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교양/ 수학/ 수 체계

대수 구조

집합: 아무런 연산이 부여되지 않은 대수구조
반군: 집합과 그 위의 결합법칙을 따르는 하나의 이항 연산을 갖춘 대수구조
모노이드: 항등원을 갖는 반군
군: 역원을 갖는 모노이드
아벨군(가환군): 교환법칙이 성립하는 군
아벨군이 되면 1종류의 이항 연산에 대해 4개의 기본 연산을 만족하게 됨. (결합법칙/교환법칙/항등원/역원)
환: 덧셈에 대하여 아벨군, 곱셈에 대하여 반군을 이루고 분배법칙이 성립하는 대수구조
환부터는 2종류의 이항 연산이 부여 됨.
1종류의 이항 연산은 아벨군을 만족해야 하고, 나머지 1종류의 이항 연산은 반군을 만족 시켜야 함.
가군: 어떤 환의 원소에 대한 곱셈이 주어지며, 분배법칙이 성립하는 아벨군
벡터공간은 가군의 한 종류
가군은 환에서 원소를 받는게 기본이지만, 벡터공간은 보다 엄격하게 체에서 원소를 받아 온다.
가환환: 곱셈이 교환법칙을 만족하는 환
환 중에 반군을 만족 시키는 나머지 1종류의 연산이 추가로 교환 법칙을 만족. 하지만 항등원과 역원은 존재하지 않는다.
나눗셈환: 0이 아닌 모든 원소가 역원을 가지며, 원소의 개수가 둘 이상인 환
환 중에 반군을 만족 시키는 나머지 1종류의 연산이 항등원과 역원을 가짐. 하지만 교환 법칙은 만족하지 않는다.
체: 가환환인 나눗셈환. 즉, 사칙연산이 자유로이 시행될 수 있고 산술의 잘 알려진 규칙들을 만족하는 대수구조
2종류의 이항연산이 모두 4개의 기본연산을 만족 함.
보다 상세한 내용은 아래 링크 참조

복소수(complex number)
제곱해서 -1이 되는 i를 가진 수 체계
i2=1i^{2} = -1
체를 이룬다
2원수(dual number)
제곱해서 0이 되는 ϵ\epsilon을 가진 수 체계
ϵ2=0(ϵ0)\epsilon^{2} = 0 (\epsilon \neq 0)
분할 복소수(split-complex number)
제곱해서 1이 되는 j를 가진 수 체계
j2=1(j±1)j^{2} = 1 (j \neq \pm 1)
4원수(quaternion)
복소수를 확장한 체계로 제곱해서 -1이 되지만 서로 다른 i, j, k를 가진 수 체계.
i2=j2=k2=ijk=1(ij,jk,ki)i^{2} = j^{2} = k^{2} = ijk = -1 (i \neq j, j \neq k, k \neq i)
곱셉의 교환법칙이 성립하지 않기 때문에 체는 아니고 꼬인체라고 한다.
i, j만 가진 3원수는 존재하지 않는다고 한다. 환이 형성되지 않기 때문
4원수를 더 확장해서 8원수, 16원수 등도 있지만 확장될 수록 점점 교환법칙, 결합법칙도 성립되지 않아서 무질서해지므로 큰 의미를 두지 않는다.
2원수와 분할 복소수를 보면 수학의 자유로움이 느껴진다. 8원수 이상의 확장도 그렇고. —가능하긴 하지만, 수학적 의미를 가지지 못하는 것도 인정함.