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데코수학/ 집합론/ 무한 집합

(유튜브 동영상인데 현재는 삭제되어서 내용만 남김)

1

개념

•
어떤 것의 수를 세는 것은 전단사 함수를 찾는 것과 같다.
◦
자연수 집합에서 어떤 것에 해당하는 집합에 대응되는 것을 찾는 것.
•
A∼B⇔∃f=A→BA \sim B \Leftrightarrow \exists f = A \to B
◦
∼\sim 기호는 두 집합이 대등하다는 의미
◦
AA에서 BB로 가는 어떤 전단사 함수가 존재한다
•
N∼Ne\mathbb{N} \sim \mathbb{N}_{e} (자연수 집합과 짝수 집합은 대등하다)
◦
Ne\mathbb{N}_{e}는 짝수 집합 (홀수는 No\mathbb{N}_{o})
◦
짝수는 자연수의 완전 부분집합이지만 무한 집합이기 때문에 가능한 특징
◦
같은 식으로 (0,1)∼R(0, 1) \sim \mathbb{R}도 성립
▪
추이율에 의하여 모든 개구간은 실수와 대등
•
(데데킨트의 정의) XX : 무한집합 ⇔Y⊂X,X∼Y\Leftrightarrow Y \subset X, X \sim Y
◦
YY가 XX에 부분집합인데, XX와 YY가 대등하면 XX는 무한집합이다.
◦
XX : 유한집합 ⇔ XX : 무한집합이 아님
•
XX : 무한 ⇔ ∃\exists단사 f:X→X,f(x)≠Xf : X \to X, f(x) \neq X
•
XX : 무한, X⊆Y⇒YX \subseteq Y \Rightarrow Y : 무한

집합식

•
X∼XX \sim X
•
X∼Y⇒Y∼XX \sim Y \Rightarrow Y \sim X
•
X∼Y∧Y∼Z⇒X∼ZX \sim Y \wedge Y \sim Z \Rightarrow X \sim Z
•
∃f:X∼Y,∃g:Y∼Z\exists f : X \sim Y, \exists g : Y \sim Z 일 때
◦
g∘f:X→Zg \circ f : X \to Z
•
X∼A,Y∼BX \sim A, Y \sim B 일때
◦
X∪Y∼A∪B(X∩Y,A∩B=∅)X \cup Y \sim A \cup B (X \cap Y, A \cap B = \emptyset)

2

개념

•
XX : 무한, X∼Y⇒YX \sim Y \Rightarrow Y : 무한
◦
XX : 유한, X∼Y⇒YX \sim Y \Rightarrow Y : 유한
•
XX : 무한, x0∈X⇒X∖{x0}x_{0} \in X \Rightarrow X \setminus \{ x_{0} \}: 무한
•
Nk\mathbb{N}_{k} : 유한(Nk={1,2,...,k}\mathbb{N}_{k} = \{ 1, 2, ... , k \}
•
XX : 유한 ⇔X∼∅∨X∼Nk(Nk={1,2,...,k})\Leftrightarrow X \sim \emptyset \vee X \sim \mathbb{N}_{k} (\mathbb{N}_{k} = \{ 1, 2, ..., k \})
◦
XX가 유한집합이면 공집합과 대등하거나 어떤 kk까지 자연수 집합과 대등하다.
•
X×Y∼Y×XX \times Y \sim Y \times X
◦
XX 카테시안 곱 YY는 YY 카테시안 곱 XX와 대등하다.
•
X,YX, Y : 유한일 때,
◦
X∪YX \cup Y : 유한
◦
X×YX \times Y : 유한
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