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김영길/ 선형대수학/ Eigen decomposition, Cayley-Hamilton theorem, inner product space

(대각화 가능 판별 예제 생략 - 교재 참조)
(행렬의 n승을 구하는 예제 생략 - eigenvalue, eigenvector를 이용해서 대각화하면 계산 된다)

System of differential equations

•
주어진 연립 미분 방정식이 다음과 같을 때, 해를 구하는 방법
◦
x1′(t)=3x1(t)+x2(t)+x3(t)x'_{1}(t) = 3x_{1}(t) + x_{2}(t) + x_{3}(t)
◦
x2′(t)=2x1(t)+4x2(t)+2x3(t)x'_{2}(t) = 2x_{1}(t) + 4x_{2}(t) + 2x_{3}(t)
◦
x3′(t)=−x1(t)−x2(t)+x3(t)x'_{3}(t) = -x_{1}(t) - x_{2}(t) + x_{3}(t)
◦
x=[x1(t)x2(t)x3(t)]x = \left[ \begin{array}{rrr} x_{1}(t) \\ x_{2}(t) \\ x_{3}(t) \end{array} \right]
◦
x′=[311242−1−11]x=Axx' = \left[ \begin{array}{rrr} 3 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ -1 & -1 & 1 \end{array} \right] x = Ax
◦
A=QDQ−1A = QDQ^{-1}
▪
AQ=QDAQ = QD에서 파생 DD는 Diagonal matrix
◦
x′=QDQ−1xx' = QDQ^{-1}x
◦
Q−1x′=DQ−1xQ^{-1}x' = DQ^{-1}x
◦
y′=Dyy' = Dy
▪
Q−1x=yQ^{-1}x = y로 치환
◦
Q=[−10−10−1−2111]Q = \left[ \begin{array}{rrr} -1 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right]
◦
D=[200020004]D = \left[ \begin{array}{rrr} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{array} \right]
◦
[y1′(t)y2′(t)y3′(t)]=[200020004][y1(t)y2(t)y3(t)]=[2y1(t)2y2(t)4y3(t)]\left[ \begin{array}{rrr} y'_{1}(t) \\ y'_{2}(t) \\ y'_{3}(t) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rrr} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{rrr} y_{1}(t) \\ y_{2}(t) \\ y_{3}(t) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rrr} 2y_{1}(t) \\ 2y_{2}(t) \\ 4y_{3}(t) \end{array} \right]
•
각 함수는 독립적 (system is decoupled)
◦
y1(t)=c1e2ty_{1}(t) = c_{1} e^{2t}
◦
y2(t)=c2e2ty_{2}(t) = c_{2} e^{2t}
◦
y3(t)=c3e4ty_{3}(t) = c_{3} e^{4t}
◦
x=Qyx = Qy 했던 것을 되돌려준다.
◦
[x1(t)x2(t)x3(t)]=[−10−10−1−2111][c1e2tc2e2tc3e4t]\left[ \begin{array}{rrr} x_{1}(t) \\ x_{2}(t) \\ x_{3}(t) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rrr} -1 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{rrr} c_{1}e^{2t} \\ c_{2}e^{2t} \\ c_{3}e^{4t} \end{array} \right]
•
eigenvalue, eigenvector를 이용해서 system을 decoupling 시킨 후에 decoupling된 1차 미분 방정식을 풀고 다시 coupling된 상태로 만들어주면 된다. 이렇게 연립 미분 방정식을 풀 수 있다.

Thm 5.23 Cayley-Hamilton theorem

•
선형변환 T:V→VT : V \to V에 대하여
◦
f(t)f(t)가 TT 의 특성 방정식이고
◦
=det([T]β−tI)= det([T]_{\beta} - tI)일 때
◦
f(T)=T0f(T) = T_{0}
•
Ex 7)
◦
T:R2→R2T : R^{2} \to R^{2}
▪
(a,b)↦(a+2b,−2a+b)(a, b) \mapsto (a + 2b, -2a +b)
◦
β={(1,0),(0,1)}\beta = \{ (1, 0), (0, 1) \}
◦
T(1,0)=(1,−2)T(1, 0) = (1, -2)
◦
T(0,1)=(−2,1)T(0, 1) = (-2, 1)
◦
A=[T]β=[12−21]A = [T]_{\beta} = \left[ \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ -2 & 1 \end{array} \right]
◦
TT의 특성 방정식은
▪
f(t)=det([T]β−tI)=det[1−t2−21−t]=t2−2t+5f(t) = det([T]_{\beta} - tI) = det \left[ \begin{array}{rr} 1 - t & 2 \\ -2 & 1 - t \end{array} \right] = t^{2} - 2t + 5
◦
Cayley-Hamilton 정리에 의해
▪
A2−2A+5I=0A^{2} - 2A + 5I = 0
•
A=[abcd]A = \left[ \begin{array}{rr} a & b \\ c & d \end{array} \right]에 대해
◦
AA의 특성 방정식은
▪
det(A−tI)=[a−tbcd−t]det(A - tI) = \left[ \begin{array}{rr} a - t & b \\ c & d - t \end{array} \right]
▪
t2−(a+d)t+ad−bct^{2} - (a + d)t + ad - bc
▪
A2−(a+d)A+(ad−bc)I=0A^{2} - (a + d)A + (ad - bc)I = 0

Inner product space

Inner product and norm

•
Ex 1)
◦
x=(a1,a2,...,an)∈Fnx = (a_{1}, a_{2}, ... , a_{n}) \in F^{n}
◦
y=(b1,b2,...,bn)∈Fny = (b_{1}, b_{2}, ... , b_{n}) \in F^{n}
◦
<x,y>=∑i=1naibˉi<x, y> = \sum_{i=1}^{n} a_{i} \bar{b}_{i}
◦
z=(c1,c2,...,cn)∈Fnz = (c_{1}, c_{2}, ... , c_{n}) \in F^{n}
◦
<x+z,y>=∑i=1n(ai+ci)bˉi=∑i=1naibˉi+∑i=1ncibˉi=<x,y>+<z,y><x + z, y> = \sum_{i=1}^{n}(a_{i} + c_{i})\bar{b}_{i} = \sum_{i=1}^{n} a_{i} \bar{b}_{i} + \sum_{i=1}^{n} c_{i} \bar{b}_{i} = <x, y> + <z, y>
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