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미적분/ 적분 연산

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적분은 본래 무한 합을 구하는 연산인데 —그래서 원래 기호도 lim⁡∑\lim \sum로 썼다가 이후 ∫\int가 됨— , 미분의 역연산이라는 것이 밝혀져서 미분의 역연산이라는 개념으로 부정적분과 합을 구하는 의미의 정적분이 구분된다.
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정적분은 ++ 연산으로 구할 수 없는 합을 구하는데도 사용된다. ex) 0-1 사이에 존재하는 유리수나 무리수의 길이

적분 기호

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부정적분은 미분의 역연산으로 적분할 함수와 함께 상수 CC를 표기한다.
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dxdx는 xx에 대해 적분을 수행한다는 의미
∫f(x)dx+C\int f(x) dx + C
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정적분은 구간이 존재하므로 다음과 같이 표기한다.
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정적분은 구간 내 실제 합을 구하기 때문에 상수 CC가 따로 없다.
S=∫abf(x)dxS = \int_{a}^{b} f(x) dx

상수 적분

∫C1dx=C1x+C2\int C_1 dx = C_1x + C_2

거듭제곱 적분

∫xndx=1n+1xn+1+C\int x^n dx = {1 \over n+1} x^{n+1} + C
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만일 f(x)=1xf(x) = {1 \over x}이었다면 1−1+1x−1+1{1 \over -1 + 1} x^{-1 + 1}가 되어 정의가 되지 않는다. 이 경우에는 다음과 같이 적분된다.
∫1xdx=ln⁡∣x∣+C\int {1 \over x} dx = \ln |x| + C
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같은 맥락에서 1(x+n){1 \over (x + n)}에 대해 다음처럼 적분된다.
∫1x+ndx=ln⁡∣x+n∣+C\int {1 \over x + n} dx = \ln |x + n| + C
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1(x+n)2{1 \over (x + n)^2}인 경우 다음처럼 적분된다.
∫1(x+1)2dx=∫(x+1)−2dx=1−2+1(x+1)−2+1+C=−1x+n+C\int {1 \over (x+1)^2} dx = \int (x+1)^{-2} dx = {1 \over -2 + 1} (x+1)^{-2+1} + C=- {1 \over x+n} + C
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이 꼴을 일반화 시키면 다음과 같다.
∫1(x+n)mdx=∫(x+n)−mdx=1−m+1(x+n)−m+1+C (m≠−1)\int {1 \over (x+n)^m} dx = \int (x+n)^{-m} dx = {1 \over -m+1} (x + n)^{-m+1} + C \ (m \neq -1)

지수 적분

∫axdx=axlog⁡ea+C=axln⁡a+C∫exdx=exlog⁡ee+C=ex+C\begin{aligned} \int a^x dx &= {a^x \over \log_e a} + C = {a^x \over \ln a} + C \\ \int e^x dx &= {e^x \over \log_e e} + C = e^x + C \end{aligned}

로그 적분

∫log⁡axdx=x(ln⁡x−1)ln⁡a+C∫log⁡exdx=x(ln⁡x−1)ln⁡e+C=x(ln⁡x−1)+C\begin{aligned} \int \log_a x dx &= {x (\ln x - 1) \over \ln a} + C \\ \int \log_e x dx &= {x (\ln x - 1) \over \ln e} + C = x(\ln x - 1) + C \end{aligned}

삼각함수 적분

∫sin⁡xdx=−cos⁡x+C∫cos⁡xdx=sin⁡x+C∫tan⁡xdx=−ln⁡∣cos⁡x∣+C=−ln⁡∣sec⁡x∣+C∫sec⁡xdx=ln⁡∣sec⁡x+tan⁡x∣+C∫csc⁡xdx=−ln⁡∣csc⁡x+cot⁡x∣+C=ln⁡∣csc⁡x−cot⁡x∣+C∫cot⁡xdx=ln⁡∣sin⁡x∣+C\begin{aligned} \int \sin x dx &= -\cos x + C \\ \int \cos x dx &= \sin x + C \\ \int \tan x dx &= -\ln |\cos x| + C = -\ln|\sec x| + C \\ \int \sec x dx &= \ln|\sec x + \tan x| + C \\ \int \csc x dx &= -\ln |\csc x + \cot x| + C = \ln |\csc x - \cot x| + C \\ \int \cot x dx &= \ln |\sin x| + C \end{aligned}

적분함수 연산

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두 함수 f,gf, g와 상수 cc에 대해 다음의 적분 연산이 성립한다.
∫(cf(x)+g(x))dx=c∫f(x)dx+∫g(x)dxf(x)g(x)=∫f′(x)g(x)dx+∫f(x)g′(x)dx\begin{aligned} \int (cf(x) + g(x)) dx &= c \int f(x)dx + \int g(x)dx \\ f(x)g(x) &= \int f'(x)g(x)dx + \int f(x)g'(x) dx \end{aligned}

다변수 함수 적분

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다변수 함수에 대해 여러 번 적분하는 경우 다음처럼 표기한다.
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함수 안쪽에 가까운 것이 먼저 적분되므로 아래는 yy에 대해 먼저 적분하고 그 다음 xx에 대해 적분한다.
∫x∫yf(x,y)dydx\int_x \int_y f(x, y) dy dx
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다변수 함수에서 특정 매개변수로 적분하면 상수항이 나머지 매개변수에 대한 것으로 정의된다.
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이는 편미분할 때 해당 매개변수는 상수 취급 받고 사라지기 때문에 그 역연산인 부정적분에서 상수를 그 사라진 매개변수에 대한 함수로 정의한다.
∫yf(x,y)dy+C(x)\int_y f(x, y) dy + C(x)

정적분 계산

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구간 [a,b][a, b]에 대한 정적분의 값은 다음과 같이 부정적분을 이용해서 구할 수 있다.
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이를 미적분학의 기본정리(Fundamental Theorem of Calculus)라고 한다.
∫abf(x)dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)
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