Search
Duplicate

선형대수/ 벡터와 직선의 방정식

벡터 v\bold{v}를 지나면서 벡터 v\bold{v}와 직교하는 직선의 방정식

v⊤x−∥v∥2=0\bold{v}^\top\bold{x} - \|\bold{v}\|^2 = 0
•
직선이 v\bold{v}에 대해 직교하고, 직선에 대해 점의 거리는 점에서 직선에 대해 내린 수직선의 길이로 정의되는데, 여기서 그 수직선이 v\bold{v} 이므로 이 직선의 원점에서의 거리는 ∥v∥\|\bold{v}\|가 된다.

벡터 v\bold{v}를 지나지 않으면서 벡터 v\bold{v}와 직교하는 직선의 방정식

•
직선이 v\bold{v}를 지나지 않지만 직교하므로 cvc\bold{v}를 지난다고 정의. (v\bold{v}를 cvc\bold{v}로 대체)
cv⊤x−c2∥v∥2=0⇔v⊤x−c∥v∥2=0c \bold{v}^\top \bold{x} - c^2 \|\bold{v}\|^2 = 0 \\ \Leftrightarrow \bold{v}^\top \bold{x} - c \|\bold{v}\|^2 = 0
•
이 직선의 원점에서의 거리는 직선이 지나는 벡터인 c∥v∥c\|\bold{v}\|가 된다.

벡터 v\bold{v}를 지나면서 직교하는 직선 위에 있지 않은 점 x\bold{x}와 직선의 거리

•
직선이 v\bold{v}와 직교하고 있기 때문에 직선 위에 있지 않은 점 x\bold{x}에 대해 v\bold{v}와 평행한 성분을 구하면, 그 성분은 직선과 수직이 된다.
•
x\bold{x}에 대해 v\bold{v}와 평행한 성분의 길이는 v\bold{v}에서 x\bold{x}까지의 평행한 길이가 되고, v\bold{v}가 직선 위에 존재하므로, v\bold{v}에서 x\bold{x}까지의 평행한 길이에서 v\bold{v}의 길이를 빼면 직선에서 x\bold{x}의 길이가 된다.
•
최종적으로 점의 위치에 따라 이 값이 음수가 나올 수 있으므로 절대값을 씌워준다.
∣∥x∥v∥−∥v∥∣∣=∣x⊤v∥v∥−∥v∥∣=∣x⊤v−∥v∥2∥v∥∣|\|\bold{x}^{\|\bold{v}}\| - \|\bold{v}\||| = \left| {\bold{x}^\top \bold{v} \over \|\bold{v}\|} - \|\bold{v}\| \right| = \left| {\bold{x}^\top \bold{v} - \|\bold{v}\|^2 \over \|\bold{v}\| } \right|

참조

•
Made with