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김영길/ 선형대수학/ inverse matrix, change of coordinate matrix, elementary row operation

Invertible = one-to-one and onto

1.
(TU)1=T1U1(TU)^{-1} = T^{-1}U^{-1}
2.
(T1)1=T(T^{-1})^{-1} = T
3.
선형변환 T:VWT : V \to W 이고 dim(V)=dim(W)<dim(V) = dim(W) < \infty 일 때
TT가 invertible rank(T)=dim(V),nullity(T)=0\Leftrightarrow rank(T) = dim(V), nullity(T) = 0
TT는 단사함수이고 전사함수여야 한다. (전단사 함수)

Thm 2.17

invertible한 선형변환 T:VWT : V \to W
T1:WVT^{-1} : W \to V
T1T^{-1} 또한 선형이다.
Def. 행렬에서의 invertibility
행렬 AA가 invertible 하면
B,AB=BA=I\exists B, AB = BA = I
B=A1B = A^{-1}은 unique하다.

Thm 2.18

선형변환 T:VWT : V \to W, β\betaVV 의 기저, γ\gammaWW의 기저일 때
TT가 invertible [T]βγ\Leftrightarrow [T]_{\beta}^{\gamma}가 invertible
[T1]γβ=([T]βγ)1[T^{-1}]_{\gamma}^{\beta} = ([T]_{\beta}^{\gamma})^{-1}
(선형변환 TT가 invertible하면 그것의 행렬표현 또한 invertible하고, TT의 역행렬의 행렬표현은 TT의 행렬표현의 역행렬과 같다.)

isomorphic

벡터공간 V,WV, W에 대하여
VVWW에 대해 선형변환 T:VWT : V \to W가 존재하고, 그것이 invertible 하면 isomorphic하다고 한다.
VWV \cong W

Thm 2.19

FF를 원소로 하는 유한차원 벡터공간 V,WV, W에 대하여
VWdim(V)=dim(W)V \cong W \Leftrightarrow dim(V) = dim(W)
(VVWW가 isomorphic하면 그 VV WW의 차원이 같다)
즉, 구조적으로 nn차원 벡터공간은 FnF^{n} 밖에 없음

2.5 Change of coordinate matrix(좌표변환 행렬)

2x24xy+5y2=12x^{2} - 4xy + 5y^{2} = 1 이라는 타원의 방정식에 대해 다음과 같이 x,yx', y' 을 잡아 좌표변환을 해주면
x=25x15yx = {2 \over \sqrt{5}}x' - {1 \over \sqrt{5}}y'
y=15x+25yy = {1 \over \sqrt{5}}x' + {2 \over \sqrt{5}}y'
위의 타원 방정식을 다음과 같이 간단하게 표현할 수 있다.
(x)2+6(y)2=1(x')^{2} + 6(y')^{2} = 1

좌표변환행렬 Q=[I]ββQ = [I]_{\beta'}^{\beta}

Q=[I]ββQ = [I]_{\beta'}^{\beta} (좌표변환 행렬은 보통 QQ로 표시)
[v]β=[Iv]β=[I]ββ[v]β=Q[v]β[v]_{\beta} = [Iv]_{\beta} \\ = [I]_{\beta'}^{\beta} [v]_{\beta'} \\ = Q[v]_{\beta'}
QQ는 항상 invertible 하다. (II가 항상 invetible하기 때문)
Ex 1)
β={(1,1),(1,1)}\beta = \{ (1, 1), (1, -1) \}
β={(2,4),(3,1)}\beta' = \{ (2, 4), (3, 1) \}
[(2,4)]β=[10][(2,4)]_{\beta'} = \left[ \begin{array}{rr} 1 \\ 0 \end{array} \right]
(2,4)=3(1,1)1(1,1)(2, 4) = 3(1,1) - 1(1, -1)
(3,1)=2(1,1)+1(1,1)(3, 1) = 2(1, 1) + 1(1, -1)
Q=[I]ββ=[3211]Q = [I]_{\beta}^{\beta} = \left[ \begin{array}{rr} 3 & 2 \\ -1 & 1 \end{array} \right]
선형변환 T:VVT : V \to V에 대해 TT를 특별히 linear operator라고 한다.
(자기 자신으로 가는 선형변환)
Thm 2.23)
선형변환 T:VVT : V \to V에 대해
[T]β=Q1[T]βQ[T]_{\beta'} = Q^{-1}[T]_{\beta}Q
증명)
Q[T]β=[I]ββ[T]ββ=[IT]ββ=[TI]ββ=[T]ββ[I]ββ=[T]βQQ[T]_{\beta'} = [I]_{\beta'}^{\beta} [T]_{\beta'}^{\beta} = [IT]_{\beta'}^{\beta} = [TI]_{\beta'}^{\beta} = [T]_{\beta}^{\beta}[I]_{\beta'}^{\beta} = [T]_{\beta}Q
Ex 2) 생략 (교재로 대체)

Similar

정사각행렬 A,BMn×n(F)A, B \in M_{n \times n}(F)에 대하여 BBAA에 대해 similar하다는 것은
Q,B=Q1AQ\exists Q, B = Q^{-1}AQ
similar하다는 것은 같은 linear transform에서 파생된 것이라는 것

3.1 Elementary matrix operation

Def. Elementary row operation
Type 1) row를 바꿔준다.
Type 2) row에 0이 아닌 scalar를 곱해준다.
Type 3) scalar를 곱해준 row를 다른 row에 더해준다.
(Elementary column operation도 있는데 거의 안 쓴다)

n×nn \times n elementary matrix

elementary matrix란 InI_{n}에 elementary row operation(또는 elementary column operation)을 단 1번 적용한 행렬
Ex)
E=[010100001],[102010001]E = \left[ \begin{array}{rrr} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right], \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right]
왼쪽의 행렬은 1행과 2행을 맞바꾼 것이고 오른쪽 행렬은 마지막 행에 -2를 곱한 후에 첫 번째 행에 더한 것
elemantary 행렬은 어떤 행렬의 왼쪽에 곱해줄 수 있다.
만일 위 예제의 왼쪽 행렬을 어떤 행렬의 왼쪽에 곱해주면, 곱해주는 행렬의 1행과 2행을 바꾸는 결과를 만들 수 있다.
만일 위 예제의 오른쪽 행렬을 어떤 행렬의 왼쪽에 곱해주면, 곱해주는 행렬의 1행에 마지막 행의 -2를 곱한 것을 더한 결과를 만들 수 있다.
(elementary 행렬을 적절히 곱해줌으로해서 행렬을 내가 원하는대로 조정할 수 있다)