를 열벡터로 하는 행렬 PP는 유니터리행렬이고, AA를 대각화 한다.
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