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데코수학/ 벡터미적분학/ 다변수실함수의 최적화 문제

(유튜브 동영상인데 현재는 삭제되어서 내용만 남김)

개념

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Nδ(p⃗):=x⃗∣∥x⃗−p⃗∥<δN_{\delta}(\vec{p}) := { \vec{x} | \|\vec{x} - \vec{p} \| < \delta }
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f(p⃗)f(\vec{p}): 극대값 ⇔∃δ,∀x⃗∈Nδ(p⃗),f(p⃗)≥f(x⃗)\Leftrightarrow \exists \delta, \forall \vec{x} \in N_{\delta}(\vec{p}), f(\vec{p}) \geq f(\vec{x})
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f(p⃗)f(\vec{p}): 극소값 ⇔∃δ,∀x⃗∈Nδ(p⃗),f(p⃗)≤f(x⃗)\Leftrightarrow \exists \delta, \forall \vec{x} \in N_{\delta}(\vec{p}), f(\vec{p}) \leq f(\vec{x})
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Ω(⊆Rn)\Omega(\subseteq \mathbb{R}^{n}) : 유계, 닫힌집합, f:Ω→Rf : \Omega \to \mathbb{R} 연속 ⇒f\Rightarrow f는 최대값, 최소값을 가진다.
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유계는 범위가 무한하지 않다는 뜻.
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닫힌 집합이라는 것은 범위 경계도 포함한다는 뜻.
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f(x,y)f(x, y) 가 (p,q)(p, q)에서 2번 미분가능하고 ∇f∣(p,q)=0⃗\nabla f |_{(p, q)} = \vec{0} 일 때,
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Let.A=∂2f∂x2∣(p,q)⋅∂2f∂y2∣(p,q)−(∂2f∂x∂y∣(p,q))2Let. A = {\partial^{2} f \over \partial x^{2}} |_{(p, q)} \cdot {\partial^{2} f \over \partial y^{2}} |_{(p, q)} - ({\partial^{2} f \over \partial x \partial y} |_{(p, q)})^{2}
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A>0A > 0
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∂2f∂x2∣(p,q)<0∨∂2f∂y2∣(p,q)<0⇒f(p,q){\partial^{2} f \over \partial x^{2}} |_{(p, q)} < 0 \vee {\partial^{2} f \over \partial y^{2}} |_{(p, q)} < 0 \Rightarrow f(p, q): 극대
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∂2f∂x2∣(p,q)>0∨∂2f∂y2∣(p,q)>0⇒f(p,q){\partial^{2} f \over \partial x^{2}} |_{(p, q)} > 0 \vee {\partial^{2} f \over \partial y^{2}} |_{(p, q)} > 0 \Rightarrow f(p, q) : 극소
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A<0A < 0
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f(p,q)f(p, q) : 안장점
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안장점이란 극대이면서 동시에 극소인 점. 어떤 방향에서 보면 극대이고 어떤 방향에서 보면 극소가 된다.
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f(x⃗),g(x⃗):p⃗f(\vec{x}), g(\vec{x}) : \vec{p}에서 미분가능, f(p⃗)f(\vec{p}) 극값, g(p⃗)=0g(\vec{p}) = 0
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⇔∃λ,∇f∣p⃗=λ∇g∣p⃗\Leftrightarrow \exists \lambda, \nabla f |_{\vec{p}} = \lambda \nabla g |_{\vec{p}}
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