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데코수학/ 벡터미적분학/ 다변수 벡터함수의 미분 (야코비행렬, 역함수정리)

(유튜브 동영상인데 현재는 삭제되어서 내용만 남김)

개념

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F⃗(x1,x2,...,xn)=(F1(x1,x2,...,xn),F2(x1,x2,...,xn),...Fn(x1,x2,...,xn))\vec{F}(x_{1}, x_{2}, ... , x_{n}) = (F_{1}(x_{1}, x_{2}, ... , x_{n}), F_{2}(x_{1}, x_{2}, ... , x_{n}), ... F_{n}(x_{1}, x_{2}, ... , x_{n}))
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dF⃗=(dF1,dF2,...,dFm)d \vec{F} = (dF_{1}, dF_{2}, ... , dF_{m})
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=(dF1dF2...dFm)= \left( \begin{array}{r} dF_{1} \\ dF_{2} \\ ... \\ dF_{m} \end{array} \right)(벡터가 행렬계산에 쓰일 때는 열벡터로 표기한다.)
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=(a11dx1+a12dx2+...+a1ndxna21dx1+a22dx2+...+a2ndxn...am1dx1+am2dx2+...+amndxn)= \left( \begin{array}{r} a_{11} dx_{1} + a_{12} dx_{2} + ... + a_{1n} dx_{n} \\ a_{21} dx_{1} + a_{22} dx_{2} + ... + a_{2n} dx_{n} \\ ... \\ a_{m1} dx_{1} + a_{m2} dx_{2} + ... + a_{mn} dx_{n} \end{array} \right)
◦
=(a11a12...a1na21a22...a2n...am1am2...amn)(dx1dx2...dxn)= \left( \begin{array}{rrrr} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... \\ a_{m1} & a_{m2}& ... & a_{mn} \end{array} \right) \left( \begin{array}{r} dx_{1} \\ dx_{2} \\ ... \\ dx_{n} \end{array} \right)
◦
=JF⃗⋅dx⃗= J_{\vec{F}} \cdot d \vec{x}
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(JF⃗J_{\vec{F}}은 야코비 행렬이라 부른다)
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벡터장을 미분하는 것은 야코비 행렬을 구하는 것
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(JF⃗)ij:=∂Fi∂xj(J_{\vec{F}})_{ij} := {\partial F_{i} \over \partial x_{j}}
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T⃗:p⃗\vec{T} : \vec{p} 에서 미분 가능
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⇔T⃗(x⃗)=T⃗(p⃗)+JT⃗∣p⃗(x⃗−p⃗)+S⃗(x⃗)∥x⃗−p⃗∥\Leftrightarrow \vec{T}(\vec{x}) = \vec{T}(\vec{p}) + J_{\vec{T}} |_{\vec{p}} (\vec{x} - \vec{p}) + \vec{S}(\vec{x}) \|\vec{x} - \vec{p}\|
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lim⁡x⃗→p⃗S⃗(x⃗)=0⃗\lim_{\vec{x} \to \vec{p}} \vec{S}(\vec{x}) = \vec{0}
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F⃗:Rn→Rm,G⃗:Rm→Rk\vec{F} : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{m}, \vec{G} : \mathbb{R}^{m} \to \mathbb{R}^{k} 이고 각각 미분 가능하면
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⇒JG⃗∘F⃗∣x⃗=JG⃗∣F⃗(x⃗)⋅JF⃗∣x⃗\Rightarrow J_{\vec{G} \circ \vec{F}} |_{\vec{x}} = J_{\vec{G}} |_{\vec{F}(\vec{x})} \cdot J_{\vec{F}} |_{\vec{x}}
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(JG⃗∘F⃗)ij=∂(G⃗∘F⃗)i∂xj=∂Gi(F⃗(x⃗))∂xj(J_{\vec{G} \circ \vec{F}})_{ij} = {\partial(\vec{G} \circ \vec{F})_{i} \over \partial x_{j}} = {\partial G_{i}(\vec{F}(\vec{x})) \over \partial x_{j}}
◦
=∂Gi∂F1∂F1∂xj+∂Gi∂F2∂F2∂xj+...+∂Gi∂Fm∂Fm∂xj= {\partial G_{i} \over \partial F_{1}} {\partial F_{1} \over \partial x_{j}} + {\partial G_{i} \over \partial F_{2}} {\partial F_{2} \over \partial x_{j}} + ... + {\partial G_{i} \over \partial F_{m}} {\partial F_{m} \over \partial x_{j}} (∵ 연쇄법칙)
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=∑l=1m∂Gi∂Fl∂Fl∂xj= \sum_{l = 1}^{m} {\partial G_{i} \over \partial F_{l}} {\partial F_{l} \over \partial x_{j}}
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=∑l=1m(JG⃗∣F⃗)il(JF⃗)lj= \sum_{l = 1}^{m} (J_{\vec{G}} |_{\vec{F}})_{il} (J_{\vec{F}})_{lj}
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=(JG⃗∣F⃗⋅JF⃗)ij= (J_{\vec{G}} |_{\vec{F}} \cdot J_{\vec{F}})_{ij}
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역함수 미분법 (일변수 실함수)
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f(x)f(x) : 미분 가능, ∀x,dfdx≠0⇒∃f−1:R→R\forall x, {df \over dx} \neq 0 \Rightarrow \exists f^{-1} : \mathbb{R} \to \mathbb{R}
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f(x)f(x) : 미분 가능, f−1f^{-1}가 존재 ⇒ddtf−1(t)=1(ddxf(x)∣f(x)=t)\Rightarrow {d \over dt} f^{-1}(t) = {1 \over ({d \over dx} f(x) |_{f(x) = t})}
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f(x)=x2f(x) = x^{2}과 같은 함수는 역함수가 존재하지 않지만 dfdx≠0{df \over dx} \neq 0 인 점에서는 국소적으로 역함수가 존재한다.
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F⃗(x⃗)\vec{F}(\vec{x})의 역함수 F⃗−1(x⃗)\vec{F}^{-1}(\vec{x})가 존재하고 이것들이 미분 가능하면
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JF⃗−1=(JF⃗)−1J_{\vec{F}^{-1}} = (J_{\vec{F}})^{-1}이다.
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