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선형대수/ 행렬식(determinant)

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행렬식은 정사각행렬 A∈Mn×n(F)\bold{A} \in M_{n \times n}(F)에서만 정의 가능하다.

2차 정사각 행렬의 행렬식

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체 FF의 원소를 성분으로 하는 2×22 \times 2 행렬 A=(abcd)\bold{A} = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d\end{matrix} \right)에 대해 스칼라 ad−bcad - bc를 A\bold{A}의 행렬식(determinant)이라 하며 det⁡(A)\det(\bold{A}) 또는 ∣A∣|\bold{A}|로 표기한다.
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함수 det⁡:M2×2(F)→F\det: M_{2\times 2}(F) \to F는 2×22\times 2 행렬의 다른 행이 고정되어 있을 때, 행렬의 각 행에 대하여 선형함수이다. 즉 u,v,w∈F2\bold{u, v, w} \in F^2과 스칼라 kk에 대해 다음 두 식이 성립한다.
det⁡(u+kvw)=det⁡(uw)+kdet⁡(vw)det⁡(wu+kv)=det⁡(wu)+kdet⁡(wv)\det \left( \begin{matrix} \bold{u} + k\bold{v} \\ \bold{w} \end{matrix} \right) = \det \left( \begin{matrix} \bold{u} \\ \bold{w} \end{matrix} \right) + k \det \left( \begin{matrix} \bold{v} \\ \bold{w} \end{matrix} \right) \\ \det \left( \begin{matrix} \bold{w} \\ \bold{u} + k \bold{v} \end{matrix} \right) = \det \left( \begin{matrix} \bold{w} \\ \bold{u} \end{matrix} \right) + k \det \left( \begin{matrix} \bold{w} \\ \bold{v} \end{matrix} \right)
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행렬 A∈M2×2(F)\bold{A} \in M_{2 \times 2}(F)에 대하여 A\bold{A}의 행렬식이 0이 아니기 위한 필요충분조건은 A\bold{A}가 가역행렬인 것이다. A\bold{A}가 가역행렬이면 역행렬은 다음과 같다.
A−1=1det⁡(A)(A22−A12−A21A11)\bold{A}^{-1} = {1 \over \det (\bold{A})} \left( \begin{matrix} A_{22} & -A_{12} \\ -A_{21} & A_{11} \end{matrix} \right)

n차 정사각 행렬의 행렬식

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행렬 A∈Mn×n(F)\bold{A} \in M_{n \times n}(F)에 대하여 det⁡(A)\det (\bold{A})를 다음과 같이 귀납적으로 정의하자. (단 n=1n = 1일 때 A=(A11)\bold{A} = (A_{11}))
det⁡(A)={A11n=1∑j=1n(−1)1+jA1j⋅det⁡(A~1j)n≥2\det(\bold{A}) = \begin{cases} A_{11} & n = 1 \\ \sum_{j=1}^{n} (-1)^{1+j} A_{1j} \cdot \det(\tilde{A}_{1j}) & n \geq 2 \end{cases}
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스칼라 det⁡(A)\det(\bold{A})는 A\bold{A}의 행렬식이라 하며, ∣A∣|\bold{A}|라 표기한다.
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스칼라 (−1)i+jdet⁡(A~ij)(-1)^{i+j} \det(\tilde{A}_{ij})는 A\bold{A}의 ii행 jj열 성분에 대한 여인수(cofactor)라 한다.
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A\bold{A}의 ii행 jj열 성분에 대한 여인수를 cij=(−1)i+jdet⁡(A~ij)c_{ij} = (-1)^{i+j} \det(\tilde{A}_{ij})로 표기하면 A\bold{A}의 행렬식을 다음과 같이 쓸 수 있다.
det⁡(A)=A11c11+A12c12+...+A1nc1n\det(\bold{A}) = A_{11} c_{11} + A_{12} c_{12} + ... + A_{1n} c_{1n}
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즉 A\bold{A}의 행렬식은 A\bold{A}의 각 1행의 각 성분에 여인수를 곱하여 더한 것이다. 위 공식은 A\bold{A}의 1행에 대한 여인수 전개(cofactor expansion)이라 한다.
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n×nn \times n 행렬의 행렬식은 나머지 행이 고정되어 있을 때, 행렬의 각 행에 대하여 선형함수이다. 즉 1≤r≤n1 \leq r \leq n인 rr에 대해 다음 식이 성립한다. 이때 kk는 스칼라이고 u,v\bold{u, v}와 각 ai\bold{a}_i는 행벡터(∈Fn\in F^n)이다.
det⁡(a1⋮ar−1u+kvar+1⋮an)=det⁡(a1⋮ar−1uar+1⋮an)+kdet⁡(a1⋮ar−1var+1⋮an)\det \left( \begin{matrix} \bold{a}_{1} \\ \vdots \\ \bold{a}_{r-1} \\ \bold{u} + k\bold{v} \\ \bold{a}_{r+1} \\ \vdots \\ \bold{a}_n \end{matrix} \right) = \det \left( \begin{matrix} \bold{a}_{1} \\ \vdots \\ \bold{a}_{r-1} \\ \bold{u} \\ \bold{a}_{r+1} \\ \vdots \\ \bold{a}_n \end{matrix} \right) +k \det \left( \begin{matrix} \bold{a}_{1} \\ \vdots \\ \bold{a}_{r-1} \\ \bold{v} \\ \bold{a}_{r+1} \\ \vdots \\ \bold{a}_n \end{matrix} \right)
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행렬 A∈Mn×n(F)\bold{A} \in M_{n \times n}(F)의 어느 행의 모든 성분이 0이면 det⁡(A)=0\det(\bold{A}) = 0이다.
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n≥2n \geq 2인 행렬 B∈Mn×n(F)\bold{B} \in M_{n\times n}(F)의 ii행이 ek\bold{e}_k(kk는 1≤k≤n1 \leq k \leq n인 어떤 자연수)이면, det⁡(B)=(−1)i+kdet⁡(B~ik)\det (\bold{B}) = (-1)^{i + k} \det (\tilde{B}_{ik})이다.
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정사각 행렬의 행렬식은 임의의 행에 대해 여인수 전개하여 구할 수 있다. 즉 A∈Mn×n(F)\bold{A} \in M_{n \times n}(F)와 임의의 정수 ii(1≤i≤n1 \leq i \leq n)에 대하여 다음이 성립한다.
det⁡(A)=∑j=1n(−1)i+jAij⋅det⁡(A~ij)\det(\bold{A}) = \sum_{j=1}^{n}(-1)^{i+j} A_{ij} \cdot \det(\tilde{A}_{ij})
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A∈Mn×n(F)\bold{A} \in M_{n \times n}(F)의 두 행이 같으면 det⁡(A)=0\det(\bold{A}) = 0이다.
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기본행 연산이 A∈Mn×n(F)\bold{A} \in M_{n \times n}(F)에 미치는 영향은 다음과 같다.
1.
A\bold{A}의 두 행을 교환하여 얻은 행렬을 B\bold{B}라 하면, det⁡(B)=−det⁡(A)\det(\bold{B}) = -\det(\bold{A})이다.
2.
A\bold{A}의 한 행에 0이 아닌 스칼라 kk를 곱하여 얻은 행렬을 B\bold{B}라 하면, det⁡(B)=kdet⁡(A)\det(\bold{B}) = k \det(\bold{A})이다.
3.
A\bold{A}의 한 행에 다른 행의 스칼라 배를 더하여 얻은 행렬을 B\bold{B}라 하면, det⁡(B)=det⁡(A)\det(\bold{B}) = \det(\bold{A})이다.
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행렬 A∈Mn×n(F)\bold{A} \in M_{n \times n}(F)의 랭크가 nn 이만이면 det⁡(A)=0\det(\bold{A}) = 0이다.
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상삼각행렬이나 하삼각행렬의 행렬식은 대각성분의 곱과 같다. det(A)=∏iAii\text{det}(\bold{A}) = \prod_i A_{ii}

행렬식 계산 예

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행렬 A\bold{A}의 각 항목을 aija_{ij}라 할 때 행렬식은 다음과 같이 계산된다.
•
행렬 A\bold{A}가 0×00 \times 0인 경우
det⁡(A)=0\det(\bold{A}) = 0
•
행렬 A\bold{A}가 1×11 \times 1인 경우
det⁡(A)=a11\det(\bold{A}) = a_{11}
•
행렬 A\bold{A}가 2×22 \times 2인 경우
det⁡(A)=a11a22−a12a21\det(\bold{A}) = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}
•
행렬 A\bold{A}가 3×33 \times 3인 경우
◦
여기서부터 여인수 전개가 필요하다. 아래에서 MiiM_{ii}는 aiia_{ii}의 여인수를 의미함.
det⁡(A)=(a11a12a13a21a22a23a31a32a33)=(−1)1+1a11M11+(−1)1+2a12M12+(−1)1+3a13M13=a11∣a22a23a32a33∣−a12∣a21a23a31a33∣+a13∣a21a22a31a32∣=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a13a22a31−a11a23a32−a12a21a33\begin{aligned} \det(\bold{A}) &= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} \\ &= (-1)^{1 + 1} a_{11} M_{11} + (-1)^{1+2} a_{12} M_{12} + (-1)^{1+3} a_{13} M_{13} \\ &= a_{11} \left| \begin{array}{rr} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{array} \right| - a_{12} \left| \begin{array}{rr} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{array} \right| + a_{13} \left| \begin{array}{rr} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{array} \right| \\ &= a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} - a_{13} a_{22} a_{31} - a_{11} a_{23} a_{32} - a_{12} a_{21} a_{33} \end{aligned}

행렬식의 성질

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항등행렬 I\bold{I}는 det⁡(I)=1\det(\bold{I}) = 1이다.
◦
I\bold{I}의 두 행의 위치를 바꾸어 얻은 기본행렬을 E\bold{E}라 하면 det⁡(E)=−1\det(\bold{E}) = -1이다.
◦
I\bold{I}의 한 행에 영이 아닌 스칼라 kk를 곱하여 얻은 기본행렬을 E\bold{E}라 하면 det⁡(E)=k\det(\bold{E}) = k이다.
◦
I\bold{I}의 한 행에 다른 행의 스칼라 배를 더하여 얻은 기본행렬을 E\bold{E}라 하면 det⁡(E)=1\det(\bold{E}) = 1이다.
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임의의 A,B∈Mn×n(F)\bold{A, B} \in M_{n \times n}(F)에 대하여 det⁡(A)=det⁡(A)⋅det⁡(B)\det(\bold{A}) = \det(\bold{A}) \cdot \det(\bold{B})이다.
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행렬 A∈Mn×n(F)\bold{A} \in M_{n \times n}(F)가 가역이기 위한 필요충분조건은 det⁡(A)≠0\det(\bold{A}) \neq 0이다. 특히 A\bold{A}가 가역이면 det⁡(A−1)=1det⁡(A)\det(\bold{A}^{-1}) = {1 \over \det (\bold{A})}이다.
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임의의 A∈Mn×n(F)\bold{A} \in M_{n \times n}(F)에 대하여 det⁡(A⊤)=det⁡(A)\det(\bold{A}^\top) = \det(\bold{A})이다.
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크라머 공식(Cramer’s Rule)
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Ax=b\bold{Ax} = \bold{b}를 nn개의 미지수를 가진 nn개의 연립일차방정식의 행렬표현이라 하자. (단 x=(x1,x2,...,xn)T\bold{x} = (x_1, x_2,...,x_n)^T) det⁡(A)≠0\det(\bold{A}) \neq 0 일 때, 이 연립방정식은 다음과 같은 유일한 해가 있다.
xk=det⁡(Mk)det⁡(A)x_k = {\det(\bold{M}_k) \over \det(\bold{A})}
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이때 각 k(k=1,2,...,n)k (k = 1,2,...,n)에 대하여 Mk\bold{M}_k는 A\bold{A}의 kk열을 b\bold{b}로 바꾸어 얻은 n×nn \times n 행렬이다.
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A∈Mn×n(R)\bold{A} \in M_{n \times n}(R)의 각 행을 (a1,a2,...,an)(\bold{a}_1, \bold{a}_2, ... , \bold{a}_n)이라 표기하면 ∣det⁡(A)∣|\det(\bold{A})|는 벡터 a1,a2,...,an\bold{a}_1, \bold{a}_2, ... , \bold{a}_n을 이웃한 변으로 가지는 나란히꼴(prallelepiped)의 n차원 부피(n-dimensional volume)이 된다.

행렬식의 엄밀한 정의

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n×nn \times n 행렬의 다른 행이 고정되어 있을 때, 행렬의 각 행에 대하여 선형인 함수 δ:Mn×n(F)→F\delta : M_{n \times n}(F) \to F를 nn-선형함수(n-linear function)이라 한다. 즉 모든 r=1,2,...,nr = 1,2,...,n에 대하여 FnF^n에 속하는 임의의 세 벡터 u,v,ai\bold{u, v, a}_i와 스칼라 kk에 대하여 다음 관계식을 만족하는 δ\delta는 nn-선형이다.
δ(a1⋮ar−1u+kvar+1⋮an)=δ(a1⋮ar−1uar+1⋮an)+kδ(a1⋮ar−1var+1⋮an)\delta \left( \begin{matrix} \bold{a}_{1} \\ \vdots \\ \bold{a}_{r-1} \\ \bold{u} + k\bold{v} \\ \bold{a}_{r+1} \\ \vdots \\ \bold{a}_n \end{matrix} \right) = \delta \left( \begin{matrix} \bold{a}_{1} \\ \vdots \\ \bold{a}_{r-1} \\ \bold{u} \\ \bold{a}_{r+1} \\ \vdots \\ \bold{a}_n \end{matrix} \right) +k \delta \left( \begin{matrix} \bold{a}_{1} \\ \vdots \\ \bold{a}_{r-1} \\ \bold{v} \\ \bold{a}_{r+1} \\ \vdots \\ \bold{a}_n \end{matrix} \right)
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이웃한 두 행이 서로 같은 행렬 A∈Mn×n(F)\bold{A} \in M_{n \times n}(F)에 대하여 δ(A)=0\delta(\bold{A}) = 0인 nn-선형함수 δ:Mn×n(F)→F\delta : M_{n \times n}(F) \to F를 교대(alternating)라 한다.
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교대 nn-선형함수 δ:Mn×n(F)→F\delta : M_{n \times n}(F) \to F에 대하여 다음이 성립한다.
◦
A∈Mn×n(F)\bold{A} \in M_{n \times n}(F)의 임의의 두 행을 교환하여 얻은 행렬을 B\bold{B}라 하면 δ(B)=−δ(A)\delta(\bold{B}) = -\delta(\bold{A})이다.
◦
A∈Mn×n(F)\bold{A} \in M_{n \times n}(F)의 임의의 두 행이 같으면 δ(A)=0\delta(\bold{A}) = 0이다.
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교대 nn-선형함수 δ:Mn×n(F)→F\delta : M_{n \times n}(F) \to F를 생각하자. 행렬 A∈Mn×n(F)\bold{A} \in M_{n \times n}(F)의 어느 행의 스칼라 배를 다른 행에 더하여 얻은 행렬을 B\bold{B}라하면 δ(B)=δ(A)\delta(\bold{B}) = \delta(\bold{A})이다.
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교대 nn-선형함수 δ:Mn×n(F)→F\delta : M_{n \times n}(F) \to F를 생각하자. A∈Mn×n(F)\bold{A} \in M_{n \times n}(F)의 랭크가 nn 미만이면 δ(A)=0\delta(\bold{A}) = 0이다.
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교대 nn-선형함수 δ:Mn×n(F)→F\delta : M_{n \times n}(F) \to F와 에 Mn×n(F)M_{n \times n}(F)속한 1형 기본행렬 E1\bold{E}_1, 2형 기본행렬 E2\bold{E}_2, 3형 기본행렬 E3\bold{E}_3을 생각하자. 특히 E2\bold{E}_2는 I\bold{I}의 어느 행에 영이 아닌 스칼라 kk를 곱하여 얻은 행렬이다. 이때 다음이 성립한다.
δ(E1)=−δ(I)δ(E2)=k⋅δ(I)δ(E3)=δ(I)\begin{aligned} \delta(\bold{E}_1) &= -\delta(\bold{I}) \\ \delta(\bold{E}_2) &= k \cdot \delta(\bold{I}) \\ \delta(\bold{E}_3) &= \delta(\bold{I}) \end{aligned}
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δ(I)=1\delta(\bold{I}) = 1인 교대 nn-선형함수 δ:Mn×n(F)→F\delta : M_{n \times n}(F) \to F를 생각하자. 임의의 A,B∈Mn×n(F)\bold{A, B} \in M_{n \times n}(F)에 대하여 δ(A)⋅δ(B)\delta(\bold{A}) \cdot \delta(\bold{B})이다.
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δ(I)=1\delta(\bold{I}) = 1인 교대 nn-선형함수 δ:Mn×n(F)→F\delta : M_{n \times n}(F) \to F를 생각하자. 모든 A∈Mn×n(F)\bold{A} \in M_{n \times n}(F)에 대하여 δ(A)=det⁡(A)\delta(\bold{A}) =\det(\bold{A})이다.
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δ(I)=1\delta(\bold{I}) = 1인 유일한 교대 nn-선형함수 δ:Mn×n(F)→F\delta : M_{n \times n}(F) \to F는 행렬식이다.

행렬식의 속성

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행렬 A,B∈Rn×n\bold{A}, \bold{B} \in \mathbb{R}^{n \times n}에 대해 다음의 속성이 만족된다.
◦
4번째는 A\bold{A}가 sigular이면 행렬식이 0이 된다는 의미이다.
◦
5번째는 A\bold{A}가 특이가 아닐 때, 역행렬의 행렬식이 정의 가능하다는 뜻이다. (A\bold{A}가 특이면 분모가 0이 되므로)
◦
마지막의 λi\lambda_i는 행렬 A\bold{A}의 고유값을 의미한다. 행렬식은 고윳값들의 곱과 같다.
∣A∣=∣A⊤∣∣cA∣=cn∣A∣∣AB∣=∣A∣∣B∣∣A∣=0 iff A is singular∣A−1∣=1/∣A∣ if A is not singular∣A∣=∏i=1nλi (where λi are the eigenvalues of A)\begin{aligned} |\bold{A}| &= |\bold{A}^\top| \\ |c\bold{A}| &= c^n|\bold{A}| \\ |\bold{A}\bold{B}| &= |\bold{A}||\bold{B}| \\ |\bold{A}| &= 0 \text{ iff } \bold{A} \text{ is singular} \\ |\bold{A}^{-1}| &= 1 / |\bold{A}| \text{ if } \bold{A} \text{ is not singular} \\ |\bold{A}| &= \prod_{i=1}^{n} \lambda_i \ (\text{where } \lambda_i \text{ are the eigenvalues of } \bold{A}) \end{aligned}
•
상삼각행렬(upper triangular matrix) U∈Mn×n(F)\bold{U} \in M_{n \times n}(F)와 하삼각행렬(lower triangular matrix) L∈Mn×n(F)\bold{L} \in M_{n \times n}(F)의 행렬식은 해당 행렬의 대각성분의 곱과 같다.
det⁡(U)=∏i=1nUiidet⁡(L)=∏i=1nLii\det(\bold{U}) = \prod_{i=1}^n \bold{U}_{ii} \\ \det (\bold{L}) = \prod_{i=1}^n \bold{L}_{ii}
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상삼각행렬과 하삼각행렬에 대해 행렬식의 log를 취하면 각 대각 성분에 log를 취한 후 합한 것이 된다.
log⁡det⁡(U)=∑i=1nlog⁡Uiilog⁡det⁡(L)=∑i=1nlog⁡Lii\log \det(\bold{U}) = \sum_{i=1}^n \log \bold{U}_{ii} \\ \log \det (\bold{L}) = \sum_{i=1}^n \log \bold{L}_{ii}

선형 변환에 관점에서 행렬식의 의미

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위의 정리된 내용들은 행렬식에 대한 다소 계산적인 관점의 내용이었고, 행렬을 선형 변환의 관점에서 볼 때, 행렬식은 선형 변환 이후에 변형된 넓이를 의미한다. (3차원인 경우 부피)
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이에 대한 자세한 내용은 아래 영상 참조.

참조

•
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