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데코수학/ 벡터미적분학/ 다변수 벡터함수의 다이버전스, 커얼 – 1

(유튜브 동영상인데 현재는 삭제되어서 내용만 남김)

개념

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벡터장에서 어떤 점을 기준으로 주변에 많은 벡터들이 퍼지거나 모이거나(다이버전스), 돌아가는 정도(커얼)을 나타내는 법.
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p⃗\vec{p} 주변의 아주 아주 작게 잡은 4개의 벡터만 보면 된다.
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p⃗\vec{p} 를 (p1,p2)(p_{1}, p_{2})라 할 때 그 주위의 4개 벡터는 다음의 4개가 된다. F⃗(p1+Δx,p2),F⃗(p1−Δx,p2),F⃗(p1,p2+Δy),F⃗(p1,p2−Δy)\vec{F}(p_{1} + \Delta x, p_{2}), \vec{F}(p_{1} - \Delta x, p_{2}), \vec{F}(p_{1}, p_{2} + \Delta y), \vec{F}(p_{1}, p_{2} - \Delta y)
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R2\mathbb{R}^{2}에서 다이버전스 정의
◦
2차원 공간에서 퍼지는 정도는 x축으로 퍼지는 정도와 y축으로 퍼지는 정도를 합하면 된다. 벡터와 수평인 성분들의 합
◦
이때 x축으로 퍼지는 정도는 F1(p1+Δx,p2)−F1(p1−Δx,p2)F_{1} (p_{1} + \Delta x, p_{2}) - F_{1} (p_{1} - \Delta x, p_{2}) 가 되고 y 축으로 퍼지는 정도는 F2(p1,p2+Δy)−F2(p1,p2−Δy)F_{2} (p_{1}, p_{2} + \Delta y) - F_{2} (p_{1}, p_{2} - \Delta y)가 된다.
◦
총 퍼지는 정도는 x축으로 퍼지는 정도와 y 축으로 퍼지는 정도를 합하면 되는데 --각 축은 독립적이므로-- 각 축의 길이로 나눈 값을 더해준다.
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F1(p1+Δx,p2)−F1(p1−Δx,p2)2Δx+F2(p1,p2+Δy)−F2(p1,p2−Δy)2Δy{F_{1} (p_{1} + \Delta x, p_{2}) - F_{1} (p_{1} - \Delta x, p_{2}) \over 2 \Delta x} + {F_{2} (p_{1}, p_{2} + \Delta y) - F_{2} (p_{1}, p_{2} - \Delta y) \over 2 \Delta y}
◦
아주 가까운 점이어야 하므로 위 식에 limit를 씌우면
▪
lim⁡Δx→0F1(p1+Δx,p2)−F1(p1−Δx,p2)2Δx+lim⁡Δy→0F2(p1,p2+Δy)−F2(p1,p2−Δy)2Δy\lim_{\Delta x \to 0} {F_{1} (p_{1} + \Delta x, p_{2}) - F_{1} (p_{1} - \Delta x, p_{2}) \over 2 \Delta x} + \lim_{\Delta y \to 0} {F_{2} (p_{1}, p_{2} + \Delta y) - F_{2} (p_{1}, p_{2} - \Delta y) \over 2 \Delta y}
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=lim⁡Δx→0(F1(p1+Δx,p2)−F1(p1,p2)2Δx−F1(p1−Δx,p2)−F1(p1,p2)2Δx)+lim⁡Δy→0(F2(p1,p2+Δy)−F2(p1,p2)2Δy−F2(p1,p2−Δy)−F2(p1,p2)2Δy)= \lim_{\Delta x \to 0} ({F_{1} (p_{1} + \Delta x, p_{2}) - F_{1} (p_{1}, p_{2}) \over 2 \Delta x} - {F_{1} (p_{1} - \Delta x, p_{2}) - F_{1} (p_{1}, p_{2}) \over 2 \Delta x}) + \lim_{\Delta y \to 0} ({F_{2} (p_{1}, p_{2} + \Delta y) - F_{2} (p_{1}, p_{2}) \over 2 \Delta y} - {F_{2} (p_{1}, p_{2} - \Delta y) - F_{2} (p_{1}, p_{2}) \over 2 \Delta y})
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=12∂F1∂x∣(p1,p2)+12∂F1∂x∣(p1,p2)+12∂F2∂y∣(p1,p2)+12∂F2∂y∣(p1,p2)= {1 \over 2} {\partial F_{1} \over \partial x} |_{(p_{1}, p_{2})} + {1 \over 2} {\partial F_{1} \over \partial x} |_{(p_{1}, p_{2})} + {1 \over 2} {\partial F_{2} \over \partial y} |_{(p_{1}, p_{2})} + {1 \over 2} {\partial F_{2} \over \partial y} |_{(p_{1}, p_{2})}
▪
=∂F1∂x∣(p1,p2)+∂F2∂y∣(p1,p2)= {\partial F_{1} \over \partial x} |_{(p_{1}, p_{2})} + {\partial F_{2} \over \partial y} |_{(p_{1}, p_{2})}
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=(∂F1∂x+∂F2∂y)∣(p1,p2)= ({\partial F_{1} \over \partial x} + {\partial F_{2} \over \partial y}) |_{(p_{1}, p_{2})}
▪
=(∂∂x,∂∂y)⋅(F1,F2)∣(p1,p2)= ({\partial \over \partial x}, {\partial \over \partial y}) \cdot (F_{1}, F_{2}) |_{(p_{1}, p_{2})}
▪
=∇⃗⋅F⃗∣(p1,p2)= \vec{\nabla} \cdot \vec{F}|_{(p_{1}, p_{2})}
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다이버전스는 각 축에서 퍼지는 정도가 다른 축에 영향이 없으므로 Rn\mathbb{R}^{n} 이라면 n개의 축을 다 더하면 된다.
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∂F1∂x1+∂F2∂x2+...+∂Fn∂xn{\partial F_{1} \over \partial x_{1}} + {\partial F_{2} \over \partial x_{2}} + ... + {\partial F_{n} \over \partial x_{n}}
▪
=(∂∂x1,∂∂x2,...,∂∂xn)⋅(F1,F2,...,Fn)= ({\partial \over \partial x_{1}}, {\partial \over \partial x_{2}}, ... , {\partial \over \partial x_{n}}) \cdot (F_{1}, F_{2}, ... , F_{n})
▪
=∇⃗⋅F⃗= \vec{\nabla} \cdot \vec{F}
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R2\mathbb{R}^{2}에서 커얼 정의
◦
2차원 공간에서 돌아가는 정도는 x축으로 돌아가는 정도와 y축으로 퍼지는 정도를 합하면 된다. 벡터와 수직인 성분들의 합
◦
이때 x축으로 돌아가는 정도는 F2(p⃗+Δxx^−F2(p⃗−Δxx^)F_{2} (\vec{p} + \Delta x \hat{x} - F_{2} (\vec{p} - \Delta x \hat{x})가 되고 y 축으로 돌아가는 정도는 F1(p⃗+Δyy^)−F1(p⃗−Δyy^)F_{1} (\vec{p} + \Delta y \hat{y}) - F_{1} (\vec{p} - \Delta y \hat{y})가 된다.
◦
총 돌아가는 정도는 x축으로 돌아가는 정도와 y 축으로 돌아가는 정도를 합하면 되는데 --각 축은 독립적이므로-- 각 축의 길이로 나눈 값을 더해준다.
▪
F2(p⃗+Δxx^−F2(p⃗−Δxx^)2Δx+F1(p⃗+Δyy^)−F1(p⃗−Δyy^)2Δy{F_{2} (\vec{p} + \Delta x \hat{x} - F_{2} (\vec{p} - \Delta x \hat{x}) \over 2 \Delta x} + {F_{1} (\vec{p} + \Delta y \hat{y}) - F_{1} (\vec{p} - \Delta y \hat{y}) \over 2 \Delta y}
◦
아주 가까운 점이어야 하므로 위 식에 limit를 씌우면
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lim⁡Δx→0F2(p⃗+Δxx^−F2(p⃗−Δxx^)2Δx+lim⁡Δy→0F1(p⃗+Δyy^)−F1(p⃗−Δyy^)2Δy\lim_{\Delta x \to 0} {F_{2} (\vec{p} + \Delta x \hat{x} - F_{2} (\vec{p} - \Delta x \hat{x}) \over 2 \Delta x} + \lim_{\Delta y \to 0} {F_{1} (\vec{p} + \Delta y \hat{y}) - F_{1} (\vec{p} - \Delta y \hat{y}) \over 2 \Delta y}
▪
=lim⁡Δx→0(F2(p⃗+Δxx^−F2(p⃗)2Δx+F2(p⃗−Δxx^−F2(p⃗)2(−Δx))+lim⁡Δy→0(F1(p⃗+Δyy^)−F1(p⃗)2Δy+F1(p⃗−Δyy^)−F1(p⃗)2(−Δy))= \lim_{\Delta x \to 0} ({F_{2} (\vec{p} + \Delta x \hat{x} - F_{2} (\vec{p}) \over 2 \Delta x} + {F_{2} (\vec{p} - \Delta x \hat{x} - F_{2} (\vec{p}) \over 2 (- \Delta x)}) + \lim_{\Delta y \to 0} ({F_{1} (\vec{p} + \Delta y \hat{y}) - F_{1} (\vec{p}) \over 2 \Delta y} + {F_{1} (\vec{p} - \Delta y \hat{y}) - F_{1} (\vec{p}) \over 2 (- \Delta y)})
▪
=12∂F2∂x∣p⃗+12∂F2∂x∣p⃗+12∂F1∂y∣p⃗+12∂F1∂y∣p⃗= {1 \over 2} {\partial F_{2} \over \partial x} |_{\vec{p}} + {1 \over 2} {\partial F_{2} \over \partial x} |_{\vec{p}} + {1 \over 2} {\partial F_{1} \over \partial y} |_{\vec{p}} + {1 \over 2} {\partial F_{1} \over \partial y} |_{\vec{p}}
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=∂F2∂x∣p⃗+∂F1∂y∣p⃗= {\partial F_{2} \over \partial x} |_{\vec{p}} + {\partial F_{1} \over \partial y} |_{\vec{p}}
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=∣x^y^z^∂∂x∂∂y0F1F20∣= \left| \begin{array}{rrr} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\ {\partial \over \partial x} & {\partial \over \partial y} & 0 \\ F_{1} & F_{2} & 0 \end{array} \right|
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=0x^−0y^+(∂∂xF2−∂∂yF1)z^= 0 \hat{x} - 0 \hat{y} + ({\partial \over \partial x} F_{2} - {\partial \over \partial y} F_{1}) \hat{z}
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2차원에서 회전일 경우엔 z축이 이용된다. cross product
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(∂∂xF2−∂∂yF1)({\partial \over \partial x} F_{2} - {\partial \over \partial y} F_{1}) 은 회전하는 양이 되고, z^\hat{z} 은 회전하는 방향이 된다.
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R3\mathbb{R}^{3} 에서 커얼 정의
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R3\mathbb{R}^{3}에서 회전축은 3개 축의 회전된 정도를 모두 이용한다.
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z^\hat{z}를 축으로 돌아간 정도
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F2(p⃗+Δxx^)−F2(p⃗−Δxx^)2Δx−F1(p⃗−Δyy^)+F1(p⃗−Δyy^)2Δy{F_{2}(\vec{p} + \Delta x \hat{x}) - F_{2}(\vec{p} - \Delta x \hat{x}) \over 2 \Delta x} - {F_{1}(\vec{p} - \Delta y \hat{y}) + F_{1}(\vec{p} - \Delta y \hat{y}) \over 2 \Delta y}
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y^\hat{y}를 축으로 돌아간 정도
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−F3(p⃗+Δxx^)+F3(p⃗−Δxx^)2Δx+F1(p⃗−Δzz^)−F1(p⃗−Δzz^)2Δz-{F_{3}(\vec{p} + \Delta x \hat{x}) + F_{3}(\vec{p} - \Delta x \hat{x}) \over 2 \Delta x} + {F_{1}(\vec{p} - \Delta z \hat{z}) - F_{1}(\vec{p} - \Delta z \hat{z}) \over 2 \Delta z}
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x^\hat{x} 를 축으로 돌아간 정도
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F3(p⃗+Δyy^)−F3(p⃗−Δyy^)2Δy−F2(p⃗−Δzz^)+F2(p⃗−Δzz^)2Δz{F_{3}(\vec{p} + \Delta y \hat{y}) - F_{3}(\vec{p} - \Delta y \hat{y}) \over 2 \Delta y} - {F_{2}(\vec{p} - \Delta z \hat{z}) + F_{2}(\vec{p} - \Delta z \hat{z}) \over 2 \Delta z}
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각 돌아간 정도에 limit를 붙이고 식을 풀어 쓰면 다음과 같은 식이 만들어진다.
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=∂F2∂x∣p⃗z^−∂F3∂x∣p⃗y^−∂F1∂y∣p⃗z^+∂F3∂y∣p⃗x^+∂F1∂z∣p⃗y^−∂F2∂z∣p⃗x^= {\partial F_{2} \over \partial x} |_{\vec{p}} \hat{z} - {\partial F_{3} \over \partial x} |_{\vec{p}} \hat{y} - {\partial F_{1} \over \partial y} |_{\vec{p}} \hat{z} + {\partial F_{3} \over \partial y} |_{\vec{p}} \hat{x} + {\partial F_{1} \over \partial z} |_{\vec{p}} \hat{y} - {\partial F_{2} \over \partial z} |_{\vec{p}} \hat{x}
•
=x^(∂F3∂y−∂F2∂z)−y^(∂F3∂x−∂F1∂z)+z^(∂F2∂x−∂F1∂y)= \hat{x} ({\partial F_{3} \over \partial y} - {\partial F_{2} \over \partial z}) - \hat{y} ({\partial F_{3} \over \partial x} - {\partial F_{1} \over \partial z}) + \hat{z} ({\partial F_{2} \over \partial x} - {\partial F_{1} \over \partial y})
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=∣x^y^z^∂∂x∂∂y∂∂zF1F2F3∣= \left| \begin{array}{rrr} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\ {\partial \over \partial x} & {\partial \over \partial y} & {\partial \over \partial z} \\ F_{1} & F_{2} & F_{3} \end{array} \right|
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=(∇⃗×F⃗)p⃗= (\vec{\nabla} \times \vec{F})_{\vec{p}}
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4차원 이상에서는 커얼을 정의하지 않는다. 왜냐하면 cross product를 4차원 이상에서는 정의하지 않기 때문.
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