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김영길/ 선형대수학/ nullspace, range, nullity, rank, dimension theorem

Identity transformation
IV:VVI_{V}: V \to V
xxx \mapsto x
(자기 자신으로 보내는 변환)
Zero transformation
T0:VWT_{0}: V \to W
x0x \mapsto 0
(0으로 보내는 변환)
T:VWT: V \to W 에 대하여 Nullspace N(T)N(T)는 다음과 같다.
N(T)={xV:T(x)=0}N(T) = \{ x \in V : T(x) = 0 \}
(VV에서 WW로 가는 선형 변환 TT에 대하여 T(x)T(x)00이 되는 원소들의 집합을 Nullspace N(T)N(T)라 한다.)
Range(치역) R(T)R(T)의 정의는 다음과 같다.
R(T)={T(x):xV}R(T) = \{ T(x) : x \in V \}
Ex)
I:VV,xxI: V \to V, x \mapsto x 일 때
N(I)={0}N(I) = \{0\}
R(I)=VR(I) = V
T0:VW,x0T_{0} : V \to W, x \mapsto 0 일 때
N(T0)=VN(T_{0}) = V
R(T0)={0}R(T_{0}) = \{0\}

Thm 2.1

T:VWT: V \to W의 선형변환에서 N(T)N(T)는 VV의 부분공간이고, R(T)R(T)는 WW 의 부분공간이다.
(널공간은 VV에서 덧셈과 스칼라 곱이 닫혀있고, 치역은 WW에서 덧셈과 스칼라 곱이 닫혀 있다는 증명 생략)

Thm 2.2

T:VWT : V \to W의 선형변환에서 β={v1,v2,...,vn}\beta = \{ v_{1}, v_{2}, ... , v_{n} \}VV의 기저일 때
R(T)=span(T(β))=span({T(v1),T(v2),...,T(vn)})R(T) = span(T(\beta)) = span(\{ T(v_{1}), T(v_{2}), ... , T(v_{n})\})
증명)
R(T)span(T(β))R(T) \supset span(T(\beta))의 증명
i,T(vi)R(T)\forall i, T(v_{i}) \in R(T)
R(T)R(T)WW의 부분공간이므로
span(T(β))R(T)span(T(\beta)) \subset R(T)
R(T)span(T(β))R(T) \subset span(T(\beta))의 증명
wR(T):w=T(v)vVw \in R(T) : w = T(v) \exists v \in V
β\betaVV의 기저이므로
v=i=1naiviv = \sum_{i=1}^{n} a_{i}v_{i}
양변에 TT를 취하면
w=T(v)=i=1naiT(vi)span(T(β))w = T(v) = \sum_{i=1}^{n} a_{i} T(v_{i}) \in span(T(\beta))
R(T)span(T(β))R(T) \subset span(T(\beta))
R(T)=span(T(β))\therefore R(T) = span(T(\beta))

Thm 2.3 Dimension Theorem

dim(N(T))=nullity,dim(R(T))=rankdim(N(T)) = nullity, dim(R(T)) = rank 라 하자.
T:VW,dim(V)<T : V \to W, dim(V) < \infty 일때
nullity(T)+rank(T)=dim(V)nullity(T) + rank(T) = dim(V)
VV에서 WW로 가는 선형변환 TT에서 널공간과 치역의 차원을 합하면 정의역의 차원이 된다.
증명)
dim(V)=ndim(V) = n이라 할 때 N(T)<VN(T) < V이므로 dim(N(T))=kndim(N(T)) = k \leq n
벡터 {v1,v2,...,vk}\{ v_{1}, v_{2}, ... , v_{k} \}N(T)N(T)의 기저라 하면, 이를 확장 시켜서 VV의 기저 β={v1,v2,...vk,vk+1,...,vn}\beta = \{ v_{1}, v_{2}, ... v_{k}, v_{k+1}, ... , v_{n} \}를 만들 수 있다.
이때 VV의 기저 β\beta가 되도록 확장시킨 S={T(vk+1),T(vk+2),...,T(vn)}S = \{ T(v_{k+1}), T(v_{k+2}), ... , T(v_{n}) \}R(T)R(T)의 기저가 된다.
SS를 span하면 R(T)R(T)가 되고, SS가 선형독립이면 R(T)R(T)의 기저가 되므로 다음과 같이 증명한다.
SSR(T)R(T)를 생성한다는 증명
R(T)=span{T(v1),T(v2),...,T(vn)}R(T) = span\{ T(v_{1}), T(v_{2}), ... , T(v_{n}) \}
=span{T(v1)=0,T(v2)=0,...T(vk)=0,T(vk+1),...,T(vn)}= span\{ T(v_{1}) = 0, T(v_{2}) = 0, ... T(v_{k}) = 0, T(v_{k+1}), ... , T(v_{n}) \}
=span(S)= span(S)
SS가 선형 독립이라는 증명
i=k+1nbiT(vi)=0\sum_{i=k+1}^{n} b_{i} T(v_{i}) = 0
T(i=k+1nbivi)=0T(\sum_{i=k+1}^{n} b_{i} v_{i}) = 0
i=k+1nbiviN(T)\sum_{i=k+1}^{n} b_{i} v_{i} \in N(T)
N(T)=i=1kciviN(T) = \sum_{i=1}^{k} c_{i} v_{i} 라 하면
i=k+1nbivi=i=1kcivi\sum_{i=k+1}^{n} b_{i} v_{i} = \sum_{i=1}^{k} c_{i} v_{i}
i=1k(ci)vi+i=k+1nbivi=0\sum_{i=1}^{k} (-c_{i})v_{i} + \sum_{i=k+1}^{n} b_{i} v_{i} = 0
β={v1,v2,...,vn}\beta = \{ v_{1}, v_{2}, ... , v_{n} \}VV의 기저이므로
i,bi=0\forall i, b_{i} = 0
그러므로 SS는 선형독립
S={T(vk+1),T(vk+2),...,T(vn)}\therefore S = \{ T(v_{k+1}), T(v_{k+2}), ... , T(v_{n}) \}R(T)R(T)의 기저
dim(R(T))=rank(T)=nk\therefore dim(R(T)) = rank(T) = n-k