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데코수학/ 벡터미적분학/ 다변수 벡터함수의 다이버전스, 커얼 – 2

(유튜브 동영상인데 현재는 삭제되어서 내용만 남김)

개념

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다변수 벡터함수 F⃗(x⃗)\vec{F}(\vec{x})에 대하여
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점 x⃗\vec{x}에서 다이버전스: ∇⃗⋅F⃗(x⃗)\vec{\nabla} \cdot \vec{F}(\vec{x}) (Rn\mathbb{R}^{n}에서 정의)
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점 x⃗\vec{x}에서 커얼: ∇⃗×F⃗(x⃗)\vec{\nabla} \times \vec{F}(\vec{x}) (R3\mathbb{R}^{3}에서 정의)

다이버전스, 커얼식

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∇⋅(F+G)=∇⋅F+∇⋅G\nabla \cdot (F+G) = \nabla \cdot F + \nabla \cdot G
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∇⋅(αF)=α(∇⋅F)\nabla \cdot (\alpha F) = \alpha (\nabla \cdot F) (α\alpha는 스칼라)
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∇⋅(fF)=f(∇⋅F)+∇f⋅F\nabla \cdot (f F) = f (\nabla \cdot F) + \nabla f \cdot F (ff는 다변수 실함수)
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∇×(F+G)=∇×F+∇×G\nabla \times (F+G) = \nabla \times F + \nabla \times G
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∇×(αF)=α(∇×F)\nabla \times (\alpha F) = \alpha (\nabla \times F) (α\alpha는 스칼라)
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∇×(fF)=f(∇×F)+∇f×F\nabla \times (f F) = f (\nabla \times F) + \nabla f \times F (ff는 다변수 실함수)
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∇⋅(F×G)=(∇×F)⋅G−F⋅(∇×G)\nabla \cdot (F \times G) = (\nabla \times F) \cdot G - F \cdot (\nabla \times G)
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∇×(F×G)=(∇⋅G)F+(∇F⋅G)−F⋅∇G−(∇⋅F)G\nabla \times (F \times G) = (\nabla \cdot G) F + (\nabla F \cdot G) - F \cdot \nabla G - (\nabla \cdot F) G
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∇⋅(∇×F)=0\nabla \cdot (\nabla \times F) = 0
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∇×(∇f)=0⃗\nabla \times (\nabla f) = \vec{0}
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(∇⋅∇)f=∇⋅(∇f)(\nabla \cdot \nabla) f = \nabla \cdot (\nabla f) (ff의 라플라시안 ∇2f\nabla^{2} f)
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(∇⋅∇)F⃗=∇2F⃗(\nabla \cdot \nabla) \vec{F} = \nabla^{2} \vec{F} (FF의 라플라시안)
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∇×(∇×F)=∇⋅(∇F⃗)−∇2F⃗\nabla \times (\nabla \times F) = \nabla \cdot (\nabla \vec{F}) - \nabla^{2} \vec{F}
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