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수학/ 삼각 치환, 쌍곡 치환 적분

Preliminaly

제곱근 안에 이차식이 존재하는 적분의 경우 그 형태를 그대로 적분하기 어렵기 때문에 제곱근을 제거하기 위해 삼각함수나 쌍곡함수의 항등식을 이용하여 치환하는 것을 삼각 치환(Trigonometric Substitution) 또는 쌍곡치환(Hyperbolic Substitution)이라 한다.
일반적으로 2차식은 다음 형태로 만들 수 있으므로
ax2+bx+c=a(x+b2a)2+(c−b24a)ax^2+bx+c = a\left(x+{b\over2a}\right)^2+\left(c-{b^2\over4a}\right)
제곱근 안의 이차식은 x2+a2,x2−a2,a2−x2\sqrt{x^2+a^2}, \sqrt{x^2-a^2}, \sqrt{a^2-x^2}의 3가지 형태로 만들 수 있으며 각각에 대해 삼각함수나 쌍곡함수의 항등식을 이용하여 xx를 치환하면 제곱근을 제거할 수 있다.

삼각 치환 적분(Trigonometric Substitution)

x2+a2\sqrt{x^2+a^2} 적분

x2+a2\sqrt{x^2+a^2} 형태의 경우 x=atan⁡θx = a \tan \theta로 치환하여 정리한다(여기서 θ∈(−π2,π2)\theta \in (-{\pi\over2},{\pi\over2})). 이 경우 양변을 θ\theta로 미분하여 식을 정리하면 dx=asec⁡2θ dθdx = a\sec^2\theta \ d\theta를 얻을 수 있고 다음처럼 제곱근을 제거할 수 있다.
x2+a2⇒(atan⁡θ)2+a2=a2tan⁡2θ+a2=a2(tan⁡2θ+1)=a2sec⁡2θ=a∣sec⁡θ∣\begin{aligned} \sqrt{x^2+a^2} &\Rightarrow \sqrt{(a\tan \theta)^2+a^2} = \sqrt{a^2\tan^2 \theta + a^2} = \sqrt{a^2(\tan^2\theta +1)} \\& = \sqrt{a^2\sec^2\theta} = a|\sec\theta|\end{aligned}
θ∈(−π2,π2)\theta \in (-{\pi\over2},{\pi\over2})로 가정하였으므로 sec⁡θ>0\sec\theta >0 이고 sec⁡θ=x2+a2a\sec\theta = {\sqrt{x^2+a^2}\over a}가 된다. 또한 x=atan⁡θx = a \tan \theta였으므로 tan⁡θ=xa\tan\theta = {x\over a}가 된다.
이를 이용하면 ∫x2+a2 dx\int \sqrt{x^2+a^2} \ dx는 다음처럼 정리된다.
∫x2+a2 dx=∫a∣sec⁡θ∣ asec⁡2θdθ=a2∫sec⁡3θ dθ\int \sqrt{x^2+a^2} \ dx = \int a|\sec\theta| \ a\sec^2\theta d\theta = a^2 \int \sec^3\theta \ d\theta
여기서 ∫sec⁡3θdθ=12sec⁡θtan⁡θ+12ln⁡∣sec⁡θ+tan⁡θ∣+C\int \sec^3 \theta d\theta = {1\over2}\sec\theta\tan\theta + {1\over2}\ln|\sec\theta+\tan\theta|+C이고,
∫x2+a2 dx=a22sec⁡θtan⁡θ+a22ln⁡∣sec⁡θ+tan⁡θ∣+C=a22x2+a2axa+a22ln⁡∣x2+a2a+xa∣+C=x2x2+a2+a22ln⁡∣x+x2+a2a∣+C=x2x2+a2+a22ln⁡∣x+x2+a2∣−a22ln⁡∣a∣+C=12(xx2+a2+a2ln⁡∣x+x2+a2∣)+C′\begin{aligned} \int \sqrt{x^2+a^2} \ dx &= {a^2\over2}\sec\theta\tan\theta + {a^2\over2}\ln|\sec\theta+\tan\theta|+ C \\ &= {a^2\over2}{\sqrt{x^2+a^2}\over a}{x\over a} + {a^2\over2}\ln\left|{\sqrt{x^2+a^2}\over a} + {x\over a}\right| +C \\ &= {x\over2}\sqrt{x^2+a^2} + {a^2\over2} \ln\left|{x + \sqrt{x^2+a^2}\over a}\right| +C \\ &= {x\over2} \sqrt{x^2+a^2} + {a^2\over2}\ln|x+\sqrt{x^2+a^2}| - {a^2\over2}\ln|a| + C \\ &= {1\over2}(x\sqrt{x^2+a^2}+a^2\ln|x+\sqrt{x^2+a^2}|) + C' \end{aligned}
마지막에 −a22ln⁡∣a∣-{a^2\over2}\ln|a| 부분은 xx와 관계 없는 상수이므로 적분상수 C′C'에 흡수 된다.
만일 ∫1x2+a2dx\int {1\over\sqrt{x^2+a^2}} dx였다면 다음처럼 정리된다.
∫dxx2+a2=∫asec⁡2θdθa∣sec⁡θ∣=∫sec⁡θdθ=ln⁡∣sec⁡θ+tan⁡θ∣+C=ln⁡∣x2+a2a+xa∣+C=ln⁡∣x+x2+a2∣−ln⁡∣a∣+C=ln⁡∣x+x2+a2∣+C′\begin{aligned} \int {dx\over \sqrt{x^2+a^2}} &= \int {a\sec^2\theta d\theta \over a|\sec\theta|} = \int \sec\theta d\theta= \ln |\sec\theta + \tan\theta| + C \\ &= \ln\left|{\sqrt{x^2+a^2}\over a} + {x\over a} \right|+C = \ln|x+\sqrt{x^2+a^2}| - \ln |a| + C \\ &= \ln |x+\sqrt{x^2+a^2}|+C' \end{aligned}
위와 유사하게 마지막 −ln⁡∣a∣-\ln|a|는 적분상수 C′C'에 흡수된다.

x2−a2\sqrt{x^2-a^2} 적분

x2−a2\sqrt{x^2-a^2} 형태의 경우 x=asec⁡θx = a \sec \theta로 치환하여 정리한다(여기서 θ∈[0,π2)\theta \in [0,{\pi\over2})). 이 경우 양변을 θ\theta로 미분하여 식을 정리하면 dx=asec⁡θtan⁡θ dθdx = a\sec\theta \tan\theta \ d\theta를 얻을 수 있고 다음처럼 제곱근을 제거할 수 있다.
x2−a2⇒(asec⁡θ)2−a2=a2sec⁡2θ−a2=a2(sec⁡2θ−1)=a2tan⁡2θ=a∣tan⁡θ∣\begin{aligned} \sqrt{x^2-a^2} &\Rightarrow \sqrt{(a\sec \theta)^2-a^2} = \sqrt{a^2\sec^2 \theta - a^2} = \sqrt{a^2(\sec^2\theta -1)} \\& = \sqrt{a^2\tan^2\theta} = a|\tan\theta|\end{aligned}
θ∈[0,π2)\theta \in [0,{\pi\over2})로 가정하였으므로 tan⁡θ>0\tan\theta >0 이고 tan⁡θ=x2−a2a\tan\theta = {\sqrt{x^2-a^2}\over a}가 된다. 또한 x=asec⁡θx = a \sec \theta였으므로 sec⁡θ=xa\sec\theta = {x\over a}가 된다.
이를 이용하면 ∫x2−a2 dx\int \sqrt{x^2-a^2} \ dx는 다음처럼 정리된다.
∫x2−a2 dx=∫a∣tan⁡θ∣ asec⁡θtan⁡θ dθ=a2∫tan⁡2θsec⁡θ dθ=a2∫(sec⁡2θ−1)sec⁡θdθ=a2∫(sec⁡3θ−sec⁡θ)dθ=a2(12sec⁡θtan⁡θ+12ln⁡∣sec⁡θ+tan⁡θ∣−ln⁡∣sec⁡θ+tan⁡θ∣)+C=a2(12sec⁡θtan⁡θ−12ln⁡∣sec⁡θ+tan⁡θ∣)+C=a22(sec⁡θtan⁡θ−ln⁡∣sec⁡θ+tan⁡θ∣)+C\begin{aligned}\int \sqrt{x^2-a^2} \ dx &= \int a|\tan\theta| \ a\sec\theta\tan\theta \ d\theta = a^2 \int \tan^2\theta \sec\theta \ d\theta \\&= a^2\int(\sec^2\theta-1)\sec\theta d\theta = a^2\int(\sec^3\theta - \sec\theta )d\theta \\ &= a^2\left({1\over2}\sec\theta\tan\theta + {1\over2}\ln|\sec\theta+\tan\theta| - \ln|\sec\theta+\tan\theta|\right) + C \\ &= a^2\left({1\over2}\sec\theta\tan\theta - {1\over2}\ln|\sec\theta+\tan\theta|\right) +C \\ &= {a^2\over2}(\sec\theta\tan\theta - \ln|\sec\theta+\tan\theta|) +C \end{aligned}

a2−x2\sqrt{a^2-x^2} 적분

쌍곡 치환 적분(Hyperbolic Substitution)

쌍곡 치환 적분으로는 a2−x2\sqrt{a^2-x^2} 형태가 쉽게 풀리지 않기 때문에 다른 2가지 형태만 처리한다.

x2+a2\sqrt{x^2+a^2} 적분

x2−a2\sqrt{x^2-a^2} 적분

x2+a2⇒x=atan⁡θ⇒x2+a2=asec⁡θ,dx=asec⁡2θ dθx2+a2⇒x=asinh⁡u⇒x2+a2=acosh⁡ux2−a2⇒x=asec⁡θ⇒x2−a2=atan⁡θ,dx=asec⁡θtan⁡θdθx2−a2⇒x=acosh⁡u⇒x2−a2=asinh⁡ua2−x2⇒x=asin⁡θ⇒a2−x2=acos⁡θ,dx=acos⁡θdθ\begin{aligned} \sqrt{x^2+a^2} &\Rightarrow x = a\tan\theta \Rightarrow \sqrt{x^2+a^2} = a\sec\theta, dx = a\sec^2\theta \ d\theta \\ \sqrt{x^2+a^2} &\Rightarrow x = a\sinh u \Rightarrow \sqrt{x^2+a^2} = a\cosh u \\ \sqrt{x^2-a^2} & \Rightarrow x = a\sec\theta \Rightarrow \sqrt{x^2-a^2} = a\tan\theta, dx = a\sec\theta \tan\theta d \theta \\ \sqrt{x^2-a^2} &\Rightarrow x = a\cosh u \Rightarrow \sqrt{x^2-a^2} = a\sinh u \\ \sqrt{a^2-x^2} &\Rightarrow x = a\sin\theta \Rightarrow \sqrt{a^2-x^2} = a\cos\theta, dx = a\cos\theta d\theta \end{aligned}
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