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선형대수/ Transpose, Inverse, Orthogonal, Definite, Semi-Difinite, 좌표 변환 행렬

전치 행렬(Transpose Matrix)

•
m×nm \times n 행렬 A\bold{A}에 대하여 A\bold{A}의 행과 열을 바꾸어 얻은 n×mn \times m 행렬을 A\bold{A}의 전치 행렬이라고 하고 A⊤\bold{A}^\top로 표시한다.
Aij=(A⊤)ji\bold{A}_{ij} = (\bold{A}^\top)_{ji}
•
행렬의 곱에 전치를 하면 그 순서가 뒤집힌다.
(AB)⊤=B⊤A⊤(ABC)⊤=C⊤B⊤A⊤(ABCD)⊤=D⊤C⊤B⊤A⊤\begin{aligned} (AB)^\top &= B^\top A^\top \\ (ABC)^\top &= C^\top B^\top A^\top \\ (ABCD)^\top &= D^\top C^\top B^\top A^\top \end{aligned}

역 행렬(Inverse Matrix)

•
행렬의 역은 원래 행렬과 곱해서 항등 행렬을 만들 수 있는 행렬로 정의한다.
A−1A=AA−1=I\bold{A}^{-1}\bold{A} = \bold{AA}^{-1} = \bold{I}
•
역행렬이 존재할 수 있는 조건은 다음과 같다.
1.
정사각행렬이어야 함. A∈Mn×n\bold{A} \in M_{n \times n}
•
정사각행렬이 아니면 행렬식이 존재할 수 없다.
2.
행렬식이 0이 아니어야 함. det⁡(A)≠0\det(\bold{A}) \neq 0
•
행렬식은 오로지 정사각행렬에서만 정의된다.
3.
행렬이 풀랭크여야 함. A∈Mn×n(F)\bold{A} \in M_{n \times n}(F)일 때 rank(A)=n\text{rank}(\bold{A}) = n
•
모든 열이 독립이거나, 모든 행이 독립
•
정사각일 때, 모든 열이 독립이면, 모든 행이 독립이 되고, 모든 행이 독립이면 모든 열이 독립하게 됨.
•
정사각이 아니면 모든 열이 독립이거나 모든 행이 독립일 수는 있어도 그 둘이 동시에는 불가능함
•
직교는 독립보다 더 강한 조건이기 때문에 직교하면 독립이다. 반대로 독립이라고 직교는 당연히 아님.
◦
정사각행렬에서 2와 3은 사실 동치이다. 정사각행렬에서 행렬식이 0이 아니면 풀랭크고, 정사각행렬이 풀랭크면 행렬식이 0이 아니다.
•
A,B∈Rn×n\bold{A,B} \in \mathbb{R}^{n \times n}이고 특이가 아닐 때 역행렬은 다음의 속성을 갖는다.
(A−1)−1=A(AB)−1=B−1A−1(A−1)⊤=(A⊤)−1≜A−⊤\begin{aligned} (\bold{A}^{-1})^{-1} &= \bold{A} \\ (\bold{AB})^{-1} &= \bold{B}^{-1}\bold{A}^{-1} \\ (\bold{A}^{-1})^\top &= (\bold{A}^\top)^{-1} \triangleq \bold{A}^{-\top} \end{aligned}
•
위의 2번째 속성은 행렬이 여러 개일 때 다음처럼 확장된다.
(ABCD)−1=D−1C−1B−1A−1(\bold{ABCD})^{-1} = \bold{D}^{-1}\bold{C}^{-1}\bold{B}^{-1}\bold{A}^{-1}
•
block 대각 행렬에 대해 역은 단순히 각 블록의 역을 분리하여 얻는다.
(A00A)−1=(A−100B−1)\left(\begin{matrix} \bold{A} & \bold{0} \\ \bold{0} & \bold{A} \end{matrix}\right)^{-1} = \left(\begin{matrix} \bold{A}^{-1} & \bold{0} \\ \bold{0} & \bold{B}^{-1} \end{matrix}\right)

직교(Orthogonal) 행렬

•
정사각 행렬 A∈Mn×n(F)\bold{A} \in M_{n \times n}(F)의 모든 열벡터가 정규직교(orthognormal)인 경우—orthogonal이 아니므로 주의— 직교 행렬(orthogonal matrix)이라 한다.
◦
정사각 행렬의 모든 열벡터가 단위 벡터이면서 직교하면, 동시에 모든 행벡터 또한 단위벡터이면서 직교하게 된다.
◦
정사각이 아니면 모든 열이나 모든 행이 직교할 수는 있어도 그 둘이 동시에 직교하지는 못한다.
◦
벡터에서와 달리 행렬에 대해서는 정규직교(orthonormal)을 정의하지 않는다.
◦
복소수 행렬에서는 유니터리 행렬(unitary matrix)라고 한다.
•
직교 행렬 A\bold{A}는 자신의 전치 행렬 A⊤\bold{A}^\top과 곱할 때 항등 행렬 I\bold{I}이 된다. 다음이 성립한다.
A⊤A=AA⊤=I\bold{A}^\top\bold{A} = \bold{AA}^\top = \bold{I}
•
모든 직교 행렬은 가역이고, 행렬의 역행렬은 전치 행렬과 같다.
A−1=A⊤\bold{A}^{-1} = \bold{A}^\top
•
직교 행렬의 역행렬과 전치 행렬도 직교 행렬이다.
•
직교 행렬의 행렬식은 ±1\pm 1이다.
det⁡(A)=±1\det(\bold{A}) = \pm 1

정부호(Definite)-준정부호(Semi-Definite) 행렬

•
영벡터가 아닌 모든 벡터 x\bold{x}에 대해 다음 부등식이 성립하면 행렬 A\bold{A}를 양의 정부호(positive definite)라고 한다.
◦
이 경우 이차형식의 그래프는 모든 방향에서 볼록(convex)하며, 이차형식은 극소값을 갖는다.
x⊤Ax>0\bold{x}^\top \bold{A x} > 0
•
만일 양의 정부호 식이 등호를 포함하면 양의 준정부호(positive semi-definite)라고 한다.
◦
이 경우 이차형식의 그래프가 극소값을 가질 수도 있다. ‘편평한’ 영역(값이 변하지 않는 영역)이 있을 수 있다.
x⊤Ax≥0\bold{x}^\top \bold{A x} \ge 0
•
만일 양의 정부호 식의 부등호 방향이 바뀌면 음의 정부호(negative definite)라고 한다.
◦
이 경우 이차형식의 그래프는 모든 방향에서 오목(concave)하며, 이차형식은 극대값을 갖는다.
x⊤Ax<0\bold{x}^\top \bold{A x} < 0
•
비슷하게 음의 정부호 식이 등호를 포함하면 음의 준정부호(negative semi-definite)라고 한다.
◦
이 경우 이차형식의 그래프가 극대값을 가질 수도 있다. ‘편평한’ 영역이 있을 수 있다.
x⊤Ax≤0\bold{x}^\top \bold{A x} \le 0
•
위 방법에 따르면 모든 행렬에 대해 양의 정부호와 준정부호를 정의할 수 있지만 보통 대칭행렬에 대해서만 정의한다.
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참고로 위와 같이 ‘행벡터 x 정방행렬 x 열벡터’의 형식으로 되어 있는 경우, 벡터의 이차형식(Quadratic Form)이라 한다.
•
행렬 A\bold{A}가 양의 정부호면 −A-\bold{A}는 음의 정부호가 되고, A\bold{A}가 음의 정부호면 −A-\bold{A}는 양의 정부호가 된다.
◦
비슷하게 행렬 A\bold{A}가 양의 준정부호면 −A-\bold{A}는 음의 준정부호가 되고, A\bold{A}가 음의 준정부호면 −A-\bold{A}는 양의 준정부하고 된다.
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(실수, 대칭) 행렬이 양의 정부호가 되기 위한 충분조건은 대각 지배 행렬(diagonally dominant) 이어야 한다는 것이다. 즉, 행렬의 모든 행에서 대각 항목의 크기가 그 행의 대각이 아닌 항목들의 합보다 커야 한다.
∣aii∣>∑j≠i∣aij∣ (∀i)|a_{ii}| > \sum_{j\neq i} |a_{ij}| \ (\forall i)
•
대칭 행렬이 양의 정부호이면, 모든 고윳값이 양이고, 그 역도 성립한다.
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대각화 속성을 사용하면 이차 형식을 다음과 같이 정리할 수 있다.
x⊤Ax=x⊤UΛU⊤x=y⊤Λy=∑i=1nλiyi2\bold{x}^\top\bold{A}\bold{x} = \bold{x}^\top\bold{U}\boldsymbol{\Lambda}\bold{U}^\top\bold{x} = \bold{y}^\top \boldsymbol{\Lambda}\bold{y} = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i y_i^2
•
이 식에서 y=U⊤x\bold{y} = \bold{U}^\top\bold{x}. yi2y_i^2는 항상 음이 아니기 때문에, 이 표현의 부호는 고윳값 λi\lambda_i에 전적으로 의존한다.
◦
만일 모든 λi>0\lambda_i > 0이면 양의 정부호이다.
◦
만일 모든 λi≥0\lambda_i \geq 0이면 양의 준정부호이다.
◦
만일 모든 λi<0\lambda_i <0이면 음의 정부호이다.
◦
만일 모든 λi≤0\lambda_i \leq 0이면 음의 준정부호이다.
◦
마지막으로 만일 A\bold{A}양과 음의 고윳값을 모두 갖고 있다면, 이것은 정부호가 아니다.

좌표변환 행렬(change of coordinate matrix)

•
유한차원 벡터공간 VV의 두 순서기저 β,β′\beta, \beta'에 대하여 Q=[IV]β′βQ = [\bold{I}_V]_{\beta'}^{\beta}라 하자. 다음이 성립한다.
1.
QQ는 가역행렬이다.
2.
임의의 v∈V\bold{v} \in V에 대하여 [v]β=Q[v]β′[\bold{v}]_\beta = Q[\bold{v}]_{\beta'}이다.
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여기서 정의된 행렬 Q=[IV]β′βQ = [\bold{I}_V]_{\beta'}^{\beta}를 좌표변환 행렬(change of coordinate matrix)이라고 한다.
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벡터공간 VV에서 자기 자신으로 가는 선형변환을 VV의 선형연산자(linear operation)이라 한다.
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유한차원 벡터공간 V,WV,W와 선형변환 T:V→WT : V \to W의 두 순서기저 β,β′\beta, \beta', WW의 두 순서기저 γ,γ′\gamma, \gamma'를 생각하자. QQ를 β′\beta'좌표를 β\beta좌표로 변환하는 행렬, PP를 γ′\gamma'좌표를 γ\gamma좌표로 변환하는 행렬이라 할 때, 다음이 성립한다.
[T]β′γ′=P−1[T]βγQ[T]_{\beta'}^{\gamma'} = \bold{P}^{-1}[T]_\beta^\gamma \bold{Q}

참조

•
Made with