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김영길/ 선형대수학/ linear independence, basis, dimension

Linear Independence (선형독립)

•
선형결합이 영벡터의 자명한 표현(trivial representation of 0)인 경우에 선형독립이라 한다.
◦
a1u1+a2u2+...+anun⇔a1=a2=...=an=0a_{1} u_{1} + a_{2} u_{2} + ... + a_{n} u_{n} \Leftrightarrow a_{1} = a_{2} = ... = a_{n} = 0

Thm 1.6 S1⊂S2⊂VS_{1} \subset S_{2} \subset V

•
S1S_{1}이 선형독립이면 S2S_{2}도 선형독립이다.

Thm 1.7

•
선형독립인 집합 SS 에 대하여 u1,u2,...,un∈S,v∈V,v∉Su_{1}, u_{2}, ... , u_{n} \in S, v \in V, v \notin S 일 때,
◦
S∪{v}S \cup \{v\}가 선형종속이면 v∈span(S)v \in span(S)
•
증명)
◦
⇒\Rightarrow
▪
Suppose a0v+a1u1+...+anun=0a_{0}v + a_{1} u_{1} + ... + a_{n} u_{n} = 0
▪
a0≠0a_{0} \neq 0
▪
v=a0−1(−a1u1−...−anun)v = a_{0}^{-1} (-a_{1} u_{1} - ... - a_{n} u_{n})
▪
=−a0−1a1u1−...−a0−1anun∈span(S)= -a_{0}^{-1} a_{1} u_{1} - ... - a_{0}^{-1} a_{n} u_{n} \in span(S)
◦
⇐\Leftarrow
▪
v∈span(S)v \in span(S)
▪
v=b1v1+b2v2+...+bmvmv = b_{1} v_{1} + b_{2} v_{2} + ... + b_{m} v_{m}
▪
b1v1+b2v2+...+bmvm−v=0b_{1} v_{1} + b_{2} v_{2} + ... + b_{m} v_{m} - v = 0
▪
{v1,...,vm,v}⊂S∪{v}\{ v_{1}, ... , v_{m}, v \} \subset S \cup \{v\}

1.6 Base and Dimension

•
벡터공간 VV의 부분집합 β\beta가 선형독립이면서 VV를 생성(span)하면 기저(basis)라한다.
•
Ex 1)
◦
span(∅)={0}span(\emptyset) = \{ 0 \}
◦
∅\emptyset은 선형독립
◦
⇒∅\Rightarrow \emptyset은 영 벡터 공간의 기저이다.
•
Ex 2)
◦
FnF^{n}의 원소가 다음과 같을 때
▪
e1=(1,0,...,0)e_{1} = (1, 0, ... , 0)
▪
e2=(0,1,...,0)e_{2} = (0, 1, ... , 0)
▪
...
▪
en=(0,0,...,1)e_{n} = (0, 0, ... , 1)
◦
{e1,e2,...,en}\{ e_{1}, e_{2}, ... , e_{n} \}을 FnF^{n}의 기저라한다. (이런 기저를 특별히 FnF^{n}의 표준기저라고 한다)

Thm 1.8

•
β\beta가 VV의 기저일 때
◦
∀v∈V,v\forall v \in V, v는 β\beta의 선형결합으로 유일하게 표현 가능하다.
•
증명)
◦
⇒\Rightarrow
▪
β\beta가 VV의 기저 ⇒span(β)=V\Rightarrow span(\beta) = V
▪
v=a1u1+a2u2+...+anunv = a_{1} u_{1} + a_{2} u_{2} + ... + a_{n} u_{n}
▪
Suppose v=b1u1+b2u2+...+bnunv = b_{1} u_{1} + b_{2} u_{2} + ... + b_{n} u_{n}
▪
0=(a1−b1)u1+(a2−b2)u2+...+(an−bn)un0 = (a_{1} - b_{1}) u_{1} + (a_{2} - b_{2}) u_{2} + ... + (a_{n} - b_{n}) u_{n}
▪
선형독립이었으므로 a1−b1=a2−b2=...=an−bn=0a_{1} - b_{1} = a_{2} - b_{2} = ... = a_{n} - b_{n} = 0
▪
따라서 선형결합은 유일하다.
◦
⇐\Leftarrow
▪
v=a1u1+a2u2+...+anunv = a_{1} u_{1} + a_{2} u_{2} + ... + a_{n} u_{n} 이므로
▪
span(β)=Vspan(\beta) = V
▪
Suppose c1u1+c2u2+...+cnun=0c_{1} u_{1} + c_{2} u_{2} + ... + c_{n} u_{n} = 0
▪
v=a1u1+a2u2+...+anunv = a_{1} u_{1} + a_{2} u_{2} + ... + a_{n} u_{n}
▪
=(a1+c1)u1+(a2+c2)u2+...+(an+cn)un= (a_{1} + c_{1}) u_{1} + (a_{2} + c_{2}) u_{2} + ... + (a_{n} + c_{n}) u_{n}
▪
선형결합이 유일해야 하므로 c1=c2=...=cn=0c_{1} = c_{2} = ... = c_{n} = 0
▪
따라서 β={u1,u2,...,un}\beta = \{ u_{1}, u_{2}, ... , u_{n} \}는 선형 독립

Thm 1.8의 의미

•
∀v∈V,∃1a1,a2,...,an∈F\forall v \in V, \exists_{1} a_{1}, a_{2}, ... , a_{n} \in F
◦
v=a1u1+a2u2+...+anunv = a_{1} u_{1} + a_{2} u_{2} + ... + a_{n} u_{n}
◦
기저를 통해 vector의 선형 결합이 유일하게 결정된다.
•
v⇔(a1,a2,...,an)v \Leftrightarrow (a_{1}, a_{2}, ... , a_{n})
◦
벡터와 n-tuple은 일대일대응이 된다. (전단사 함수)
•
모든 벡터공간 VV는 FnF^{n}으로 생각할 수 있다.
◦
함수를 벡터처럼 다룰 수 있다.

Dimension

•
dim(V)dim(V)은 기저에 포함된 벡터의 개수
◦
V={0},dim(V)=0V = \{0\}, dim(V) = 0
◦
V=F4,dim(V)=4V = F^{4}, dim(V) = 4
◦
V=M2×3(F),dim(V)=6V = M_{2 \times 3}(F), dim(V) = 6
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