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이상엽/ 해석학/ 미분

미분계수

미분계수의 정의

Def 1. [평균변화율]
함수 f:[a,b]→Rf : [a, b] \to \mathbb{R} 에 대하여
ΔyΔx=f(b)−f(a)b−a=f(a+Δx)−f(a)Δx{\Delta y \over \Delta x} = {f(b) - f(a) \over b - a} = {f(a + \Delta x) - f(a) \over \Delta x}
를 aa에서 bb로 변할 때의 함수 y=f(x)y = f(x)의 평균 변화율이라 한다.
Def 2. [미분계수와 미분가능]
함수 f:(a,b)→Rf : (a, b) \to \mathbb{R}와 c∈(a,b)c \in (a, b)에 대해
f′(c)=lim⁡Δx→0ΔyΔx=lim⁡x→cf(x)−f(c)x−c=lim⁡Δx→0f(c+Δx)−f(c)Δxf'(c) = \lim_{\Delta x \to 0} {\Delta y \over \Delta x} \\ = \lim_{x \to c} {f(x) - f(c) \over x - c} \\ = \lim_{\Delta x \to 0} {f(c + \Delta x) - f(c) \over \Delta x}
를 x=cx = c 에서의 함수 y=f(x)y = f(x) 의 미분계수라 하며, 미분계수가 존재하면 ff가 x=cx = c 에서 미분가능하다고 한다.
•
미분계수란 순간변화율
•
순간의 변화율을 보기 위해 극한을 이용한다.
•
순간변화율은 접선의 기울기와 동일하다는 것은 그래프로 표현 가능할 때 가능한 표현이지만, 실제 수학에서는 그래프로 표현 불가능한 부분이 있고, 그런 부분에서도 미분이 가능한 경우가 존재하기 때문에 엄밀히 말해서 미분계수를 접선의 기울기라고 보기는 어렵다.
Def 3. [우미분계수와 좌미분계수]
•
함수 f:[a,b)→Rf : [a, b) \to \mathbb{R} 에 대하여 ff의 x=ax = a에서의 우미분계수
◦
f′+(a)=lim⁡Δx→0+f(a+Δx)−f(a)Δxf'+(a) = \lim_{\Delta x \to 0+} {f(a + \Delta x) - f(a) \over \Delta x}
◦
가 존재하면 ff는 x=ax = a에서 우미분가능하다고 한다.
•
함수 f:(a,b]→Rf : (a, b] \to \mathbb{R} 에 대하여 ff의 x=bx = b에서의 우미분계수
◦
f′−(b)=lim⁡Δx→0−f(b+Δx)−f(b)Δxf'-(b) = \lim_{\Delta x \to 0-} {f(b + \Delta x) - f(b) \over \Delta x}
◦
가 존재하면 ff는 x=bx = b에서 좌미분가능하다고 한다.
Def 4. [미분가능함수]
•
함수 f:(a,b)→Rf : (a, b) \to \mathbb{R} 가 (a,b)(a, b) 의 모든 점에서 미분가능하면 ff를 (a,b)(a, b)에서 미분가능 함수라고 한다.
•
함수 f:[a,b]→Rf : [a, b] \to \mathbb{R} 가 다음 조건들을 만족하면 ff를 [a,b][a, b] 에서의 미분가능 함수라고 한다.
◦
ff는 (a,b)(a, b) 에서의 미분가능함수이다.
◦
ff는 x=ax = a 에서 우미분가능하다
◦
ff는 x=bx = b에서 좌미분가능하다.

미분계수의 연산

f,g:D→Rf, g : D \to \mathbb{R} 가 a∈Da \in D 에서 미분가능하면 f+g,f−g,fg,fg(g≠0)f + g, f - g, fg, {f \over g} (g \neq 0) 도 미분가능하고 다음이 성립한다.
1.
(f+g)′(a)=f′(a)+g′(a)(f + g)'(a) = f'(a) + g'(a)
2.
(f−g)′(a)=f′(a)−g′(a)(f - g)'(a) = f'(a) - g'(a)
3.
(fg)′(a)=f′(a)g(a)+f(a)g′(a)(fg)'(a) = f'(a)g(a) + f(a)g'(a) (곱의 미분법)
4.
(fg)′(a)=f′(a)g(a)−f(a)g′(a){g(a)}2({f \over g})'(a) = {f'(a)g(a) - f(a)g'(a) \over \{g(a)\}^{2}} (몫의 미분법)

주요 정리

Thm 1. [미분가능성과 연속성]
ff가  x=ax = a에서 미분가능하면  ff는 x=ax = a에서 연속이다. (불연속이면 미분 불가)
Thm 2. [극점과 미분계수]
f:D→Rf : D \to \mathbb{R} 일 때  ff가  DD의 내부점 x=ax = a에서 극값을 갖고 미분가능하면 f′(a)=0f'(a) = 0 이다.
Thm 3. [연쇄법칙]
함수 ff가  x=ax = a에서 미분가능하고  gg가  f(a)f(a) 에서 미분가능하면 합성함수  g∘fg \circ f 는 x=ax = a에서 미분가능하고 다음이 성립한다.
(g∘f)′(a)=g′(f(a))f′(a)(g \circ f)'(a) = g'(f(a))f'(a)
Lemma. 함수 f:D→Rf : D \to \mathbb{R} 이 x=a(∈D)x = a(\in D) 에서 미분가능하다
⇒∃g,g(a)=f′(a):∀x∈D,f(x)=f(a)+g(x)(x−a)\Rightarrow \exists g, g(a) = f'(a) : \forall x \in D, f(x) = f(a) + g(x) (x - a)
gg는 x=ax = a 에서 연속

도함수

도함수의 정의

함수 f:D→Rf : D \to \mathbb{R} 가 임의의 점 x∈Dx \in D에서 미분 가능할 때, 함수
f′(x)=dfdx=lim⁡y→xf(y)−f(x)y−xf'(x) = {df \over dx} = \lim_{y \to x} {f(y) - f(x) \over y - x}
를 함수 ff의 도함수라 한다.
•
f′′(x)f''(x) 는 이계도함수, f′′′(x)f'''(x) 는 삼계 도함수 f′′′′(x)f''''(x)는 사계도함수... f(n)(x)f^{(n)}(x) 는 n계 도함수라고 한다.

여러 함수의 도함수

•
c′=0(c∈R)c' = 0 (c \in \mathbb{R})
•
(xc)′=cxc−1(c∈R)(x^{c})' = c x^{c-1} (c \in \mathbb{R})
◦
실수이므로 무리수에 대해서도 성립 (x2)′=2x2−1(x^{\sqrt{2}})' = \sqrt{2} x^{\sqrt{2}-1}
◦
복소수에 대해서는 복소해석학에서 봐야 함
•
(ax)′=axln⁡a,(ex)′=ex(a^{x})' = a^{x} \ln a, (e^{x})' = e^{x} (∵ln⁡e=1\because \ln e = 1)
•
(log⁡ax)′=1xln⁡a,(ln⁡x)′=1x(\log_{a} x)' = {1 \over x \ln a}, (\ln x)' = {1 \over x} (∵ln⁡e=1\because \ln e = 1)
•
(sin⁡x)′=cos⁡x,(csc⁡x)′=−csc⁡xcot⁡x(\sin x)' = \cos x, (\csc x)' = -\csc x \cot x
•
(cos⁡x)′=−sin⁡x,(sec⁡x)′=sec⁡xtan⁡x(\cos x)' = - \sin x, (\sec x)' = \sec x \tan x
•
(tan⁡x)′=sec⁡2x,(cot⁡x)′=−csc⁡2x(\tan x)' = \sec^{2} x, (\cot x)' = - \csc^{2} x
•
(xx)′=xx(1+ln⁡x)(x^{x})' = x^{x} (1 + \ln x)

평균값 정리

평균값 정리

•
평균값 정리란 평균변화율과 순간변화율의 관계에 대한 것
•
이 정리에서 파생되는 정리가 많기 때문에 대단히 중요한 정리다.
Thm 1. [롤의 정리]
f:[a,b]→Rf : [a, b] \to \mathbb{R} 가  [a,b][a, b]에서 연속이고  (a,b)(a, b)에서 미분가능하다고 할 때, 다음 명제는 참이다.
f(a)=f(b)⇒∃c∈(a,b):f′(c)=0f(a) = f(b) \Rightarrow \exists c \in (a, b) : f'(c) = 0
•
연속이고 미분 가능한 함수의 어떤 구간을 잡을 때, 그 구간의 시작점과 끝점이 동일할 경우, 순간변화율이 0이 되는 점이 1개 이상 존재한다.
Thm 2. [평균값 정리]
f:[a,b]→Rf : [a, b] \to \mathbb{R} 가  [a,b][a, b]에서 연속이고 (a,b)(a, b) 에서 미분가능하면 다음이 성립하는 cc가  (a,b)(a, b) 에 존재한다.
f′(c)=f(b)−f(a)b−af'(c) = {f(b) - f(a) \over b - a}
•
평균값 정리는 롤의 정리의 일반화된 버전. 평균값 정리에서 시작점과 끝점의 값이 동일할 경우 롤의 정리가 된다.
•
연속이고 미분 가능한 함수의 어떤 구간을 잡을 때, 구간 내에 구간의 평균변화율과 동일한 순간변화율을 갖는 점이 1개 이상 존재한다.

코시 평균값 정리

•
코시의 평균값 정리는 평균값 정리를 확장한 버전
Thm 1. [코시 평균값 정리]
f,g:[a,b]→Rf, g : [a, b] \to \mathbb{R}가  [a,b][a, b]에서 연속이고  (a,b)(a, b)에서 미분가능하면 다음이 성립하는 cc가  (a,b)(a, b)에 존재한다.
{f(b)−f(a)}g′(c)={g(b)−g(a)}f′(c)\{ f(b) - f(a) \} g'(c) = \{ g(b) - g(a) \} f'(c)
⇒f(x)g′(c)=g(x)f′(c)\Rightarrow f(x)g'(c) = g(x)f'(c) (양변에 분모로 b−ab - a를 넣어줌)
⇒f(x)g(x)=f′(c)g′(c)\Rightarrow {f(x) \over g(x)} = { f'(c) \over g'(c) }
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두 함수의 도함수의 값을 갖게 해주는 상수가 존재한다.
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위의 식에서 g(x)=xg(x) = x 인 경우가 평균값 정리가 된다. 다시 말해 평균값 정리는 코시 평균값 정리에서 g(x)=xg(x) = x 인 특수한 경우가 됨
Thm 2. [로피탈의 정리]
•
극한이 00,∞∞{0 \over 0}, {\infty \over \infty} 꼴을 가질 때 부정형이라고 하는데, 이러한 꼴을 쉽게 풀 수 있게 해주는 방법
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로피탈 정리는 요한 베르누이의 수학 업적 중 하나인데, 이를 귀족이었던 로피탈이 당시 가난에 시달리던 베르누이의 일생의 모든 연구를 모두 사서 자신의 이름으로 발표한 것. 오일러가 바로 이 요한 베르누이의 제자
f,g:D→Rf, g : D \to \mathbb{R}가 다음을 만족한다.
1.
DD에서 연속함수이고 D−{a}D - \{a\}에서 미분가능함수이다.
2.
다음 두 명제 중에 하나가 성립한다.
a.
lim⁡x→af(x)=lim⁡x→ag(x)=0\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = 0
b.
lim⁡x→a∥f(x)∥=lim⁡x→a∥g(x)∥=∞\lim_{x \to a} \|f(x)\| = \lim_{x \to a} \|g(x)\| = \infty
그러면  a,L∈R∪{−∞,∞}a, L \in \mathbb{R} \cup \{ -\infty, \infty \}에 대하여 다음이 성립한다.
lim⁡x→af′(x)g′(x)=L⇒lim⁡x→af(x)g(x)=L\lim_{x \to a} {f'(x) \over g'(x)} = L \Rightarrow \lim_{x \to a} { f(x) \over g(x) } = L
•
위와 같은 꼴일 때, 도함수의 극한과 원래 함수의 극한이 같다
•
도함수의 극한과 원래 함수의 극한이 같기 때문에, 로피탈 정리를 한 번 써서 해결이 안되면 한 번 더 써도 무방하다. 다시 말해 부정형에서 벗어날 때까지 계속 미분해서 값을 구한다. 바꿔 말하면 부정형이 아닌 상태(00,∞∞{0 \over 0}, {\infty \over \infty}이 아닌 형태)에서는 로피탈 정리를 써서는 안 된다. 주의!
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