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데코수학/ 벡터미적분학/ 다변수 실함수의 미분

(유튜브 동영상인데 현재는 삭제되어서 내용만 남김)

개념

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미분의 기본 개념. f(x)f(x)가 x0x_{0}에서 미분가능하다.
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⇔lim⁡h→0f(x0+h)−f(x0)h\Leftrightarrow \lim_{h \to 0} {f(x_{0}+h) - f(x_{0}) \over h}가 존재
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⇔∃a∈R,lim⁡x→x0f(x)−f(x0)x−x0=a\Leftrightarrow \exists a \in \mathbb{R}, \lim_{x \to x_{0}} {f(x) - f(x_{0}) \over x - x_{0}} = a
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⇔∃a∈R,lim⁡x→x0f(x)−f(x0)−a(x−x0)x−x0=0\Leftrightarrow \exists a \in \mathbb{R}, \lim_{x \to x_{0}} {f(x) - f(x_{0}) - a(x -x_{0}) \over x - x_{0}} = 0
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⇔∃a∈R,∃ϵ:R→R,lim⁡x→x0ϵ(x)=0,f(x)−f(x0)−a(x−x0)x−x0=ϵ(x)\Leftrightarrow \exists a \in \mathbb{R}, \exists \epsilon : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \lim_{x \to x_{0}} \epsilon (x) = 0, {f(x) - f(x_{0}) - a(x -x_{0}) \over x - x_{0}} = \epsilon (x)
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⇔∃a∈R,∃ϵ:R→R(lim⁡x→x0ϵ(x)=0),f(x)=f(x0)+a(x−x0)+ϵ(x)(x−x0)\Leftrightarrow \exists a \in \mathbb{R}, \exists \epsilon : \mathbb{R} \to \mathbb{R} (\lim_{x \to x_{0}} \epsilon (x) = 0), f(x) = f(x_{0}) + a(x -x_{0}) + \epsilon (x)(x - x_{0})
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여기까지 유도된 형식은 다변수를 다루기가 좋다.
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x0x_{0}에 아주 가까워지면 f(x)f(x)가 일차식처럼 보인다.
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a(x−x0)a(x - x_{0})와 ϵ(x)(x−x0)\epsilon (x) (x - x_{0})모두 0에 가까워지는데, a(x−x0)a(x - x_{0})는 1차식으로 0에 가까워지는 반면, ϵ(x)(x−x0)\epsilon (x) (x - x_{0})은 훨씬 빠른 속도로 0에 가까워진다.
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f(x⃗):p⃗f(\vec{x}) : \vec{p}에서 미분가능
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⇔∃a1,a2,...an∈R,∃ϵ:Rn→R(lim⁡x⃗→p⃗ϵ(x⃗)=0),f(x⃗)=f(p⃗)+a1(x1−p1)+a2(x2−p2)+...+an(xn−pn)+ϵ(x⃗)∥x⃗−p⃗∥\Leftrightarrow \exists a_{1}, a_{2}, ... a_{n} \in \mathbb{R}, \exists \epsilon : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R} (\lim_{\vec{x} \to\vec{p}} \epsilon (\vec{x}) = 0), f(\vec{x}) = f(\vec{p}) + a_{1}(x_{1} - p_{1}) + a_{2}(x_{2} - p_{2}) + ... + a_{n}(x_{n} - p_{n}) + \epsilon(\vec{x}) \|\vec{x} - \vec{p}\|
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f(x⃗):p⃗f(\vec{x}) : \vec{p} 에서 미분가능 ⇒f(x⃗):p⃗\Rightarrow f(\vec{x}) : \vec{p} 에서 연속
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f(x⃗):p⃗f(\vec{x}) : \vec{p} 에서 미분가능 ⇒f(x⃗):p⃗\Rightarrow f(\vec{x}) : \vec{p} 에서 일차식으로 근사시킬 때, 그때 일차항의 계수 a1,a2,...ana_{1}, a_{2}, ... a_{n} 들은 ∂f∂x1∣(p⃗),∂f∂x2∣(p⃗),...∂f∂xn∣(p⃗){\partial f \over \partial x_{1}} |_{(\vec{p})}, {\partial f \over \partial x_{2}} |_{(\vec{p})}, ... {\partial f \over \partial x_{n}} |_{(\vec{p})} 의 값이다.
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| 는 대입기호. f∣xf |_{x}는 함수 f에 x를 대입한다는 뜻.
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f(x⃗)f(\vec{x})의 모든 편미분이 존재하고, 모두연속이면 ⇒f(x⃗)\Rightarrow f(\vec{x})는 미분 가능
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(결국 전미분은 각 변수에 대해 편미분 한 것들을 다 더하면 된다.)
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