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데코수학/ 벡터미적분학/ 그린 정리

(유튜브 동영상인데 현재는 삭제되어서 내용만 남김)

개념

영역 (Ω)(\Omega), 경계 (Ω)(\partial \Omega)
2차원 영역에서는 테두리, 3차원 영역에서는 표면, 1차원 선에서는 양 끝점이 경계가 된다.
조르당 곡선정리
평면에서 단순 폐곡선 C는 평면을 내부영역과 외부영역으로 분할한다. (단순 폐곡선이란 중간에 겹치는 점 없이 이루어진 폐곡선)
폐곡선의 방향과 부호
영역 (Ω)(\Omega)의 경계 (Ω)(\partial \Omega) 에 대하여, 곡선을 진행할 때 영역이 왼쪽에 놓이게 되는 방향을 + 방향이라고 한다.
영역이 안쪽에 있으면 반시계 방향, 영역이 바깥쪽에 있으면 시계방향이 + 방향이 된다.
좌표계의 오른손 법칙, 벡터곱과 관련되어 이렇게 정의 함.
그린 정리
Ω(R2)\Omega (\subseteq \mathbb{R}^{2}): 조각적으로 매끄러운 단순폐곡선 c1,c2,...cnc_{1}, c_{2}, ... c_{n} 으로 둘러 쌓인 영역 (c2,...cnc_{2}, ... c_{n} 내부에 있고, c1,c2,...cnc_{1}, c_{2}, ... c_{n} 들은 서로 겹치지 않음)
내부에 구멍이 유한개 뚫려 있는 단순 폐곡선을 의미
조각적으로 매끄러운 것은 미분 불가능한 지점이 있을 수 있음
그리고 F\vec{F}Ω\Omega 에서 미분 가능하면
Ω(×F)z^dxdy=ΩFdx\Rightarrow \int_{\Omega} (\nabla \times \vec{F}) \cdot \hat{z} dx \land dy = \int_{\Omega}\vec{F} \cdot d\vec{x}