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수학/ 삼각 함수, 쌍곡선 함수

삼각 함수

삼각 함수는 기본적으로 직각 삼각형의 밑변, 높이, 빗변의 관계를 이용해 정의된다. 편의상 직각 삼각형을 2차원 좌표평면에 직각이 아닌 꼭지점을 원점에 두고 원점과 직각 꼭지점을 잇는 변을 xx축과 나란히 두면, 해당 변을 밑변(aa)이라 할 수 있고, 직각이 마주보는 변을 빗변(c)c)이라 할 수 있고, 나머지 한 변을 높이(bb)라 할 수 있다. 이를 이용하여 원점에 위치한 꼭지점의 각 θ\theta에 대해 아래와 같이 정의할 수 있다.
cos⁡θ=밑변/빗변=acsin⁡θ=높이/빗변=bctan⁡θ=높이/밑변=ba\begin{aligned} \cos \theta &= \text{밑변/빗변} = {{a\over c}} \\ \sin \theta &=\text{높이/빗변} = {b\over c} \\ \tan\theta &= \text{높이/밑변} = {b\over a}\end{aligned}
직각 삼각형을 좌표 평면에 배치하면 빗변을 그 길이(cc)만큼을 반지름으로 갖는 원의 반지름이라 볼 수 있다. 계산의 편의를 위해 x2+y2=1x^2+y^2 = 1을 만족하는 단위원을 생각하면, 빗변의 원점이 아닌 끝점의 위치를 (x,y)(x,y)로 나타낼 수 있는데, 이 점을 각 θ\theta를 이용하여 (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos \theta, \sin \theta)로도 나타낼 수 있다(여기서 tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan \theta = {\sin \theta \over \cos \theta}가 성립한다). 이에 따라 다음이 성립한다.
cos⁡2θ+sin⁡2θ=1\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1
이에 따라 sec⁡θ=1cos⁡θ\sec \theta = {1\over \cos\theta}와 sin⁡θ=cos⁡θtan⁡θ\sin\theta = \cos\theta\tan\theta에 대해 다음이 성립한다.
cos⁡2θ+(cos⁡θtan⁡θ)2=1cos⁡2θ(tan⁡2θ+1)=1tan⁡2θ+1=1cos⁡2=sec⁡2θsec⁡2θ−tan⁡2θ=1\begin{aligned}\cos^2\theta + (\cos\theta\tan\theta)^2 &= 1 \\ \cos^2\theta(\tan^2\theta + 1) &= 1 \\ \tan^2\theta + 1 &= {1\over\cos^2} = \sec^2\theta\\ \sec^2\theta-\tan^2\theta &= 1\end{aligned}
단위원에서 각 θ\theta를 기준으로 cos⁡\cos는 xx, sin⁡\sin은 yy, tan⁡\tan는 yx{y\over x}를 나타내기 때문에 cos⁡0=1,sin⁡0=0,tan⁡0=0\cos 0 =1, \sin 0 = 0, \tan 0 = 0이 성립한다.
또한 삼각함수는 각 θ\theta를 기준으로 하고 각 θ\theta는 주기성을 갖기 때문에 삼각함수는 주기 함수가 된다(이러한 점을 생각해 보면 삼각함수보다 원함수라고 이해하는게 편리하다).
한편 cos⁡,sin⁡\cos, \sin의 그래프를 각각 그려보면 cos⁡\cos는 x=0x=0인 선을 대칭으로 하여 짝함수가 됨을 알 수 있고, sin⁡\sin은 x=0x=0인 점에서 회전 대칭하여 홀함수가 됨을 알 수 있다. 즉 다음이 성립한다. (즉 tan⁡\tan은 홀함수이다)
cos⁡(−θ)=cos⁡(θ)sin⁡(−θ)=−sin⁡(θ)tan⁡(−θ)=sin⁡(−θ)cos⁡(−θ)=−sin⁡(θ)cos⁡(θ)=−tan⁡(θ)\begin{aligned} \cos (-\theta) &= \cos (\theta) \\ \sin(-\theta) &= -\sin (\theta) \\\tan(-\theta) &= {\sin(-\theta)\over\cos(-\theta)} = {-\sin(\theta)\over\cos(\theta)} = -\tan(\theta) \end{aligned}
또한 cos⁡\cos과 sin⁡\sin의 그래프는 서로 π2{\pi\over2}만큼 shift 되어 있기 때문에 다음이 성립한다.
cos⁡(θ−π2)=sin⁡θcos⁡(θ+π2)=−sin⁡θcos⁡(π2−θ)=cos⁡(−(θ−π2))=cos⁡(θ−π2)=sin⁡θsin⁡(θ−π2)=−cos⁡θsin⁡(θ+π2)=cos⁡θsin⁡(π2−θ)=sin⁡(−(θ−π2))=−sin⁡(θ−π2)=cos⁡θ\begin{aligned} \cos\left(\theta -{\pi\over2}\right) &= \sin \theta \\ \cos\left(\theta +{\pi\over2}\right) &= -\sin \theta \\ \cos\left({\pi\over2}-\theta\right) &= \cos\left(-\left(\theta-{\pi\over2}\right)\right) = \cos\left(\theta-{\pi\over2}\right) = \sin\theta \\ \sin\left(\theta-{\pi\over2}\right) &= -\cos \theta \\ \sin\left(\theta+{\pi\over2}\right) &= \cos \theta \\ \sin\left({\pi\over2}-\theta\right) &= \sin \left(-\left(\theta-{\pi\over2}\right)\right) = -\sin\left(\theta-{\pi\over2}\right) = \cos\theta \end{aligned}
따라서 tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan \theta ={\sin\theta\over\cos\theta}에 대해 다음이 성립한다.
tan⁡(θ−π2)=sin⁡(θ−π2)cos⁡(θ−π2)=−cos⁡θsin⁡θ=−1tan⁡θ=−cot⁡θtan⁡(θ+π2)=sin⁡(θ+π2)cos⁡(θ+π2)=cos⁡θ−sin⁡θ=−1tan⁡θ=−cot⁡θtan⁡(π2−θ)=tan⁡(−(θ−π2))=−tan⁡(θ−π2)=1tan⁡θ=cot⁡θ\begin{aligned} \tan\left(\theta -{\pi\over2}\right) &= {\sin (\theta -{\pi\over2})\over \cos(\theta-{\pi\over2})} = {-\cos\theta\over\sin\theta} = -{1\over\tan\theta} = -\cot\theta \\ \tan\left(\theta +{\pi\over2}\right) &= {\sin (\theta +{\pi\over2})\over \cos(\theta+{\pi\over2})} = {\cos\theta\over-\sin\theta} = -{1\over\tan\theta} = -\cot\theta \\ \tan\left({\pi\over2}-\theta\right) &= \tan\left(-\left(\theta-{\pi\over2}\right)\right) = -\tan\left(\theta-{\pi\over2}\right) = {1\over\tan\theta} = \cot\theta \end{aligned}
한편 cos⁡,sin⁡\cos, \sin에 대해 복소수 zz를 사용하면 다음과 같이 지수함수 정의가 가능하다.
cos⁡z=eiz+e−iz2sin⁡z=eiz−e−iz2itan⁡z=sin⁡zcos⁡z=eiz−e−izi(eiz+e−iz)\begin{aligned} \cos z &= {e^{iz}+e^{-iz} \over 2} \\ \sin z &= {e^{iz}-e^{-iz}\over2i} \\ \tan z &= {\sin z\over \cos z} = {e^{iz}-e^{-iz} \over i(e^{iz}+e^{-iz})} \end{aligned}

쌍곡 함수

쌍곡 함수 cosh⁡,sinh⁡,tanh⁡\cosh, \sinh, \tanh는 각각 실수 tt를 이용하여 지수 형태로 정의된다.
cosh⁡t=et+e−t2sinh⁡t=et−e−t2tan⁡t=sinh⁡tcosh⁡t=et−e−tet+e−t\begin{aligned} \cosh t &= {e^{t}+e^{-t} \over 2} \\ \sinh t &= {e^{t}-e^{-t}\over2} \\ \tan t &= {\sinh t\over \cosh t} = {e^t - e^{-t}\over e^t+e^{-t}} \end{aligned}
따라서 cosh⁡0=1,sinh⁡0=0,tanh⁡0=0\cosh 0 = 1, \sinh 0 = 0, \tanh0 = 0이 성립한다. 쌍곡 함수는 각도가 아닌 실수 tt에 대해 정의 되므로 삼각함수와 달리 주기성을 갖지 않는다.
반면 쌍곡 함수의 정의를 이용하여 그래프를 그려보면 cosh⁡\cosh는 11일 때를 최소로 하여 좌우 대칭인 짝함수가 되고, sinh⁡\sinh는 원점을 중심으로 양의 방향과 음의 방향으로 무한히 커지는 홀함수가 됨을 볼 수 있다. 즉 다음이 성립한다.
cosh⁡(−t)=cosh⁡(t)sinh⁡(−t)=−sinh⁡(t)\begin{aligned} \cosh (-t) &= \cosh (t) \\ \sinh(-t) &= -\sinh (t) \end{aligned}
쌍곡 함수는 x2−y2=1x^2-y^2 = 1을 만족하는 쌍곡선 상의 임의의 점의 좌표 (cosh⁡x,sinh⁡y)(\cosh x, \sinh y)를 나타내는 형태로도 사용 가능하다. 이에 따라 삼각함수와 유사하게 다음이 성립한다(이는 cosh⁡,sinh⁡\cosh, \sinh의 정의를 이용해서 실제 계산해 보면 알 수 있다)
cosh⁡2t−sinh⁡2t=1\cosh^2 t - \sinh^2 t = 1
흥미로운 것은 쌍곡 함수는 허수 범위에서 아래와 같이 삼각함수와 연결된다는 것이다. 즉 쌍곡함수는 삼각함수에서 각 θ\theta를 허수로 치환한 것에 해당한다.
cos⁡(ix)=cosh⁡xsin⁡(ix)=isinh⁡x\begin{aligned} \cos(ix) &= \cosh x\\ \sin(ix) &= i\sinh x \end{aligned}

역수와 역함수

삼각함수는 일반적으로 거듭제곱을 cos⁡nx=(cos⁡x)n\cos^n x = (\cos x)^n 형태로 표현하기 때문에 역수와 역함수의 표기에 혼동이 올 수 있다. 일반적으로 cos⁡−1x\cos^{-1} x는 역함수를 의미하며 역수는 (cos⁡x)−1(\cos x)^{-1} 형태로 표현한다. 이것이 혼란이 되기 때문에 역수와 역함수에 대해서는 아예 별도의 이름을 붙여서 sec⁡\sec나 arccos⁡\arccos 형태로 사용하는 편이 좋다.
3개의 삼각함수와 3개의 쌍곡함수 총 6개에 대해 각각 역수를 정의할 수 있다.
sec⁡x=1cos⁡x=(cos⁡x)−1csc⁡x=1sin⁡x=(sin⁡x)−1(csc⁡=cosec⁡)cot⁡x=1tan⁡x=(tan⁡x)−1sech x=1cosh⁡x=(cosh⁡x)−1csch x=1sinh⁡x=(sinh⁡x)−1coth⁡x=1tanh⁡x=(tanh⁡x)−1\begin{aligned} \sec x &= {1\over \cos x} = (\cos x)^{-1} \\ \csc x &= {1\over \sin x} = (\sin x)^{-1} \quad (\csc =\cosec) \\ \cot x &= {1\over \tan x} = (\tan x)^{-1} \\ \text{sech } x &= {1\over\cosh x}=(\cosh x)^{-1} \\ \text{csch } x &= {1\over \sinh x} = (\sinh x)^{-1} \\ \coth x &= {1\over \tanh x} = (\tanh x)^{-1} \end{aligned}
각 3개의 삼각함수 역수, 각 3개의 쌍곡함수 역수 총 12개의 함수에 대해 각각 역함수를 정의할 수 있다.
arccos⁡x=cos⁡−1xarcsin⁡x=sin⁡−1xarctan⁡x=tan⁡−1xarcsec x=sec⁡−1xarccsc x=csc⁡−1xarccot x=cot⁡−1x\begin{aligned} \arccos x &= \cos^{-1}x \\ \arcsin x &= \sin^{-1}x \\ \arctan x &= \tan^{-1}x \\ \text{arcsec } x &= \sec^{-1} x \\ \text{arccsc } x &= \csc^{-1}x \\ \text{arccot } x &= \cot^{-1}x \end{aligned}
arccosh x=cosh⁡−1xarcsinh x=sinh⁡−1xarctanh x=tanh⁡−1xarcsech x=sech −1xarccsch x=csch −1xarccoth x=coth−1x\begin{aligned} \text{arccosh } x &= \cosh^{-1} x \\ \text{arcsinh } x & = \sinh^{-1} x \\ \text{arctanh } x &= \tanh^{-1} x \\ \text{arcsech } x &= \text{sech }^{-1} x \\ \text{arccsch } x &= \text{csch }^{-1} x \\ \text{arccoth } x &= \text{coth}^{-1} x \end{aligned}
이 12개의 역함수에 대한 역수는 특별히 이름이 없고 그냥 1arccos⁡x{1\over \arccos x} 형태로 작성된다.
여기서 관례에 따라 입력을 xx로 표기했는데, 사실 의미는 각기 다르므로 유의. 삼각함수(와 그 역수)는 기본적으로 각도 θ\theta를 입력으로 받아 실수값 tt를 출력한다. 따라서 삼각함수(와 그 역수)의 역함수는 실수값 tt를 입력으로 받아 각도 θ\theta를 출력한다.
한편 쌍곡함수(와 그 역수)는 실수값 tt를 입력으로 받아 실수의 비율(마찬가지로 실수)을 출력한다. 따라서 그 쌍곡함수(와 그 역수)의 역함수는 실수의 비율을 입력으로 받아 실수를 출력한다.

도함수

총 24개의 함수에 대한 도함수는 아래와 같이 정리 된다.
ddxcos⁡x=−sin⁡xddxsin⁡x=cos⁡xddxtan⁡x=1cos⁡2x=sec⁡2x=1+tan⁡2xddxsec⁡x=sec⁡xtan⁡xddxcsc⁡x=−csc⁡xcot⁡xddxcot⁡x=−csc⁡2x\begin{aligned} {d\over dx}\cos x &= -\sin x \\ {d\over dx}\sin x &= \cos x \\ {d\over dx}\tan x &= {1\over\cos^2x} = \sec^2x = 1 +\tan^2x \\ {d\over dx}\sec x &= \sec x \tan x \\ {d\over dx}\csc x &= -\csc x \cot x \\ {d\over dx}\cot x &= -\csc^2x \end{aligned}
ddxarccos⁡x=−11−x2ddxarcsin⁡x=11−x2ddxarctan⁡x=11+x2ddxarcsec x=1∣x∣x2−1ddxarccsc x=−1∣x∣x2−1ddxarccot x=−11+x2\begin{aligned} {d\over d x}\arccos x &= -{1\over\sqrt{1- x^2}} \\ {d\over d x}\arcsin x &= {1\over\sqrt{1- x^2}}\\ {d\over d x}\arctan x &= {1\over1+ x^2} \\ {d\over d x}\text{arcsec } x &= {1\over| x|\sqrt{ x^2-1}} \\ {d\over d x}\text{arccsc } x &= -{1\over| x|\sqrt{ x^2-1}} \\{d\over d x}\text{arccot } x &= -{1\over1+ x^2} \end{aligned}
ddxcosh⁡x=sinh⁡xddxsinh⁡x=cosh⁡xddxtanh⁡x=sech 2xddxsech x=−sech xtanh⁡xddxcsch x=−csch xcoth⁡xddxcoth⁡x=−csch2t\begin{aligned} {d\over dx}\cosh x &= \sinh x \\ {d\over dx}\sinh x &= \cosh x \\ {d\over dx}\tanh x &= \text{sech }^2 x \\ {d\over dx}\text{sech } x &= -\text{sech } x \tanh x \\ {d\over dx}\text{csch } x &= -\text{csch x} \coth x \\ {d\over dx} \coth x &= -\text{csch}^2t \end{aligned}
ddxarccosh x=1x2−1(x>1)ddxarcsinh x=1x2+1ddxarctanh x=11−x2(∣x∣<1)ddxarcsech x=−1x1−x2(0<x<1)ddxarccsch x=−1∣x∣1+x2(x≠0)ddxarccot x=11−x2(∣x∣>1)\begin{aligned} {d\over dx}\text{arccosh } x &= {1\over\sqrt{x^2-1}} \quad (x > 1) \\ {d\over dx}\text{arcsinh } x &= {1\over\sqrt{x^2+1}} \\ {d\over dx}\text{arctanh } x &= {1\over 1-x^2} \quad (|x|<1) \\ {d\over dx}\text{arcsech } x &= -{1\over x\sqrt{1-x^2}} \quad (0 < x < 1) \\ {d\over dx}\text{arccsch }x &= -{1\over|x|\sqrt{1+x^2}} \quad (x \ne 0) \\ {d\over dx}\text{arccot } x &= {1\over 1-x^2} \quad (|x| > 1) \end{aligned}

적분

총 24개 함수에 대한 적분은 아래처럼 정리된다.
∫cos⁡xdx=sin⁡x+C∫sin⁡xdx=−cos⁡x+C∫tan⁡xdx=−ln⁡∣cos⁡x∣+C=ln⁡∣sec⁡x∣+C∫sec⁡xdx=ln⁡∣sec⁡x+tan⁡x∣+C∫csc⁡xdx=−ln⁡∣csc⁡x+cot⁡x∣+C=ln⁡∣tan⁡(x/2)∣+C∫cot⁡xdx=ln⁡∣sin⁡x∣+C\begin{aligned} \int\cos x dx &= \sin x + C \\ \int\sin x dx &= -\cos x +C\\ \int\tan x dx &= -\ln|\cos x| + C =\ln|\sec x| + C \\ \int\sec x dx &= \ln |\sec x + \tan x| + C \\ \int\csc x dx &= -\ln|\csc x + \cot x| +C = \ln | \tan(x/2)| + C \\ \int\cot x dx &= \ln|\sin x| + C \end{aligned}
∫arccos⁡xdx=xarccos⁡x−1−x2+C∫arcsin⁡xdx=xarcsin⁡x+1−x2+C∫arctan⁡xdx=xarctan⁡x−12ln⁡(1+x2)+C∫arcsec xdx=x arcsec x−ln⁡∣x+x2−1∣+C(x>1)∫arccsc xdx=x arccsc x+ln⁡∣x+x2−1∣+C(x>1)∫arccot xdx=x arccot x+12ln⁡(1+x2)+C\begin{aligned} \int\arccos x dx &= x \arccos x - \sqrt{1-x^2}+C \\ \int\arcsin x dx &= x \arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C\\ \int\arctan x dx &= x\arctan x - {1\over2}\ln(1+x^2)+C \\ \int\text{arcsec }x dx &= x\text{ arcsec } x - \ln|x+\sqrt{x^2-1}|+C \quad (x > 1) \\ \int\text{arccsc }x dx &= x \text{ arccsc } x + \ln|x + \sqrt{x^2-1}| + C \quad (x >1) \\\int\text{arccot }x dx &= x \text{ arccot } x + {1\over2}\ln(1+x^2)+C \end{aligned}
∫cosh⁡xdx=sinh⁡x+C∫sinh⁡xdx=cosh⁡x+C∫tanh⁡xdx=ln⁡(cosh⁡x)+C∫sech xdx=arctan⁡(sinh⁡x)+C=2arctan⁡(ex)+C∫csch xdx=ln⁡∣tanh⁡(x/2)∣+C∫coth⁡xdx=ln⁡∣sinh⁡x∣+C\begin{aligned} \int\cosh x dx &= \sinh x +C \\ \int\sinh x dx &= \cosh x +C\\ \int\tanh x dx &= \ln(\cosh x)+C \\ \int\text{sech } x dx &= \arctan(\sinh x) + C = 2\arctan(e^x) + C \\ \int\text{csch } x dx &= \ln|\tanh(x/2)| + C \\ \int \coth x dx &= \ln |\sinh x | + C \end{aligned}
∫arccosh xdx=x arccosh x−x2−1+C∫arcsinh xdx=x arcsinh x−x2+1+C∫arctanh xdx=x arctanh x+12ln⁡(1−x2)+C∫arcsech xdx=x arcsech x+arcsin⁡x+C∫arccsch xdx=x arccsch x+arcsinh x+C∫arccot xdx=x arccoth x+12ln⁡(x2−1)+C\begin{aligned} \int\text{arccosh } x dx &= x \text{ arccosh } x - \sqrt{x^2-1} + C \\ \int\text{arcsinh } x dx &= x \text{ arcsinh } x - \sqrt{x^2+1} + C \\ \int\text{arctanh } x dx &= x \text{ arctanh } x + {1\over2}\ln(1-x^2)+C \\ \int\text{arcsech } x dx &= x \text{ arcsech } x + \arcsin x + C \\ \int\text{arccsch }x dx &= x \text{ arccsch }x + \text{arcsinh } x + C \\ \int\text{arccot } x dx &= x \text{ arccoth } x + {1\over2}\ln(x^2-1)+C \end{aligned}

거듭제곱급수 표현

총 24개 함수에 대해 거듭제곱급수 표현은 다음과 같다. 괄호는 수렴 구간을 의미하고, 일반화가 안되는 것은 단순 합으로 표현.
cos⁡x=∑n=0∞(−1)n(2n)!x2n(−∞,∞)sin⁡x=∑n=0∞(−1)n(2n+1)!x2n+1(−∞,∞)tan⁡x=∑n=1∞B2n(−4)n(1−22n)(2n)!x2n−1(−π2,π2)sec⁡x=∑n=0∞E2n(2n)!x2n(−π2,π2)csc⁡x=1x+16x+7360x3+3115120x5+...(−π,π)∧x≠0cot⁡x=1x−13x−145x3−2945x5−...(−π,π)∧x≠0\begin{aligned} \cos x &= \sum_{n=0}^\infty {(-1)^n\over (2n)!}x^{2n} \quad (-\infty, \infty) \\ \sin x &= \sum_{n=0}^\infty {(-1)^n\over(2n+1)!}x^{2n+1} \quad (-\infty, \infty) \\ \tan x &= \sum_{n=1}^\infty {B_{2n}(-4)^n(1-2^{2n})\over (2n)!}x^{2n-1} \quad \left(-{\pi\over2},{\pi\over2}\right) \\ \sec x &= \sum_{n=0}^\infty {E_{2n}\over(2n)!} x^{2n} \quad \left(-{\pi\over2},{\pi\over2}\right) \\ \csc x &= {1\over x}+{1\over 6}x + {7\over360}x^3 + {31\over15120}x^5+... \quad(-\pi,\pi)\wedge x \ne 0 \\ \cot x &= {1\over x} -{1\over3}x -{1\over45}x^3-{2\over945}x^5 - ... \quad (-\pi,\pi)\wedge x \ne 0 \end{aligned}
arccos⁡x=π2−∑n=0∞(2nn)4n(2n+1)x2n+1[−1,1]arcsin⁡x=∑n=0∞(2nn)4n(2n+1)x2n+1[−1,1]arctan⁡x=∑n=0∞(−1)n2n+1x2n+1[−1,1]arcsec x=π2−∑n=0∞(2nn)4n(2n+1)(1x)2n+1(−∞,−1]∪[1,∞)arccsc x=∑n=0∞(2nn)4n(2n+1)(1x)2n+1(−∞,−1]∪[1,∞)arccot x=∑n=0∞(−1)n2n+11x2n+1(∣x∣>1)\begin{aligned} \arccos x &= {\pi\over2} - \sum_{n=0}^\infty{\binom{2n}{n}\over4^n(2n+1)}x^{2n+1} \quad [-1,1] \\ \arcsin x &= \sum_{n=0}^\infty {\binom{2n}{n}\over4^n(2n+1)}x^{2n+1} \quad [-1,1]\\ \arctan x &= \sum_{n=0}^\infty {(-1)^n\over 2n+1}x^{2n+1} \quad[-1,1] \\\text{arcsec } x &= {\pi\over2}-\sum_{n=0}^\infty {\binom{2n}{n}\over 4^n(2n+1)}\left({1\over x}\right)^{2n+1} \quad (-\infty,-1]\cup[1,\infty) \\ \text{arccsc } x &= \sum_{n=0}^\infty {\binom{2n}{n}\over4^n(2n+1)}\left({1\over x}\right)^{2n+1} \quad (-\infty,-1]\cup[1,\infty) \\\text{arccot } x &= \sum_{n=0}^\infty{(-1)^n\over 2n+1}{1\over x^{2n+1}} \quad (|x|>1) \end{aligned}
cosh⁡x=∑n=0∞1(2n)!x2n(−∞,∞)sinh⁡x=∑n=0∞1(2n+1)!x2n+1(−∞,∞)tanh⁡x=∑n=1∞B2n4n(22n−1)(2n)!x2n−1(−π2,π2)sech x=∑n=0∞E2n(−1)n(2n)!x2n(−π2,π2)csch x=1x−16x+7360x3−3115120x5+...(−π,π)∧x≠0coth⁡x=1x+13x−145x3+2945x5−...(−π,π)∧x≠0\begin{aligned} \cosh x &= \sum_{n=0}^\infty {1\over(2n)!}x^{2n} \quad (-\infty,\infty) \\ \sinh x &= \sum_{n=0}^\infty{1\over(2n+1)!}x^{2n+1} \quad (-\infty, \infty) \\ \tanh x &= \sum_{n=1}^\infty {B_{2n}4^n(2^{2n}-1)\over(2n)!}x^{2n-1} \quad\left(-{\pi\over2},{\pi\over2}\right) \\ \text{sech } x &= \sum_{n=0}^\infty {E_{2n}(-1)^n\over(2n)!}x^{2n} \quad \left(-{\pi\over2},{\pi\over2}\right) \\ \text{csch } x &= {1\over x} - {1\over 6}x + {7\over360}x^3-{31\over15120}x^5 + ... \quad (-\pi,\pi)\wedge x\ne0 \\ \coth x &= {1\over x}+{1\over3}x -{1\over45}x^3 + {2\over945}x^5-...\quad (-\pi,\pi) \wedge x \ne 0 \end{aligned}
arccosh x=ln⁡(2x)−∑n=1∞(2nn)4n(2n)x−2n(∣x∣>1)arcsinh x=∑n=0∞(−1)n(2nn)4n(2n+1)x2n+1[−1,1]arctanh x=∑n=0∞12n+1x2n+1(−1,1)arcsech x=ln⁡(2x)−∑n=1∞(2nn)4n(2n)x2n(0,1]arccsch x=∑n=0∞(−1)n(2nn)4n(2n+1)(1x)2n+1(−∞,1]∪[1,∞)arccot x=∑n=0∞12n+11x2n+1(−∞,1)∪(1,∞)\begin{aligned} \text{arccosh } x &= \ln(2x) - \sum_{n=1}^\infty{\binom{2n}{n}\over 4^n(2n)}x^{-2n} \quad (|x|>1) \\ \text{arcsinh } x &= \sum_{n=0}^\infty {(-1)^n\binom{2n}{n}\over 4^n(2n+1)} x^{2n+1} \quad [-1,1] \\ \text{arctanh } x &= \sum_{n=0}^\infty {1\over 2n+1}x^{2n+1} \quad (-1,1) \\ \text{arcsech } x &= \ln\left({2\over x}\right) - \sum_{n=1}^\infty {\binom{2n}{n}\over4^n(2n)}x^{2n} \quad (0,1] \\ \text{arccsch }x &= \sum_{n=0}^\infty{(-1)^n\binom{2n}{n}\over 4^n(2n+1)}\left({1\over x}\right)^{2n+1} \quad (-\infty,1]\cup[1,\infty) \\ \text{arccot } x &= \sum_{n=0}^\infty {1\over 2n+1}{1\over x^{2n+1}}\quad (-\infty,1)\cup(1,\infty) \end{aligned}
여기서 BnB_n은 베르누이 수를 의미하고 EnE_n은 오일러 수를 의미한다. 각각 다음의 재귀식을 통해 생성된다.
B0=1,∑k=0n(n+1k)Bk=0(n≥1)E0=1,∑k=0n(2n2k)E2k=0(n≥1)\begin{aligned} B_0 &= 1, \quad \sum_{k=0}^n \binom{n+1}{k}B_k = 0 \quad (n\ge 1) \\ E_0 &= 1, \quad \sum_{k=0}^n\binom{2n}{2k} E_{2k} = 0 \quad (n\ge 1)\end{aligned}
베르누이수는 B1B_1을 제외한 모든 홀수항이 00이고 오일러수는 모든 홀수항이 00이 된다. 또한 두 수 모두 00이 아닌 항에 대해 음수와 양수가 번갈아 생성된다.

덧셈 정리

삼각함수와 쌍곡함수에 대해 다음의 덧셈 정리가 정리된다. 역수는 원래 함수의 덧셈정리를 활용한다.
cos⁡(x+y)=cos⁡xcos⁡y−sin⁡xsin⁡ycos⁡(x−y)=cos⁡xcos⁡y+sin⁡xsin⁡ysin⁡(x+y)=sin⁡xcos⁡y+cos⁡xsin⁡ysin⁡(x−y)=sin⁡xcos⁡y−cos⁡xsin⁡ytan⁡(x+y)=tan⁡x+tan⁡y1−tan⁡xtan⁡ytan⁡(x−y)=tan⁡x−tan⁡y1+tan⁡xtan⁡y\begin{aligned} \cos (x+y) &= \cos x \cos y - \sin x \sin y \\ \cos(x-y) &= \cos x \cos y + \sin x \sin y \\ \sin (x+y) &= \sin x \cos y + \cos x \sin y \\ \sin(x-y) &= \sin x \cos y - \cos x \sin y \\ \tan (x+y) &= {\tan x + \tan y \over 1- \tan x\tan y} \\ \tan (x-y) &= {\tan x - \tan y \over 1 + \tan x \tan y} \end{aligned}
cosh⁡(x+y)=cosh⁡xcosh⁡y+sinh⁡xsinh⁡ycosh⁡(x−y)=cosh⁡xcosh⁡y−sinh⁡xsinh⁡ysinh⁡(x+y)=sinh⁡xcosh⁡y+cosh⁡xsinh⁡ysinh⁡(x−y)=sinh⁡xcosh⁡y−cosh⁡xsinh⁡ytanh⁡(x+y)=tanh⁡x+tanh⁡y1−tanh⁡xtanh⁡ytanh⁡(x−y)=tanh⁡x−tanh⁡y1+tanh⁡xtanh⁡y\begin{aligned} \cosh (x+y) &= \cosh x \cosh y + \sinh x \sinh y \\ \cosh(x-y) &= \cosh x \cosh y - \sinh x \sinh y \\ \sinh (x+y) &= \sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y \\ \sinh(x-y) &= \sinh x \cosh y - \cosh x \sinh y \\ \tanh (x+y) &= {\tanh x + \tanh y \over 1- \tanh x\tanh y} \\ \tanh (x-y) &= {\tanh x - \tanh y \over 1 + \tanh x \tanh y} \end{aligned}
역함수에 대해서는 아래와 같이 합의 형태로 정리된다.
arccos⁡x+arccos⁡y=arccos⁡(xy−1−x21−y2)arccos⁡x−arccos⁡y=arccos⁡(xy+1−x21−y2)arcsin⁡x+arcsin⁡y=arcsin⁡(x1−y2+y1−x2)arcsin⁡x−arcsin⁡y=arcsin⁡(x1−y2−y1−x2)arctan⁡x+arctan⁡y=arctan⁡(x+y1−xy)arctan⁡x−arctan⁡y=arctan⁡(x−y1+xy)\begin{aligned} \arccos x + \arccos y &= \arccos(xy - \sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2}) \\ \arccos x - \arccos y &= \arccos(xy + \sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2}) \\ \arcsin x + \arcsin y &= \arcsin(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}) \\ \arcsin x - \arcsin y &= \arcsin(x\sqrt{1-y^2}-y\sqrt{1-x^2}) \\ \arctan x + \arctan y &= \arctan\left({x+y\over1-xy}\right) \\ \arctan x - \arctan y &= \arctan\left({x-y\over 1+xy}\right) \end{aligned}
arccosh x+arccosh y=arccosh (xy+x2−1y2−1)(x,y≥1)arccosh x−arccosh y=arccosh (xy−x2−1y2−1)(y≤x)arcsinh x+arcsinh y=arcsinh (x1+y2+y1+x2)arcsinh x−arcsinh y=arcsinh (x1+y2−y1+x2)arctanh x+arctanh y=arctanh (x+y1+xy)arctanh x−arctanh y=arctanh (x−y1−xy)\begin{aligned} \text{arccosh } x + \text{arccosh } y &= \text{arccosh }(xy + \sqrt{x^2-1}\sqrt{y^2-1})\quad(x,y \ge 1) \\ \text{arccosh } x - \text{arccosh } y &= \text{arccosh }(xy - \sqrt{x^2-1}\sqrt{y^2-1}) \quad (y \le x) \\ \text{arcsinh } x + \text{arcsinh } y &= \text{arcsinh }(x\sqrt{1+y^2}+y\sqrt{1+x^2}) \\ \text{arcsinh } x - \text{arcsinh } y &= \text{arcsinh }(x\sqrt{1+y^2}-y\sqrt{1+x^2}) \\ \text{arctanh } x + \text{arctanh } y &= \text{arctanh }\left({x+y\over1+xy}\right) \\ \text{arctanh } x - \text{arctanh } y &= \text{arctanh }\left({x-y\over 1-xy}\right) \end{aligned}

배각 공식

22배각

삼각함수와 쌍곡함수에 대해 다음의 22배각 공식이 정리된다. 역수의 경우에는 원래 함수를 이용한다.
cos⁡(2x)=cos⁡2x−sin⁡2x=2cos⁡2x−1=1−2sin⁡2xsin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡xtan⁡(2x)=2tan⁡x1−tan⁡2x\begin{aligned} \cos (2x) &= \cos^2x - \sin^2 x = 2\cos^2x-1 = 1-2\sin^2 x \\ \sin (2x) &= 2\sin x \cos x \\ \tan (2x) &= {2\tan x\over 1-\tan^2 x} \end{aligned}
cosh⁡(2x)=cosh⁡2x+sinh⁡2x=2cosh⁡2x−1=1−2sinh⁡2xsinh⁡(2x)=2sinh⁡xcosh⁡xtanh⁡(2x)=2tanh⁡x1+tanh⁡2x\begin{aligned} \cosh (2x) &= \cosh^2x + \sinh^2 x = 2\cosh^2x-1 = 1-2\sinh^2 x \\ \sinh (2x) &= 2\sinh x \cosh x \\ \tanh (2x) &= {2\tanh x\over 1+\tanh^2 x} \end{aligned}
덧셈정리와 유사하게 역함수에 대해서는 아래와 같이 정리된다.
2arccos⁡x=arccos⁡(2x2−1)2arcsin⁡x=arcsin⁡(2x1−x2)2arctan⁡x=arctan⁡(2x1−x2)\begin{aligned} 2\arccos x &= \arccos(2x^2-1) \\ 2\arcsin x &= \arcsin(2x\sqrt{1-x^2}) \\ 2\arctan x &= \arctan\left({2x\over 1-x^2}\right)\end{aligned}
2 arccosh x=arccosh (2x2−1)2 arcsinh x=arcsinh (2x1+x2)2 arctanh x=arctanh(2x1+x2)\begin{aligned} 2\text{ arccosh } x &= \text{arccosh }(2x^2-1) \\ 2\text{ arcsinh } x &= \text{arcsinh }(2x\sqrt{1+x^2}) \\ 2\text{ arctanh } x &= \text{arctanh}\left({2x\over 1+x^2}\right)\end{aligned}

nn배각

삼각함수와 쌍곡함수에 대해 nn배각 공식을 정리할 수 있는데, 재귀적인 계산 과정이 필요하다.
cos⁡(nx),sin⁡(nx)\cos(nx), \sin(nx)는 아래의 드무아브르 정리와 이항정리를 사용하여 유도할 수 있다.
(cos⁡x+isin⁡x)n=cos⁡(nx)+isin⁡(nx)(\cos x + i\sin x)^n = \cos(nx) + i\sin(nx)
위 식에서 좌변을 이항정리한 후 실수부분과 허수부분을 분리하면 cos⁡(nx),sin⁡(nx)\cos(nx), \sin(nx)를 구할 수 있다. n=3n=3일 때는 아래와 같이 계산된다.
cos⁡(3x)=4cos⁡3x−3cos⁡xsin⁡(3x)=3sin⁡x−4sin⁡3x\begin{aligned} \cos(3x) &= 4\cos^3x - 3\cos x \\ \sin(3x) &= 3\sin x - 4\sin^3 x\end{aligned}
tan⁡(nx)\tan(nx)는 덧셈정리를 이용하여 다음과 같이 유도된다.
tan⁡(nx)=tan⁡((n−1)x+x)1−tan⁡((n−1)x)tan⁡x\tan(nx) = {\tan((n-1)x + x) \over 1 - \tan((n-1)x)\tan x}
n=3n=3일 때 다음과 같이 계산된다.
tan⁡(3x)=3tan⁡x−tan⁡3x1−3tan⁡2x\tan(3x) = {3\tan x -\tan^3 x \over 1-3 \tan^2 x}
cosh⁡(nx),sinh⁡(nx)\cosh(nx), \sinh(nx)는 삼각함수와 유사하게 다음 정리를 사용하여 유도할 수 있다.
(cosh⁡x+sinh⁡x)n=cosh⁡(nx)+sinh⁡(nx)(\cosh x + \sinh x)^n = \cosh(nx) + \sinh(nx)
n=3n=3일 때는 아래와 같이 계산된다.
cosh⁡(3x)=4cosh⁡3x−3cosh⁡xsinh⁡(3x)=3sinh⁡x+4sinh⁡3x\begin{aligned} \cosh(3x) &= 4\cosh^3x - 3\cosh x \\ \sinh(3x) &= 3\sinh x + 4\sinh^3 x\end{aligned}
tanh⁡(nx)\tanh(nx)는 tan⁡(nx)\tan(nx)와 유사하게 다음과 같이 정리된다.
tanh⁡(nx)=tanh⁡((n−1)x)+tanh⁡x1+tanh⁡((n−1)x)tanh⁡x\tanh(nx) = {\tanh((n-1)x) + \tanh x \over 1 + \tanh((n-1)x)\tanh x}
n=3n=3일 때 다음과 같이 계산된다.
tanh⁡(3x)=3tanh⁡x+tanh⁡3x1+3tanh⁡2x\tanh(3x) = {3\tanh x +\tanh^3 x \over 1+3 \tanh^2 x}

오일러 공식

삼각함수에 대해 다음의 오일러 공식이 성립한다. 이것은 ee와 cos⁡,sin⁡\cos, \sin의 거듭제곱급수 표현에서 유도된다.
eiθ=cos⁡θ+isin⁡θ\begin{aligned} e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta \end{aligned}
쌍곡함수도 유사한 형태를 정의할 수 있다. 이것은 쌍곡 함수의 정의 자체에서 유도된다.
ex=cosh⁡x+sinh⁡x=ex+e−x2+ex−e−x2\begin{aligned} e^{x} &= \cosh x + \sinh x \\ &= {e^x+e^{-x}\over2}+{e^x-e^{-x}\over2} \end{aligned}
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