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데코수학/ 집합론/ 전단사 함수

(유튜브 동영상인데 현재는 삭제되어서 내용만 남김)

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개념

•
ff: 단사 ⇔(f(x1)=f(x2)⇒x1=x2)\Leftrightarrow ( f(x_{1}) = f(x_{2}) \Rightarrow x_{1} = x_{2})
◦
(x1≠x2→f(x1)≠f(x2))(x_{1} \neq x_{2} \rightarrow f(x_{1}) \neq f(x_{2}))
•
ff : 전사 ⇔f(X)=Y\Leftrightarrow f(X) = Y
◦
정의역 전체에 대한 상이 공역과 같은 것
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단서, 전사, 전단사
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단사 : 1-1
◦
전사 : onto
◦
전단사 : 1-1 & onto
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f:X→Yf : X \to Y: 단사, A⊆X,F⊆P(X)A \subseteq X, F \subseteq P(X)
◦
f(x)∈f(A)→x∈Af(x) \in f(A) \rightarrow x \in A
◦
f(∪A∈FA)=∪A∈Ff(A)f(\cup_{A \in F} A) = \cup_{A \in F} f(A)
◦
f(∩F)=∩A∈Ff(A)f(\cap F) = \cap_{A \in F} f(A)
▪
일반적인 경우와 달리 단사일 경우는 같음이 성립한다.
◦
f−1(∪F)=∪A∈Ff−1(A)f^{-1}(\cup F) = \cup_{A \in F} f^{-1}(A)
◦
f−1(∩F)=∩A∈Ff−1(A)f^{-1}(\cap F) = \cap_{A \in F} f^{-1}(A)
•
전단사 f:X→Yf : X \to Y에 대하여, f−1:Y→Xf^{-1} : Y \to X는 전단사함수
◦
Dom(F−1)=Im(f)=Y(∵f=전사)Dom(F^{-1}) = Im(f) = Y (\because f = \text{전사})
◦
(a,b)∈f−1,(a,c)∈f−1⇒(b,a)∈f,(c,a)∈f(a, b) \in f^{-1}, (a, c) \in f^{-1} \Rightarrow (b, a) \in f, (c, a) \in f
▪
a=f(b)=f(c)⇒b=c(∵f=단사)a = f(b) = f(c) \Rightarrow b = c (\because f = \text{단사})
◦
f−1(a)=f−1(b)f^{-1}(a) = f^{-1}(b)
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Im(f−1)=Dom(f)=X(∵f=함수)Im(f^{-1}) = Dom(f) = X (\because f = \text{함수})
•
단사 함수의 합성은 단사, 전사 함수의 합성은 전사
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다양한 함수들
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Idx:X→X,Idx(x)=xIdx : X \to X, Idx(x) = x (항등 함수)
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Ca:X→{a},Ca(x)=aC_{a} : X \to \{ a \}, C_{a}(x) = a (상수 함수)
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Xa:X→{a,b},Xa(x)={a(x∉A)b(x∈A)X_{a} : X \to \{ a, b \}, X_{a}(x) = \begin{cases} a (x \notin A) \\ b (x \in A) \end{cases} (신호 함수 or 상태 함수. 조건에 따라 상태가 다르기 때문에 불연속적이다)
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Px:X×Y→X,Px(x,y)=xP_{x} : X \times Y \to X, P_{x} (x, y) = x (XX사영 함수 or 2변수 함수. YY를 무시하고 XX축에 그림자를 씌운다는 의미에서 사영 함수라고 한다)
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f:A⊆B⇔f:A→B,f(x)=xf : A \subseteq B \Leftrightarrow f : A \to B, f(x) = x (포함 함수)
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순서 nn 쌍, N−TupleN-Tuple
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(a,b)(a, b) 2개인 경우: ordered pair
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{{a},{a,b}}\{ \{a\}, \{a, b\}\}
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(a,b,c)(a, b, c) 3개인 경우: 3-Tuple
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{(1,a),(2,b),(3,c)}\{(1, a), (2, b), (3, c)\}
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순서대로 ordered pair를 포함하고 있다.
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일반화된 카테시안
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R3={(a,b,c)∣a,b,c∈R}\mathbb{R}^{3} = \{ (a, b, c) | a, b, c \in \mathbb{R} \}
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Rn={(a1,a2,...,an∣ai∈R}\mathbb{R}^{n} = \{ (a_{1}, a_{2}, ... , a_{n} | a_{i} \in \mathbb{R} \} (nn차원 유클리드 공간)
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Πk=1nAk={(a1,a2,...,an∣ai∈Ai}\Pi_{k=1}^{n} A_{k} = \{ (a_{1}, a_{2}, ... , a_{n} | a_{i} \in A_{i} \}
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Rn={f:N→R}\mathbb{R}^{n} = \{ f : \mathbb{N} \to \mathbb{R} \} (무한차원 유클리드 공간, 조건을 더 추가하면 힐베르트 공간이 될 수 있음)
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Πγ∈ΓAγ={f:Γ→∪γ∈ΓAγ∣f(γ)∈Aγ}\Pi_{\gamma \in \Gamma} A_{\gamma} = \{ f : \Gamma \to \cup_{\gamma \in \Gamma} A_{\gamma} | f(\gamma) \in A_{\gamma} \} (일반화된 카테시안. 함수 공간, 하나의 함수가 점처럼 표현 됨)

함수식

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f:X→Y,g:Y→Zf : X \to Y, g : Y \to Z에 대하여
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g∘f:X→Z,(g∘f)(x)=g(f(x))g \circ f : X \to Z, (g \circ f)(x) = g(f(x))
▪
합성 함수
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(a,b)∈g∘f⇔∃Z∈Y,(a,z)∈f∧(z,b)∈g(a, b) \in g \circ f \Leftrightarrow \exists Z \in Y, (a, z) \in f \wedge (z, b) \in g
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f:X→Y,g:Y→Z,h:Z→Wf : X \to Y, g : Y \to Z, h : Z \to W 에 대하여
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h∘(g∘f)=(h∘g)∘fh \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f
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합성 합수의 결합 법칙은 성립한다. 그러나 교환 법칙은 성립하지 않는다. f∘g≠g∘ff \circ g \neq g \circ f
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f:X→Yf : X \to Y에 대하여
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∃g=Y→X,g∘f=Idx⇒f\exists g = Y \to X, g \circ f = Idx \Rightarrow f: 단사 (Idx는 항등 함수)
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∃h=Y→X,f∘h=Idy⇒f\exists h = Y \to X, f \circ h = Idy \Rightarrow f: 전사 (Idx는 항등 함수)
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f,gf, g : 전단사 ⇒ g∘fg \circ f : 전단사
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g∘f(a)=g∘f(b)⇒a=bg \circ f(a) = g \circ f(b) \Rightarrow a = b
◦
(g∘f)(x)=g(f(x))(g \circ f)(x) = g(f(x))
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