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교양/ 수학/ 수 체계

대수 구조

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집합: 아무런 연산이 부여되지 않은 대수구조
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반군: 집합과 그 위의 결합법칙을 따르는 하나의 이항 연산을 갖춘 대수구조
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모노이드: 항등원을 갖는 반군
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군: 역원을 갖는 모노이드
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아벨군(가환군): 교환법칙이 성립하는 군
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아벨군이 되면 1종류의 이항 연산에 대해 4개의 기본 연산을 만족하게 됨. (결합법칙/교환법칙/항등원/역원)
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환: 덧셈에 대하여 아벨군, 곱셈에 대하여 반군을 이루고 분배법칙이 성립하는 대수구조
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환부터는 2종류의 이항 연산이 부여 됨.
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1종류의 이항 연산은 아벨군을 만족해야 하고, 나머지 1종류의 이항 연산은 반군을 만족 시켜야 함.
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가군: 어떤 환의 원소에 대한 곱셈이 주어지며, 분배법칙이 성립하는 아벨군
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벡터공간은 가군의 한 종류
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가군은 환에서 원소를 받는게 기본이지만, 벡터공간은 보다 엄격하게 체에서 원소를 받아 온다.
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가환환: 곱셈이 교환법칙을 만족하는 환
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환 중에 반군을 만족 시키는 나머지 1종류의 연산이 추가로 교환 법칙을 만족. 하지만 항등원과 역원은 존재하지 않는다.
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나눗셈환: 0이 아닌 모든 원소가 역원을 가지며, 원소의 개수가 둘 이상인 환
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환 중에 반군을 만족 시키는 나머지 1종류의 연산이 항등원과 역원을 가짐. 하지만 교환 법칙은 만족하지 않는다.
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체: 가환환인 나눗셈환. 즉, 사칙연산이 자유로이 시행될 수 있고 산술의 잘 알려진 규칙들을 만족하는 대수구조
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2종류의 이항연산이 모두 4개의 기본연산을 만족 함.
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보다 상세한 내용은 아래 링크 참조
이상엽/ 선형대수학/ 수학적 벡터 (벡터공간)

수

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복소수(complex number)
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제곱해서 -1이 되는 i를 가진 수 체계
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i2=−1i^{2} = -1
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체를 이룬다
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2원수(dual number)
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제곱해서 0이 되는 ϵ\epsilon을 가진 수 체계
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ϵ2=0(ϵ≠0)\epsilon^{2} = 0 (\epsilon \neq 0)
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분할 복소수(split-complex number)
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제곱해서 1이 되는 j를 가진 수 체계
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j2=1(j≠±1)j^{2} = 1 (j \neq \pm 1)
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4원수(quaternion)
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복소수를 확장한 체계로 제곱해서 -1이 되지만 서로 다른 i, j, k를 가진 수 체계.
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i2=j2=k2=ijk=−1(i≠j,j≠k,k≠i)i^{2} = j^{2} = k^{2} = ijk = -1 (i \neq j, j \neq k, k \neq i)
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곱셉의 교환법칙이 성립하지 않기 때문에 체는 아니고 꼬인체라고 한다.
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i, j만 가진 3원수는 존재하지 않는다고 한다. 환이 형성되지 않기 때문
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4원수를 더 확장해서 8원수, 16원수 등도 있지만 확장될 수록 점점 교환법칙, 결합법칙도 성립되지 않아서 무질서해지므로 큰 의미를 두지 않는다.
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2원수와 분할 복소수를 보면 수학의 자유로움이 느껴진다. 8원수 이상의 확장도 그렇고. —가능하긴 하지만, 수학적 의미를 가지지 못하는 것도 인정함.
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