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김영길/ 선형대수학/ vector space, subspace

Example of vector space

•
(예시는 강의 참조)

Thm 1.1 Cancellation Law

•
∀x,y,z∈V,x+z=y+z⇒x=y\forall x, y, z \in V, x + z = y + z \Rightarrow x = y
•
증명)
◦
(x+z)+(−z)=(y+z)+(−z)(x + z) + (-z) = (y + z) + (-z)
◦
x+(z+(−z))=y+(z+(−z))x + (z + (-z)) = y + (z + (-z)) (결합법칙)
◦
x+0=y+0x + 0 = y + 0
◦
x=yx = y

Corollary 1

•
Identity 0는 1개 뿐이다.
•
증명)
◦
00랑 다른 0′0'이 존재한다고 가정하자.
◦
x+0=x=x+0′x + 0 = x = x + 0'
◦
cancellation에 의해 0=0′0 = 0'

Corollary 2

•
Inverse는 1개 뿐이다.
•
증명)
◦
xx에 대하여 a,ba, b라는 2개의 Inverse가 있다고 가정하자.
◦
x+a=0x + a = 0
◦
x+b=0x + b = 0
◦
x+a=x+bx + a = x + b
◦
cancellation에 의해 a=ba = b
•
참고) unique에 대한 증명은 항상 이런 식인데, 처음에 2개가 있다고 가정하고, 결론적으로 그 2개가 같음을 증명해서 1개만 존재 가능함을 증명한다.

Thm 1.2

•
∀x∈V,0⋅x=0⃗\forall x \in V, 0 \cdot x = \vec{0}
◦
(강의에는 00 으로 나오지만 구분을 위해 화살표를 달아서 0⃗\vec{0}으로 표기함)
◦
증명)
▪
0⋅x=(0+0)x=0⋅x+0⋅x0 \cdot x = (0 + 0)x = 0 \cdot x + 0 \cdot x (분배법칙)
▪
0⋅x=0⋅x+0⋅x0 \cdot x = 0 \cdot x + 0 \cdot x
▪
cancellation을 이용하여 양변의 0⋅x0 \cdot x를 각각 날려주면 0=0⋅x0 = 0 \cdot x
•
∀a∈F,a⋅0⃗=0⃗\forall a \in F, a \cdot \vec{0} = \vec{0}
◦
(강의에는 00 으로 나오지만 구분을 위해 화살표를 달아서 0⃗\vec{0}으로 표기함)
◦
증명)
▪
a⋅0⃗=a⋅(0⃗+0⃗)=a⋅0⃗+a⋅0⃗a \cdot \vec{0} = a \cdot (\vec{0} + \vec{0}) = a \cdot \vec{0} + a \cdot \vec{0} (분배법칙)
▪
a⋅0⃗=a⋅0⃗+a⋅0⃗a \cdot \vec{0} = a \cdot \vec{0} + a \cdot \vec{0}
▪
cancellation을 이용하여 양변의 a⋅0⃗a \cdot \vec{0}를 각각 날려주면 0=a⋅0⃗0 = a \cdot \vec{0}
•
∀x∈V,∀a∈F,(−a)⋅x=−(a⋅x)=a⋅(−x)\forall x \in V, \forall a \in F, (-a) \cdot x = -(a \cdot x) = a \cdot (-x)
◦
증명)
▪
a⋅x+(−a)⋅x=(a+(−a))⋅x=0⋅x=0a \cdot x + (-a) \cdot x = (a + (-a)) \cdot x = 0 \cdot x = 0
•
∴(−a)⋅x\therefore (-a) \cdot x는 a⋅xa \cdot x의 inverse
▪
a⋅x+a⋅(−x)=a⋅(x+(−x))=a⋅0=0a \cdot x + a \cdot (-x) = a \cdot (x + (-x)) = a \cdot 0 = 0
•
∴a⋅(−x)\therefore a \cdot (-x)는 a⋅xa \cdot x의 inverse

Subspace

•
벡터공간 V의 부분집합 W가 벡터공간이 되면 V의 부분공간이라고 한다.
◦
(부분집합이 항상 벡터공간이 되지 않는데, 만일 부분집합이 벡터공간이 된다면 부분공간이라고 하는 것)
◦
ex)
▪
{0}\{0\}는 항상 VV의 부분공간이 된다.
▪
VV는 항상 VV의 부분공간이 된다.
•
벡터공간 VV의 부분집합 WW가 부분공간이려면 다음 조건을 만족해야 한다.
◦
closed
◦
0∈W0 \in W
◦
사실 연산에 대해 닫혀있다는 조건을 만족하면 0∈W0 \in W이라는 조건은 굳이 필요가 없다. 0⋅x=00 \cdot x = 0이 닫혀 있으려면 자연스럽게 00은 부분집합에 포함되어 있어야 하기 때문
◦
(집합이 연산에 대해 닫혀 있다는 것이 성립하려면 연산의 결과가 집합 내에 존재해야 한다)
Made with