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김영길/ 선형대수학/ rank of matrix, column space, row space, system of linear equations

(Ex 2는 elemantary matrix 계산이라 생략)

Thm 3.2

•
Elementary matrix는 invertible하고 Elementary의 inverse도 invertible 하다.
◦
[010100001]−1=[010100001]\left[ \begin{array}{rrr} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right]^{-1} = \left[ \begin{array}{rrr} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right]
◦
[100020001]−1=[1000120001]\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right]^{-1} = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & {1 \over 2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right]

3.2 Rank of matrix

•
행렬 A∈Mm×n(F)A \in M_{m \times n}(F)에 대하여, 그 행렬의 rank는
◦
rank(A)=rank(LA)rank(A) = rank(L_{A}) : LAL_{A}의 range(치역)의 차원
◦
LA:Fn→FmL_{A} : F^{n} \to F^{m}
◦
x↦Axx \mapsto Ax
•
n×nn \times n 행렬이 invertible
◦
⇔rank=n⇔nullity=0\Leftrightarrow rank = n \Leftrightarrow nullity = 0

Thm 3.3

•
선형 변환 T:V→WT : V \to W에 대하여, VV의 기저가 β\beta, WW 의 기저가 γ\gamma일 때
◦
rank(T)=rank([T]βγ)rank(T) = rank([T]_{\beta}^{\gamma})
◦
(선형변환의 rank와 행렬표현의 rank가 같다)

Thm 3.4

•
세 행렬 A:m×n,P:m×mA: m \times n, P : m \times m invertible, Q:n×nQ : n \times n invertible 에 대하여
◦
rank(AQ)=rank(A)rank(AQ) = rank(A)
◦
rank(PA)=rank(A)rank(PA) = rank(A)
◦
rank(PAQ)=rank(A)rank(PAQ) = rank(A)

Corollary

•
Elementary row operation은 rank를 유지시켜준다.

Thm 3.5

•
rank(A)rank(A)는 독립 컬럼의 최대개수가 된다.
◦
rank(A)=dim(columnspace)=dim(rowspace)=rank(At)rank(A) = dim(column space) = dim(row space) = rank(A^{t})
•
Ex)
◦
A=[101011101],rank(A)=2A = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{array} \right], rank(A) = 2
•
Ex 2)
◦
A=[121101112]→[1210−220−11]→[1210−22000]A = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array} \right] \to \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 0 & -2 & 2 \\ 0 & -1 & 1 \end{array} \right] \to \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 0 & -2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right]
◦
∴rank(A)=2\therefore rank(A) = 2
◦
(row elementary operation이 rank를 바꾸지 않기 때문에 적절한 연산으로 row을 정리해서 Echelon form(사다리꼴)으로 만들어 주면 최종적으로 남은 pivot의 개수를 통해 행렬의 rank를 쉽게 구할 수 있다.)

Thm

•
세 행렬 A:m×n,P:m×m,Q:n×nA: m \times n, P : m \times m, Q : n \times n 에 대하여
◦
rank(AQ)≤rank(A)rank(AQ) \leq rank(A)
◦
rank(PA)≤rank(A)rank(PA) \leq rank(A)
◦
rank(PAQ)≤rank(A)rank(PAQ) \leq rank(A)
•
(앞선 정리와 다른 점은 P,QP, Q가 invertible 하지 않다는 것. 일반적으로 행렬을 곱해줄 수록 rank는 감소한다.)

Thm 3.7

•
T:V→W,U:W→ZT : V \to W, U : W \to Z에 대하여
◦
rank(UT)≤rank(U)rank(UT) \leq rank(U)
◦
rank(UT)≤rank(T)rank(UT) \leq rank(T)
(rank 구하는 예제 생략)

3.3 System of linear equations

•
행렬 $latex A: m \times n &s=2$에 대하여
◦
$latex Ax = b &s=2$
◦
위 식의 해가 존재하면 consistent 하다고 하고 해가 존재하지 않으면 inconsistent 하다고 한다.
◦
위 식의 해가 존재하려면 행렬 $latex A &s=2$의 column을 선형결합해서 $latex b &s=2$를 만들 수 있어야 한다.
•
Def
◦
$latex Ax = 0 &s=2$ 인 시스템은 homogeneous 하다고 한다.
◦
$latex Ax = b (b \neq 0) &s=2$ 인 시스템은 non-homogeneous 하다고 한다.
◦
homogeneous인 시스템에서 $latex x = 0 &s=2$은 항상 해가 된다. 고로 homogeneous인 시스템은 항상 consistent 하다. (해가 1개 이상)

Thm 3.8

•
행렬 A:m×nA: m \times n에 대하여
◦
KK를 Ax=0Ax = 0을 만족하는 모든 해의 집합이라고 할 때
▪
K=N(LA)=N(A)K = N(L_{A}) = N(A)
•
(NN 은 널공간)
▪
n=nullity(A)+rank(A)n = nullity(A) + rank(A)
◦
KK는 FnF^{n}의 부분공간이 되고 rank는 n−rank(A)n - rank(A)이 된다.
(계산 예제 생략 - pivot variable과 free variable을 구분해서 계산하는 것이 팁. 그렇게 구해진 결과가 해공간의 기저가 된다. 상세한 것은 교재에서 정리)
Made with