Search
Duplicate

김영길/ 선형대수학/ diagonalizability, eigenvector

Thm 5.3

•
A∈Mn×nA \in M_{n \times n} 일 때
◦
AA의 특성 다항식은 최고차항의 계수가 (−1)n(-1)^{n}인 nn차 다항식이다.
◦
AA 는 최대 nn개의 서로 다른 eigenvalue를 갖는다.
▪
(nn차이기 때문. 아예 없을 수도 있다.)

Thm 5.4

•
VV가 선형변환 TT의 eigenvector이고 λ\lambda가 eigenvalue일 때
◦
v≠0v \neq 0이고 v∈N(T−λI)v \in N(T - \lambda I)이다.
▪
(N(T)N(T)는 널공간)
•
증명)
◦
T(v)=λv=λIv(v≠0)T(v) = \lambda v = \lambda Iv (v \neq 0)
◦
⇔(T−λI)v=0(v≠0)\Leftrightarrow (T - \lambda I)v = 0 (v \neq 0)
◦
⇔v∈N(T−λI)(v≠0)\Leftrightarrow v \in N (T - \lambda I) (v \neq 0)
•
(eigenvalue를 이용해서 eigenvector를 구하는 예제 생략)
•
Ax=λxAx = \lambda x이므로 (A−λI)x=0(A - \lambda I)x = 0을 이용하여 eigenvector를 구한다.
•
β\beta가 eigenvector의 a basis consisting이라 할 때 β\beta를 QQ 의 컬럼으로 쓰면
◦
QD=AQ⇔D=Q−1AQQD = AQ \Leftrightarrow D = Q^{-1}AQ
◦
Ex)
▪
Q=[112−2]Q = \left[ \begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 2 & -2 \end{array} \right]
▪
D=Q−1AQ=[300−1]=[λ100λ2]D = Q^{-1}AQ = \left[ \begin{array}{rr} 3 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rr} \lambda_{1} & 0 \\ 0 & \lambda_{2} \end{array} \right]

Decoupling by eigen-decomposition

•
D=Q−1AQ=[300−1]=[λ100λ2]D = Q^{-1}AQ = \left[ \begin{array}{rr} 3 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rr} \lambda_{1} & 0 \\ 0 & \lambda_{2} \end{array} \right]
•
[300−1][y1y2]=[3y1−y2]\left[ \begin{array}{rr} 3 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{rr} y_{1} \\ y_{2} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rr} 3y_{1} \\ -y_{2} \end{array} \right]
•
1st 컴포넌트의 output은 오로지 1st 컴포넌트의 input에 의해 결정된다.
◦
(eigenvalue와 eigenvector를 이용하면 임의의 시스템을 decoupling 할 수 있다는 것)
•
(선형변환에서 eigenvalue가 주어졌을 때, eigenvector 구하는 예제 생략)

Diagonalizability

•
Thm 5.1에서 TT가 diagonalizable (T:V→VT : V \to V)
◦
⇔T\Leftrightarrow T의 eigenvector의 ordered basis consisting가 존재한다.
◦
(TT가 대각화 가능하다는 것은 decoupling 가능하다는 것이 된다)
•
Question)
◦
eigenvector들을 찾았는데 이것이 basis가 되는가? 즉, dim(V)dim(V)개를 찾았는가? 찾은 eigenvector들은 선형독립인가?

Thm 5.5

•
선형변환 T:V→VT : V \to V에 대하여
◦
λ1,λ2,...,λk\lambda_{1}, \lambda_{2}, ... , \lambda_{k}가 TT의 distinct eigenvalue일 때
◦
v1,v2,...,vkv_{1}, v_{2}, ... , v_{k}가 TT 의 eigenvector이면, {v1,v2,...,vk}\{ v_{1}, v_{2}, ... , v_{k} \}는 선형독립이다.
▪
λi\lambda_{i}는 viv_{i}와 correspond (i=1,2,...,ki = 1, 2, ... , k)
•
증명)
◦
k=1k = 1을 가정하고
◦
v1v_{1}이 v≠0v \neq 0이고 eigenvector일 때 {v1}\{ v_{1} \}는 선형독립
◦
Thm 5.5가 k−1k - 1개의 distinct eigenvalue에 대해 성립한다고 가정
▪
a1v1+a2v2+...+akvk=0a_{1} v_{1} + a_{2} v_{2} + ... + a_{k} v_{k} = 0이라고 가정
◦
T−λkIT - \lambda_{k} I를 양변에 적용
▪
a1(T−λkI)v1+a2(T−λkI)v2+...+ak(T−λkI)vk=0a_{1}(T - \lambda_{k} I) v_{1} + a_{2} (T - \lambda_{k} I) v_{2} + ... + a_{k} (T - \lambda_{k} I) v_{k} = 0
▪
a1(λ1−λk)v1+a2(λ2−λk)v2+...+ak(λk−λk)vk=0a_{1}(\lambda_{1} - \lambda_{k}) v_{1} + a_{2} (\lambda_{2} - \lambda_{k}) v_{2} + ... + a_{k} (\lambda_{k} - \lambda_{k}) v_{k} = 0
◦
Induction hypothesis에 의해
▪
a1(λ1−λk)=a2(λ2−λk)=...=ak−1(λk−1−λk)=0a_{1}(\lambda_{1} - \lambda_{k}) = a_{2} (\lambda_{2} - \lambda_{k}) = ... = a_{k-1} (\lambda_{k-1} - \lambda_{k}) = 0
▪
λ1,λ2,...,λk\lambda_{1}, \lambda_{2}, ... , \lambda_{k}가 distinct이므로
▪
a1=a2=...=ak−1=0a_{1} = a_{2} = ... = a_{k-1} = 0
▪
따라서 akvk=0a_{k} v_{k} = 0, vkv_{k}는 nonzero vector, ak=0a_{k} = 0
▪
그러므로 독립이다.
•
(nn차원 선형변환 TT에서 nn개의 eigenvalue가 존재하고 서로 다르면 그때의 eigenvector끼리는 선형독립이 보장되고 선형변환 TT는 대각화 가능. TT의 eigenvalue가 nn개가 안되면 복잡하다고 함)
Made with