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데코수학/ 벡터미적분학/ 벡터의 점곱

(유튜브 동영상인데 현재는 삭제되어서 내용만 남김)

개념

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벡터의 점곱(Dot Product) - 좌표적 정의
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u⃗⋅v⃗=(u1⋅v1+u2⋅v2+u3⋅v3+...+un⋅vn)\vec{u} \cdot \vec{v} = (u_{1} \cdot v_{1} + u_{2} \cdot v_{2} + u_{3} \cdot v_{3} + ... + u_{n} \cdot v_{n})
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두 벡터 사이의 ⋅ 곱은 스칼라가 된다.
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벡터의 점곱(Dot Product) - 다른 정의
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u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥∥v⃗∥cos⁡θ\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \|\vec{v}\|\cos \theta
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∥u⃗∥\|\vec{u}\|는 벡터의 크기
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θ\theta는 u⃗\vec{u}와 v⃗\vec{v}의 사이각
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위 2가지 곱의 결과는 동치다
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벡터의 크기 (norm)
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∥u⃗∥\|\vec{u}\|
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=(u12+u22+...+un2)= \sqrt{(u_{1}^{2} + u_{2}^{2} + ... + u_{n}^{2})}
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=(u1⋅u1+u2⋅u2+...+un⋅un)= \sqrt{(u_{1} \cdot u_{1} + u_{2} \cdot u_{2} + ... + u_{n} \cdot u_{n})}
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=u⃗⋅u⃗= \sqrt{\vec{u} \cdot \vec{u}}
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벡터의 크기는 각 항의 제곱을 더한 후 제곱근을 취하는 것
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각 항을 제곱한 후 더한 것은 벡터의 Dot Product가 된다. 벡터의 크기는 벡터의 Dot Product를 한 후 제곱근을 취한 것
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벡터간 거리
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∥u⃗−v⃗∥\|\vec{u}-\vec{v}\|
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단위벡터 u^=u⃗∥u⃗∥\hat{u} = \frac{\vec{u}}{\|\vec{u}\|}
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단위벡터란 벡터 A의 길이가 1이 되도록 축소한 것을 의미. (정규화 normalization이라고도 한다)
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벡터를 벡터의 크기로 나눈 값
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projv⃗u⃗=∥u⃗∥⋅cos⁡θv^proj_{\vec{v}} \vec{u} = \|\vec{u}\| \cdot \cos \theta \hat{v}
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(v⃗\vec{v}에 대한 u⃗\vec{u}의 프로젝션을 projv⃗u⃗proj_{\vec{v}} \vec{u}이라 표기하고 그 값은 ∥u⃗∥⋅cos⁡θv^\|\vec{u}\| \cdot \cos \theta \hat{v}이 된다.)
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n차원 벡터는 n개의 방향이 서로 다른 벡터들의 합으로 나타낼 수 있다.
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u⃗=(3,4,5),x⃗=(1,0,0),y⃗=(0,1,0),z⃗=(0,0,1)\vec{u} = (3, 4, 5), \vec{x} = (1, 0, 0), \vec{y} = (0, 1, 0), \vec{z} = (0, 0, 1)이라고 할 때
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u⃗=3x⃗+4y⃗+5z⃗\vec{u} = 3\vec{x} + 4\vec{y} + 5\vec{z}와 같은식으로 나타낼 수 있음
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이때의 x, y, z를 각각 x^,y^,z^\hat{x}, \hat{y}, \hat{z}라고 표시한다.
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단위벡터는 좌표축들과 각도를 알면 (cos⁡θ1,cos⁡θ2,...,cos⁡θn)(\cos \theta_{1}, \cos \theta_{2}, ... , \cos \theta_{n})으로 나타낼 수 있다.

벡터식

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a⃗⋅b⃗=b⃗⋅a⃗\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}
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(α⋅a⃗)⋅b⃗=α⋅(a⃗⋅b⃗)(\alpha \cdot \vec{a}) \cdot \vec{b} = \alpha \cdot (\vec{a} \cdot \vec{b})
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a⃗⋅(b⃗+c⃗)=(a⃗⋅b⃗)+(a⃗⋅c⃗)\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{b}) + (\vec{a} \cdot \vec{c})
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a⃗⋅b⃗≥0⃗\vec{a} \cdot \vec{b} \ge \vec{0}
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∥α⋅a⃗∥=∣α∣⋅a⃗\|\alpha \cdot \vec{a}\| = |\alpha|\cdot \vec{a}
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∥a⃗∥2=(a⃗)2\|\vec{a}\|^{2} = (\vec{a})^{2}
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∥a⃗−b⃗∥2=(a⃗)2+(b⃗)2−2a⃗⋅b⃗\|\vec{a}-\vec{b}\|^{2} = (\vec{a})^{2} + (\vec{b})^{2} - 2 \vec{a} \cdot \vec{b}
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a⃗⋅b⃗=0⃗⇔a⃗⊥b⃗(a⃗,b⃗≠0⃗)\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{0} \Leftrightarrow \vec{a} \perp \vec{b} (\vec{a}, \vec{b} \neq \vec{0})
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⊥\perp: 수직
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a⃗⋅b⃗≤∥a⃗∥⋅∥b⃗∥\vec{a} \cdot \vec{b} \le \|\vec{a}\| \cdot \|\vec{b}\|
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∥a⃗+b⃗∥≤∥a⃗∥+∥b⃗∥\|\vec{a} + \vec{b}\| \le \|\vec{a}\| + \|\vec{b}\|
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