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이상엽/ 선형대수학/ 선형사상

선형사상

선형사상

•
사상이란 대수구조를 다루는 함수.
◦
엄밀히 말하면 함수보다 더 포괄적인 개념이지만, 둘이 흡사하기 때문에 혼용해서 사용함.
•
선형사상이란 가산성(additivity)과 동차성(homogeneity)을 만족하는 사상

정의

FF-벡터공간 V,WV, W에 대하여 VV의 성질을 보존하는 다음 두 조건을 만족하는 사상 L:V→WL : V \to W
•
L(u+v)=L(u)+L(v)(u,v∈V)L(u+v) = L(u) + L(v) (u, v \in V)
◦
가산성
•
L(kv)=kL(v)(k∈F,v∈V)L(kv) = kL(v) (k \in F, v \in V)
◦
동차성
•
LL은 선형사상이기 때문에 사용하는 기호로, LL이 붙어 있으면 선형 사상이라고 보면 된다.

관련 용어

L:V→WL : V \to W가 선형사상일 때
•
핵 (kernel): kerL=L−1(0⃗)={v∈V∣L(v)=0⃗}ker L = L^{-1}(\vec{0}) = \{ v \in V | L(v) = \vec{0} \}
◦
일종의 공역 개념
•
상 (image): imL=L(V)={L(v)∈W∣v∈V}im L = L(V) = \{ L(v) \in W | v \in V \}
◦
일종의 치역 개념
•
자기사상: V=WV = W인 LL
•
단사사상: L(u)=L(v)⇒u=vL(u) = L(v) \Rightarrow u = v인 LL
•
전사사상: L(V)=WL(V) = W인 LL
•
동형사상: 단사사상인 전사사상
•
자기동형사상: 자기사상인 동형사상
•
항등사상: L(v)=vL(v) = v 인 L(=Iv)L(=I_{v})
•
사상의 합성: 두 선형사상 L1:V→U,L2:U→WL_{1} : V \to U, L_{2} : U \to W의 합성은 L2∘L1:V→WL_{2} \circ L_{1} : V \to W로 쓴다.
•
역사상
◦
L2∘L1=IvL_{2} \circ L_{1} = I_{v}일 때, L2L_{2}를 L1L_{1}의 왼쪽 역사상, L1L_{1}을 L2L_{2}의 오른쪽 역사상이라 한다.
◦
왼쪽 역사상이자 오른쪽 역사상을 양쪽 역사상 또는 역사상이라 한다.

여러 선형사상

L:V→WL : V \to W가 선형사상이고 v∈Vv \in V일 때
•
L(v)=0⃗L(v) = \vec{0}: 영사상
•
L(v)=vL(v) = v : 항등사상
•
L(v)=kvL(v) = kv (단, k는 스칼라)
•
L(v)=Mv(T)L(v) = Mv^{(T)} (단, M∈Mm×n(F),V=Fn,W=FmM \in \mathcal{M}_{m \times n}(F), V = F^{n}, W = F^{m})
•
L(v)=<v,v0>L(v) = <v, v_{0}> (단, v0∈Vv_{0} \in V)

선형대수학의 기본정리

FF-벡터공간 V,WV, W에 대하여 VV에서 WW로의 선형사상의 집합을 L(V,W)\mathcal{L}(V, W)라 하고, 다음과 같이 L(V,W)\mathcal{L}(V, W) 위에 합과 스칼라배를 정의한다. (v∈V,k∈F)(v \in V, k \in F)
•
(L1+L2)(v)=L1(v)+L2(v)(L_{1} + L_{2})(v) = L_{1}(v) + L_{2}(v)
•
(kL)(v)=kL(v)(kL)(v) = kL(v)
이제 FF 위의 m×nm \times n 행렬들의 집합을 Mm×n(F)\mathcal{M}_{m \times n}(F)라 하고, 두 사상 f,gf, g를 다음과 같이 정의한다.
•
f:L(V,W)→Mm×n(F)f : \mathcal{L}(V, W) \to \mathcal{M}_{m \times n}(F)
◦
f(L)=[L]BWBV=Mf(L) = [L]_{B_{W}}^{B_{V}} = M
◦
선형사상에서 행렬로 가는 사상
•
g:Mm×n(F)→L(V,W)g : \mathcal{M}_{m \times n}(F) \to \mathcal{L}(V, W)
◦
g(M)=LM([LM(v)]BW=M[v]Bv)g(M) = L_{M} ([L_{M}(v)]_{B_{W}} = M[v]_{B_{v}})
◦
행렬에서 선형사상으로 가는 사상
•
[기호 설명]
•
BVB_{V}는 VV의 BWB_{W}는 WW의 순서기저, 즉, 기저의 원소들은 순서가 정해져있고 바뀌지 않는다.
◦
ex) V=R3⇒Bv={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}V = \mathbb{R}^{3} \Rightarrow B_{v} = \{ (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) \}
◦
이때 BvB_{v}가 VV의 순서기저가 된다.
•
v∈V,v=k1v1+k2v2+...+knvnv \in V, v = k_{1} v_{1} + k_{2} v_{2} + ... + k_{n} v_{n}에 대해 [v]BV=(k1,k2,...,kn)T[v]_{B_{V}} = (k_{1}, k_{2}, ... , k_{n})^{T}
◦
ex) v∈V,v=3v1+v2+2v3⇒(3,2,1)T⇒[v]Bvv \in V, v = 3v_{1} + v_{2} + 2v_{3} \Rightarrow (3, 2, 1)^{T} \Rightarrow [v]_{B_{v}}
◦
쉽게 말해 선형결합의 계수들을 모아 열벡터로 만든 것이다.
•
[L]BWBV=([L(v1)]BW,[L(v2)]BW,...,[L(vn)]BW)[L]_{B_{W}}^{B_{V}} = ([L(v_{1})]_{B_{W}}, [L(v_{2})]_{B_{W}}, ... , [L(v_{n})]_{B_{W}})
◦
ex) L:R2→R3,L(v)=(112233)⋅v,Bw={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}L : \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}^{3}, L(v) = \left( \begin{array}{rrr} 1 & 1 \\ 2 & 2 \\ 3 & 3 \end{array} \right) \cdot v, B_{w} = \{ (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) \}
◦
v1=(1,1)∈R2,v2=(2,2)∈R2,v3=(3,3)∈R2v_{1} = (1, 1) \in \mathbb{R}^{2}, v_{2} = (2, 2) \in \mathbb{R}^{2}, v_{3} = (3, 3) \in \mathbb{R}^{2}
◦
L(v1)=(112233)⋅(11)⇒[L(v1)]Bw=(246)∈R3L(v_{1}) = \left( \begin{array}{rrr} 1 & 1 \\ 2 & 2 \\ 3 & 3 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{rr} 1 \\ 1 \end{array} \right) \Rightarrow [L(v_{1})]_{B_{w}} = \left( \begin{array}{rrr} 2 \\ 4 \\ 6 \end{array} \right) \in \mathbb{R}^{3}
◦
L(v2)=(112233)⋅(22)⇒[L(v2)]Bw=(4812)∈R3L(v_{2}) = \left( \begin{array}{rrr} 1 & 1 \\ 2 & 2 \\ 3 & 3 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{rr} 2 \\ 2 \end{array} \right) \Rightarrow [L(v_{2})]_{B_{w}} = \left( \begin{array}{rrr} 4 \\ 8 \\ 12 \end{array} \right) \in \mathbb{R}^{3}
◦
L(v3)=(112233)⋅(33)⇒[L(v3)]Bw=(61218)∈R3L(v_{3}) = \left( \begin{array}{rrr} 1 & 1 \\ 2 & 2 \\ 3 & 3 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{rr} 3 \\ 3 \end{array} \right) \Rightarrow [L(v_{3})]_{B_{w}} = \left( \begin{array}{rrr} 6 \\ 12 \\ 18 \end{array} \right) \in \mathbb{R}^{3}
◦
⇒[L]BwBv=(246481261218)=M∈M3×3\Rightarrow [L]_{B_{w}}^{B_{v}} = \left( \begin{array}{rrr} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 8 & 12 \\ 6 & 12 & 18 \end{array} \right) = M \in \mathcal{M}_{3 \times 3}
그러면 ff와 gg는 모두 동형사상이다. 또한 두 사상 ff와 gg는 서로 역사상 관계이다.
•
선형사상에서 행렬로 가는 사상과, 행렬에서 선형사상으로 가는 것이 동형사상이므로, 선형사상에 대해서는 그냥 행렬을 이용하면 된다.

위에 대한 증명)

선형사상에서 행렬로 가는 ff에 대해서

•
선형사상 증명
◦
가산성 증명
▪
∀i∈{1,2,...,n},∀L1,L2∈L(V,W)\forall i \in \{ 1, 2, ... , n \}, \forall L_{1}, L_{2} \in \mathcal{L}(V, W)
▪
(L1+L2)(vi)=L1(vi)+L2(vi)(∵definition)(L_{1} + L_{2}) (v_{i}) = L_{1}(v_{i}) + L_{2}(v_{i}) (\because definition)
▪
[(L1+L2)(vi)]Bw=[L1(vi)]Bw+[L2(vi)]Bw[(L_{1} + L_{2}) (v_{i})]_{B_{w}} = [L_{1}(v_{i})]_{B_{w}} + [L_{2}(v_{i})]_{B_{w}}
▪
⇔[L1+L2]BwBv=[L1]BwBv+[L2]BwBv\Leftrightarrow [L_{1} + L_{2}]_{B_{w}}^{B_{v}} = [L_{1}]_{B_{w}}^{B_{v}} + [L_{2}]_{B_{w}}^{B_{v}}
▪
∴f(L1+L2)=f(L1)+f(L2)\therefore f(L_{1} + L_{2}) = f(L_{1}) + f(L_{2})
◦
동차성 증명
▪
∀k∈F,∀i∈{1,2,...,n}\forall k \in F, \forall i \in \{ 1, 2, ... , n \}
▪
[(kL)(vi)]Bw=k⋅[L(vi)]Bw[(kL)(v_{i})]_{B_{w}} = k \cdot [L(v_{i})]_{B_{w}}
▪
⇒[kL]BwBv=k⋅[L]BwBv\Rightarrow [kL]_{B_{w}}^{B_{v}} = k \cdot [L]_{B_{w}}^{B_{v}}
▪
∴f(kL)=k⋅f(L)\therefore f(kL) = k \cdot f(L)
•
동형사상 증명
◦
단사사상 증명
▪
∀L1,L2∈L(V,W),f(L1)=f(L2)\forall L_{1}, L_{2} \in \mathcal{L}(V, W), f(L_{1}) = f(L_{2})
▪
⇔[L1(vi)]Bw=[L2(vi)]Bw(∀i∈1,2,...,n)\Leftrightarrow [L_{1}(v_{i})]_{B_{w}} = [L_{2}(v_{i})]_{B_{w}} (\forall i \in {1, 2, ... , n})
▪
⇔L1(vi)=L2(vi)\Leftrightarrow L_{1}(v_{i}) = L_{2}(v_{i})
▪
한편, ∀v∈V,∃k1,k2,...kn∈F\forall v \in V, \exists k_{1}, k_{2}, ... k_{n} \in F
▪
s.t) v=k1v1+...+knvn=∑i=1nkivi(∵{v1,...,vn}=Bv)v = k_{1} v_{1} + ... + k_{n} v_{n} = \sum_{i=1}^{n} k_{i} v_{i} (\because \{ v_{1}, ... , v_{n} \} = B_{v})
▪
∴L1(vi)=L2(vi)\therefore L_{1}(v_{i}) = L_{2}(v_{i})
▪
⇒∑i=1nkiL1(vi)= ∑i=1nkiL2(vi)\Rightarrow \sum_{i=1}^{n} k_{i} L_{1} (v_{i}) = \sum_{i=1}^{n} k_{i} L_{2} (v_{i})
▪
⇒∑i=1nL1(kivi)=∑i=1nL2(kivi)\Rightarrow \sum_{i=1}^{n} L_{1} (k_{i} v_{i}) = \sum_{i=1}^{n} L_{2} (k_{i} v_{i})
▪
⇒L1(k1v1)+...+L1(knvn)=L2(k1v1)+...+L2(knvn)\Rightarrow L_{1} (k_{1} v_{1}) + ... + L_{1} (k_{n} v_{n}) = L_{2} (k_{1} v_{1}) + ... + L_{2} (k_{n} v_{n})
▪
⇒L1(k1v1+...+knvn)=L2(k1v1+...+knvn)\Rightarrow L_{1} (k_{1} v_{1} + ... + k_{n} v_{n}) = L_{2} (k_{1} v_{1} + ... + k_{n} v_{n})
▪
⇒L1(v)=L2(v)\Rightarrow L_{1}(v) = L_{2}(v)
▪
∴L1=L2\therefore L_{1} = L_{2}
◦
전사사상 증명
▪
∀M∈Mm×n(F)\forall M \in \mathcal{M}_{m \times n}(F)
▪
[M]i:=M[M]^{i} := M의 ii번째 열
▪
이제 [L(vi)]Bw:=[M]i[L(v_{i})]_{B_{w}} := [M]^{i}
▪
surely, [L]BwBv=M[L]_{B_{w}}^{B_{v}} = M
▪
∴f(L)=M\therefore f(L) = M
•
위의 증명에 따라 선형사상에 적용되는 것은 모두 행렬에 대해 적용 가능

사상 gg에 대해서

•
선형사상 증명
◦
가산성 증명
▪
∀M1,M2∈Mm×n(F),∀v∈V\forall M_{1}, M_{2} \in \mathcal{M}_{m \times n}(F), \forall v \in V
▪
[LM1+M2(v)]BW=(M1+M2)[v]BV[L_{M_{1} +M_{2}}(v)]_{B_{W}} = (M_{1} + M_{2})[v]_{B_{V}}
▪
=M1[v]BV+M2[v]BV= M_{1}[v]_{B_{V}} + M_{2}[v]_{B_{V}}
▪
=[LM1(v)]BV+[LM2(v)]BV= [L_{M_{1}}(v)]_{B_{V}} + [L_{M_{2}}(v)]_{B_{V}}
▪
∴LM1+M2=LM1+LM2\therefore L_{M_{1} +M_{2}} = L_{M_{1}} + L_{M_{2}}
▪
즉, g(M1+M2)=g(M1)+g(M2)g(M_{1} + M_{2}) = g(M_{1}) + g(M_{2})
◦
동차성 증명
▪
∀k∈F,∀M∈Mm×n(F)\forall k \in F, \forall M \in \mathcal{M}_{m \times n}(F)
▪
[Lkm(v)]BW=(kM)[v]BW[L_{km}(v)]_{B_{W}} = (kM)[v]_{B_{W}}
▪
=k⋅M[v]BW= k \cdot M [v]_{B_{W}}
▪
=k[LM(v)]BW= k [L_{M}(v)]_{B_{W}}
▪
∴g(kM)=k⋅g(M)\therefore g(kM) = k \cdot g(M)
•
동형사상 증명
◦
단사사상 증명
▪
g(M1)=g(M2)g(M_{1}) = g(M_{2})
▪
⇒[LM1(v)]BW=[LM2(v)]BW\Rightarrow [L_{M_{1}}(v)]_{B_{W}} = [L_{M_{2}}(v)]_{B_{W}}
▪
⇒M1[v]BW=M2[v]BW\Rightarrow M_{1}[v]_{B_{W}} = M_{2}[v]_{B_{W}}
▪
⇒[M1]i=[M2]i,(∀i)\Rightarrow [M_{1}]^{i} = [M_{2}]^{i}, (\forall i)
▪
⇒M1=M2\Rightarrow M_{1} = M_{2}
◦
전사사상 증명
▪
∀L∈L(V,W),M:=([L(V1)]BW[L(Vi)]BW)\forall L \in \mathcal{L}(V, W), M := ([L(V_{1})]_{B_{W}} [L(V_{i})]_{B_{W}})
▪
Then, [LM(v)]BW=[M]i[L_{M}(v)]_{B_{W}} = [M]^{i}
▪
=[L(vi)]BW(∀i)= [L(v_{i})]_{B_{W}} (\forall i)
▪
g(M)=LM=Lg(M) = L_{M} = L

ff와 gg는 역사상 관계

•
∀L∈L(V,W),∀v∈V\forall L \in \mathcal{L} (V, W), \forall v \in V
◦
(g∘f)(L)=g(f(L))=g(M)=LM=L(g \circ f) (L) = g(f(L)) = g(M) = L_{M} = L
◦
∴g∘f\therefore g \circ f는 항등사상
•
∀M∈Mm×n(F)\forall M \in \mathcal{M}_{m \times n} (F)
◦
(f∘g)(M)=f(g(M))=f(LM)=f(L)=M(f \circ g) (M) = f(g(M)) = f(L_{M}) = f(L) = M
◦
∴f∘g\therefore f \circ g는 항등사상
•
고로 ff 와 gg는 역사상 관계

차원정리

차원정리

유한차원 벡터공간 VV와 선형사상 L:V→WL : V \to W에 대하여 다음이 성립한다.
dim(V)=dim(kerL)+dim(imL)dim(V) = dim(ker L) + dim(im L)
•
증명)
◦
Bv={v1,v2,...,vn}B_{v} = \{ v_{1}, v_{2}, ... , v_{n} \}
◦
kerL⊂Vker L \subset V 이므로
◦
BkerL={v1,v2,...,vk}B_{ker L} = \{ v_{1}, v_{2}, ... , v_{k} \}
◦
목표 BimL={L(vk+1),L(vk+2),...,L(vn)}B_{imL} = \{ L(v_{k+1}), L(v_{k+2}), ... , L(v_{n}) \}
•
생성 증명
◦
∀L(V)∈imL,V=c1v1+c2v2+...+cnvn\forall L(V) \in imL, V = c_{1} v_{1} + c_{2} v_{2} + ... + c_{n} v_{n}
◦
L(v1)+L(v2)+...+L(vk)=0⃗+0⃗+....+0⃗L(v_{1}) + L(v_{2}) + ... + L(v_{k}) = \vec{0} + \vec{0} + .... + \vec{0}
◦
∴L(V)=L(c1v1+c2v2+...+cnvn)\therefore L(V) = L(c_{1} v_{1} + c_{2} v_{2} + ... + c_{n} v_{n})
◦
=L(c1v1)+L(c2v2)+...+L(cnvn)= L(c_{1} v_{1}) + L(c_{2} v_{2}) + ... + L(c_{n} v_{n})
◦
=L(ck+1vk+1)+L(ck+2vk+2)+...+L(cnvn)= L(c_{k+1} v_{k+1}) + L(c_{k+2} v_{k+2}) + ... + L(c_{n} v_{n})
▪
(∵L(v1)+L(v2)+...+L(vk)=0⃗)(\because L(v_{1}) + L(v_{2}) + ... + L(v_{k}) = \vec{0})
◦
=ck+1L(vk+1)+ck+2L(vk+2)+...+cnL(vn)∈imL= c_{k+1}L(v_{k+1}) + c_{k+2}L(v_{k+2}) + ... + c_{n}L(v_{n}) \in imL
◦
span{L(vk+1),L(vk+2),...,L(vn)}=imLspan\{ L(v_{k+1}), L(v_{k+2}), ... , L(v_{n}) \} = imL
•
선형독립 증명
◦
ck+1L(vk+1)+ck+2L(vk+2)+...+cnL(vn)=0⃗c_{k+1}L(v_{k+1}) + c_{k+2}L(v_{k+2}) + ... + c_{n}L(v_{n}) = \vec{0} 라 하자
◦
=L(ck+1vk+1+ck+2vk+2)+...+cnvn)= L(c_{k+1} v_{k+1} + c_{k+2} v_{k+2}) + ... + c_{n} v_{n})
◦
∃c1,c2,...,ck\exists c_{1}, c_{2}, ... , c_{k}
◦
s.t) c1v1+...+ckvk= ck+1vk+1+...+cnvnc_{1} v_{1} + ... + c_{k} v_{k} = c_{k+1} v_{k+1} + ... + c_{n} v_{n}
◦
⇔c1v1+...+ckvk−ck+1vk+1−...−cnvn=0⃗\Leftrightarrow c_{1} v_{1} + ... + c_{k} v_{k} - c_{k+1} v_{k+1} - ... - c_{n} v_{n} = \vec{0}
◦
∴c1=c2=...=cn=0\therefore c_{1} = c_{2} = ... = c_{n} = 0
◦
∴L(vk+1),L(vk+2),...,L(vn)\therefore L(v_{k+1}), L(v_{k+2}), ... , L(v_{n})은 선형독립

비둘기집 원리

따름정리

차원이 같은 두 유한 차원 벡터공간 V,WV, W 사이에 선형사상 LL이 정의되어 있으면 다음이 성립한다.
LL은 전사 ⇔L\Leftrightarrow L 은 단사 ⇔L\Leftrightarrow L 은 전단사
•
증명)
◦
LL이 전사 ⇒L\Rightarrow L 단사
▪
Let) dim(V)=dim(W)=ndim(V) = dim(W) = n
▪
if LL이 전사
•
⇒dim(L(V))=dim(imL)=n\Rightarrow dim(L(V)) = dim(imL) = n
•
⇒dim(kerL)=n−n=0\Rightarrow dim(kerL) = n - n = 0
•
⇔kerL={0⃗∈V}\Leftrightarrow kerL = \{ \vec{0} \in V \}
•
L(v1)=L(v2),∀v1,v2∈VL(v_{1}) = L(v_{2}), \forall v_{1}, v_{2} \in V
•
⇒L(v1)−L(v2)=0⃗\Rightarrow L(v_{1}) - L(v_{2}) = \vec{0}
•
⇒L(v1−v2)=0⃗∈W\Rightarrow L(v_{1} - v_{2}) = \vec{0} \in W
•
⇒v1−v2=0⃗\Rightarrow v_{1} - v_{2} = \vec{0}
•
⇒v1=v2\Rightarrow v_{1} = v_{2}
◦
LL이 단사 ⇒L\Rightarrow L 전사
▪
if LL이 단사
▪
⇒dim(kerL)=0\Rightarrow dim(kerL) = 0
▪
⇒dim(L(V))=n\Rightarrow dim(L(V)) = n
▪
∴L(V)⊂W\therefore L(V) \subset W이면서 dim(L(V))=dimWdim(L(V)) = dim W
▪
따라서 L(V)=W=imLL(V) = W = imL

비둘기집 원리

공집합이 아닌 두 유한집합 A,BA, B의 크기가 서로 같을 때, 함수 f:A→Bf : A \to B는 다음을 만족한다.
ff은 전사 ⇔f\Leftrightarrow f은 단사 ⇔f\Leftrightarrow f은 전단사

계수 정리

관련 용어

행렬 M∈Mm×n(F)M \in \mathcal{M}_{m \times n}(F)에 대하여
•
열공간: MM의 열벡터들로 생성된 공간
•
열계수: 열공간의 차원. col−rankMcol-rank M
•
행공간: MM의 행벡터들로 생성된 공간
•
행계수: 행공간의 차원. row−rankMrow-rank M
•
영공간: 연립방정식 MX=0MX = 0의 해공간
•
nullityM:Mnullity M : M의 영공간 차원
예)
•
M=(31210−1)∈M2×3(R)M = \left( \begin{array}{rrr} 3 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & -1 \end{array} \right) \in \mathcal{M}_{2 \times 3}(\mathbb{R})
◦
열공간
▪
span{(3,1),(1,0),(2,−1)}=R2span\{(3, 1), (1, 0), (2, -1)\} = \mathbb{R}^{2}
▪
col−rankM:dim(R2)=2col-rank M: dim(\mathbb{R}^{2}) = 2
◦
행공간
▪
span{(3,1,2),(1,0,−1)}=span{(1,0,−1),(0,1,5)}={(k,m,−k+5m)∣k,m∈R}span\{(3, 1, 2), (1, 0, -1)\} = span\{ (1, 0, -1), (0, 1, 5) \} \\ = \{ (k, m, -k+5m) | k, m \in \mathbb{R} \}
▪
row−rankM=2row-rank M = 2
◦
영공간
▪
MX=0⇔(31210−1)(xyz)=(000)MX = 0 \Leftrightarrow \left( \begin{array}{rrr} 3 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & -1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrr} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rrr} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right)
▪
⇔{3x+y+2z=0x−z=0\Leftrightarrow \begin{cases} 3x + y + 2z = 0 \\ x - z = 0 \end{cases}
▪
⇔{z=tx=ty=−5t\Leftrightarrow \begin{cases} z = t \\ x = t \\ y = -5t \end{cases}
▪
∴(xyz)=t(1−51)\therefore \left( \begin{array}{rrr} x \\ y \\ z \end{array} \right) = t \left( \begin{array}{rrr} 1 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right)
▪
nullityM=1nullity M = 1

계수정리

계수정리

행렬 M∈Mm×n(F)M \in \mathcal{M}_{m \times n}(F)에 대하여 다음이 성립한다.
col−rankM=row−rankMcol-rank M = row-rank M
이때 행렬 행렬 MM에 대하여의 행공간 및 열공간의 공통차원을 MM의 계수 rankMrank M이라 한다.
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증명) 행렬 AA를 MM의 기약행사다리꼴 행렬이라 하자
◦
{col−rankM=col−rankArow−ranM=row−rankA\begin{cases} col-rank M = col-rank A \\ row-ran M = row-rank A \end{cases}
◦
col−rankAcol-rank A : 선도 1을 포함하는 열의 개수 = 선도 1의 개수
◦
row−rankArow-rank A : 선도 1을 포함하는 행의 개수 = 선도 1의 개수
◦
∴col−rankM=col−rankA=row−rankA=row−rankM\therefore col-rank M = col-rank A = row-rank A = row-rank M

Rank-Nullity 정리

행렬 M∈Mm×n(F)M \in \mathcal{M}_{m \times n}(F)에 대하여 다음이 성립한다.
n=rankM+nullityMn = rank M + nullity M
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증명) 행렬 AA를 MM의 기약행사다리꼴 행렬이라 하자
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rankM=r(≤n)rank M = r (\leq n)라 하면
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⇒A의 선도 1의 개수=r\Rightarrow A \text{의 선도 1의 개수} = r
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MX=0⇒자유변수 개수=n−rMX = 0 \Rightarrow \text{자유변수 개수} = n - r
◦
nullityM=n−rnullity M = n - r
◦
즉, rankM+nullityM=r+(n−r)=nrank M + nullity M = r + (n - r) = n
Rank-Nullity를 선형사상으로 변환하면 다음과 같다.
•
{n=dim(V)rankM=dim(imL)nullityM=dim(kerL)\begin{cases} n = dim(V) \\ rank M = dim(imL) \\ nullity M = dim(kerL) \end{cases}
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∴dim(V)=dim(imL)+dim(kerL)\therefore dim(V) = dim(imL) + dim(kerL)
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