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수학/ 기초 적분 연산

적분은 본래 무한 합을 구하는 연산이었는데 —원래 기호도 lim⁡∑\lim \sum로 썼다가 이후 간단히 ∫\int가 됨— , 미분의 역연산이라는 것이 밝혀져서 미분의 역연산이라는 개념으로 부정적분과 합을 구하는 의미의 정적분이 구분되었다.
미분이 연속인 경우에만 정의가 되는 것과 달리 —이산인 경우에는 차분— 적분은 연속과 이산 모두에서 정의가 된다. 연속인 경우에는 무한합의 의미가 되며, 이산인 경우에는 누적합의 의미가 된다. 미분의 역연산이 적분인 것과 마찬가지로 차분의 역연산도 적분이 된다.
적분은 덧셈(++) 연산으로 구할 수 없는 합을 구하는데도 사용된다. ex) 0-1 사이에 존재하는 무리수의 길이

적분 기호

부정적분은 미분의 역연산으로 적분할 함수와 함께 상수 CC를 표기한다.
∫f(x)dx+C\int f(x) dx + C
여기서 dxdx는 xx의 미소변화량(미분에도 쓰이는)으로 적분은 구간 내에서 함수 값 f(x)f(x)를 xx의 미소변화량 dxdx와 곱한 것을 모두 합(∫\int)한다는 개념이 된다. (여기서 ∫\int은 더하기 ∑\sum와 다름에 유의하라. 덧셈으로 구할 수 없는 값을 적분으로는 구할 수 있다. 예컨대 점의 길이는 00이기 때문에 점의 길이를 아무리 더해도 선의 길이를 얻을 수 없지만, 구간 내 모든 점을 적분하면 선의 길이를 얻을 수 있다)
정적분은 구간이 존재하므로 다음과 같이 표기한다. 정적분은 구간 내 실제 합을 구하기 때문에 상수 CC가 따로 없다.
S=∫abf(x)dxS = \int_{a}^{b} f(x) dx
적분과 미분은 서로의 역연산임에 주의. 즉 적분 결과를 미분하면 원래의 형태가 되고, 거꾸로 미분한 것을 다시 적분하면 원래의 형태(부정적분인 경우 +C+ C가 더해진)가 된다.

상수 적분

아래에서 aa는 상수
∫a dx=ax+C\int a \ dx = ax + C

거듭제곱 적분

∫xndx=1n+1xn+1+C\int x^n dx = {1 \over n+1} x^{n+1} + C
만일 f(x)=1xf(x) = {1 \over x}이었다면 1−1+1x−1+1{1 \over -1 + 1} x^{-1 + 1}가 되어 정의가 되지 않는다. 이 경우에는 다음과 같이 적분된다.
∫1xdx=ln⁡∣x∣+C\int {1 \over x} dx = \ln |x| + C
같은 맥락에서 1(x+n){1 \over (x + n)}에 대해 다음처럼 적분된다.
∫1x+ndx=ln⁡∣x+n∣+C\int {1 \over x + n} dx = \ln |x + n| + C
1(x+n)2{1 \over (x + n)^2}인 경우에는 일반적인 경우처럼 적분된다.
∫1(x+1)2dx=∫(x+1)−2dx=1−2+1(x+1)−2+1+C=−1x+n+C\int {1 \over (x+1)^2} dx = \int (x+1)^{-2} dx = {1 \over -2 + 1} (x+1)^{-2+1} + C=- {1 \over x+n} + C
이 꼴을 일반화 시키면 다음과 같다.
∫1(x+n)pdx=∫(x+n)−pdx=1−p+1(x+n)−p+1+C (p≠−1)\int {1 \over (x+n)^p} dx = \int (x+n)^{-p} dx = {1 \over -p+1} (x + n)^{-p+1} + C \ (p \neq -1)
즉 1xp{1\over x^p} 꼴에서 p=1p=1인 경우에만 특수하게 ln⁡\ln으로 계산된다.

제곱근 적분

제곱근 내에 다항식이 1차(즉, 선형)인 경우에 위의 거듭제곱 적분을 적용 할 수 있다. xx의 nn 제곱근은 xn=x1n\sqrt[n]{x} = x^{1\over n}으로 표현되므로 제곱근 내에 1차 식에 대한 적분은 아래처럼 간단히 풀 수 있다.
∫(ax+b)mndx=∫(ax+b)mndx=1a⋅1mn+1(ax+b)mn+1+C\int \sqrt[n]{(ax+b)^m} dx = \int (ax+b)^{m\over n} dx = {1\over a}\cdot{1\over {m\over n} +1} (ax+b)^{{m\over n}+1} + C
여기서 적분 결과에 xx의 계수 aa의 역수가 곱해진다는 점에 유의. 이는 아래 설명되는 치환적분을 통해 확인할 수 있다. (u=ax+bu = ax+b로 치환하면 du=adxdu = a dx가 되고 dx=1adudx = {1\over a}du가 되어 1a{1\over a}이 최종적으로 곱해진다.)
그러나 제곱근 내에 다항식이 2차 이상(즉, 비선형)인 경우 위와 같이 간단히 적분을 계산할 수 없다. 제곱근 내부의 다항식이 2차인 경우에는 삼각 치환(Trigonometric Substitution) 등을 이용하여 적분 가능하지만, 3차 이상의 경우에는 초등 함수로는 적분 결과를 표현할 수 없고 타원 적분이나 특수 함수를 사용해야 한다.

지수 적분

∫axdx=axlog⁡ea+C=axln⁡a+C∫exdx=exlog⁡ee+C=ex+C\begin{aligned} \int a^x dx &= {a^x \over \log_e a} + C = {a^x \over \ln a} + C \\ \int e^x dx &= {e^x \over \log_e e} + C = e^x + C \end{aligned}

로그 적분

∫log⁡axdx=xln⁡x−xln⁡a+C=x(ln⁡x−1)ln⁡a+C∫log⁡exdx=x(ln⁡x−1)ln⁡e+C=x(ln⁡x−1)+C\begin{aligned} \int \log_a x dx &= {x\ln x - x \over \ln a} + C ={x (\ln x - 1) \over \ln a} + C \\ \int \log_e x dx &= {x (\ln x - 1) \over \ln e} + C = x(\ln x - 1) + C \end{aligned}

삼각함수 적분

∫sin⁡xdx=−cos⁡x+C∫cos⁡xdx=sin⁡x+C∫tan⁡xdx=−ln⁡∣cos⁡x∣+C=−ln⁡∣sec⁡x∣+C∫sec⁡xdx=ln⁡∣sec⁡x+tan⁡x∣+C∫csc⁡xdx=−ln⁡∣csc⁡x+cot⁡x∣+C=ln⁡∣csc⁡x−cot⁡x∣+C∫cot⁡xdx=ln⁡∣sin⁡x∣+C\begin{aligned} \int \sin x dx &= -\cos x + C \\ \int \cos x dx &= \sin x + C \\ \int \tan x dx &= -\ln |\cos x| + C = -\ln|\sec x| + C \\ \int \sec x dx &= \ln|\sec x + \tan x| + C \\ \int \csc x dx &= -\ln |\csc x + \cot x| + C = \ln |\csc x - \cot x| + C \\ \int \cot x dx &= \ln |\sin x| + C \end{aligned}

적분함수 연산

두 함수 f,gf, g와 상수 cc에 대해 다음의 적분 연산이 성립한다.
∫(cf(x)+g(x))dx=c∫f(x)dx+∫g(x)dxf(x)g(x)=∫f′(x)g(x)dx+∫f(x)g′(x)dx\begin{aligned} \int (cf(x) + g(x)) dx &= c \int f(x)dx + \int g(x)dx \\ f(x)g(x) &= \int f'(x)g(x)dx + \int f(x)g'(x) dx \end{aligned}

부분 적분법(Integration by parts)

위의 적분 함수 연산의 두 번째 식에서 곱의 적분을 풀기 위한 부분적분법(Integration by parts)이 아래와 같이 유도된다.
∫f(x)g(x)′dx=f(x)g(x)−∫f′(x)g(x)dx∫f′(x)g(x)dx=f(x)g(x)−∫f(x)g′(x)dx\int f(x)g(x)'dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x)dx \\ \int f'(x)g(x)dx = f(x)g(x) - \int f(x)g'(x)dx
예컨대 ∫ax⋅exdx\int ax \cdot e^x dx를 계산하려 할 때, f(x)=ax,g(x)=exf(x) = ax, g(x) = e^x라 하면 f′(x)=a,g′(x)=exf'(x) = a, g'(x) = e^x이므로 각각을 다음과 같이 구할 수 있다.
f(x)g(x)=x⋅ex∫f′(x)g(x)dx=∫a⋅exdx=a∫exdx=aex+C∫f(x)g′(x)dx=∫ax⋅exdx\begin{aligned} f(x)g(x) &= x\cdot e^x \\ \int f'(x)g(x) dx &= \int a \cdot e^x dx = a \int e^x dx = a e^x + C\\ \int f(x)g'(x) dx &= \int ax \cdot e^x dx \end{aligned}
여기서 마지막 줄의 ∫ax⋅exdx\int ax \cdot e^x dx가 최초에 구하려고 한 값이고, 부분적분법의 관계식을 이용하면
∫f(x)g(x)′dx=f(x)g(x)−∫f′(x)g(x)dx=xex−aex+C=(x−a)ex+C\begin{aligned} \int f(x)g(x)'dx &= f(x)g(x) - \int f'(x)g(x)dx \\ &= x e^x - a e^x + C \\ &= (x-a) e^x + C \end{aligned}
적분에 구간이 주어지는 경우에 대해 아래처럼 표현 가능하다.
∫abf(x)g(x)′dx=[f(x)g(x)]ab−∫abf′(x)g(x)dx∫abf′(x)g(x)dx=[f(x)g(x)]ab−∫abf(x)g′(x)dx\int_a^b f(x)g(x)'dx = [f(x)g(x)]_a^b - \int_a^b f'(x)g(x)dx \\ \int_a^b f'(x)g(x)dx = [f(x)g(x)]_a^b - \int_a^b f(x)g'(x)dx

치환 적분(Substitution Method)

합성 함수의 경우 Chain Rule을 사용하던 미분과 달리 적분의 경우 치환 적분을 사용한다. 즉, ∫f(g(x))dx\int f(g(x)) dx를 풀기 위해 g(x)g(x)에 대한 미분을 다음과 같이 정리한다.
g′(x)=dg(x)dx⇒g′(x)dx=dg(x)dxdx=dg(x)\begin{aligned} &g'(x) = {dg(x)\over dx} \\&\Rightarrow g'(x)dx = {dg(x)\over dx}dx = dg(x)\end{aligned}
g(x)=ug(x)=u로 치환하면 g′(x)dx=dug'(x)dx = d u가 되고 이를 다시 dxdx에 대해 정리하면 dx=dug′(x)dx = {du\over g'(x)}가 되어서 ∫f(g(x))dx\int f(g(x)) dx를 아래와 같은 형태로 계산할 수 있다. (g(x)=ug(x)=u가 되고 dx=dug′(x)dx = {du\over g'(x)}가 되어서)
∫f(g(x))dx=∫f(u)dug′(x)\int f(g(x)) dx = \int f(u) {du\over g'(x)}
예컨대 ∫eax+bdx\int e^{ax + b} dx를 계산한다고 하면 g(x)=ax+b=ug(x) = ax + b = u라 치환할 수 있고 (ax+b)′dx=a dx=du(ax+b)'dx = a \ dx = du이므로 이를 정리하면 dx=1adudx = {1\over a} du가 된다. 따라서
∫eax+bdx=∫eu1adu=1a∫eudu=1aeu+C=1aeax+b+C\begin{aligned} \int e^{ax+b}dx &= \int e^{u} {1\over a} du \\&= {1\over a}\int e^u du = {1\over a} e^u + C \\&= {1\over a} e^{ax+b} + C \end{aligned}
최종 결과인 1aeax+b+C{1\over a}e^{ax+b} + C를 xx에 대해 미분하면 eax+be^{ax+b}가 되므로 미분과의 역연산 관계도 성립한다.
유사하게 ∫log⁡(ax+b)dx\int \log(ax+b) dx를 계산한다고 하면 g(x)=ax+b=ug(x) = ax+b = u로 치환하고 위와 같은 절차를 따르면 dx=1adudx = {1\over a}du가 되므로
∫log⁡(ax+b)dx=∫log⁡(u)1adu=1a∫log⁡(u)du=1a[u(log⁡u−1)]+C=1a(ax+b)(log⁡(ax+b)−1))+C\begin{aligned} \int \log(ax+b)dx &= \int \log(u) {1\over a} du \\&= {1\over a}\int \log(u) du \\&= {1\over a} [u(\log u-1)] + C \\ &= {1\over a}(ax+b)(\log (ax+b)-1)) + C\end{aligned}
가 된다.

적분의 대칭성

적분의 대칭성 때문에 다음의 관계가 성립한다
∫abf(t)g(t)dt=∫−a−bf(−t)g(−t)(−dt)=∫−b−af(−t)g(−t)dt\int_a^b f(t) g(t) dt = \int_{-a}^{-b} f(-t) g(-t) (-dt) = \int_{-b}^{-a} f(-t) g(-t) dt

정적분 계산

구간 [a,b][a, b]에 대한 정적분의 값은 다음과 같이 부정적분을 이용해서 구할 수 있다. 이를 미적분학의 기본정리(Fundamental Theorem of Calculus)라고 한다.
∫abf(x)dx=[F(x)]ab=F(b)−F(a)\int_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)

다변수 함수 적분

다변수 함수에 대해 여러 번 적분하는 경우 다음처럼 표기한다. 함수 안쪽에 가까운 것이 먼저 적분되므로 아래는 yy에 대해 먼저 적분하고 그 다음 xx에 대해 적분한다.
∫x∫yf(x,y)dydx\int_x \int_y f(x, y) dy dx
다변수 함수에서 특정 매개변수로 적분하면 상수항이 나머지 매개변수에 대한 것으로 정의된다. 이는 편미분할 때 해당 매개변수는 상수 취급 받고 사라지기 때문에 그 역연산인 부정적분에서 상수를 그 사라진 매개변수에 대한 함수로 정의한다.
∫yf(x,y)dy+C(x)\int_y f(x, y) dy + C(x)
Made with