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김영길/ 선형대수학/ Eigen decomposition

Corollary

•
nn개의 차원을 가진 선형변환 T:V→VT : V \to V에 대하여
◦
만일 TT가 nn개의 distinct eigenvalue를 갖고 있다면, TT 는 대각화가능하다.
◦
eigenvector를 볼 필요도 없다.
•
Ex 1)
◦
A=[1111]A = \left[ \begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} \right]
◦
det(A−tI)=det[1−t111−t]=t(t−2)det(A - tI) = det \left[ \begin{array}{rr} 1 - t & 1 \\ 1 & 1 - t \end{array} \right] = t(t-2)
◦
t(t−2)t(t-2)는 AA 의 특성다항식이므로 eigenvalue는 0,10, 1이 된다.
◦
AA는 2×22 \times 2 행렬이었기 때문에, AA 는 대각화 가능하다.

Thm 5.5의 역은 성립하지 않는다.

•
TT가 대각화 가능하다 ⇏n\nRightarrow n개의 distinct eigenvalues
•
Ex)
◦
A=[1001]A = \left[ \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right]
◦
이때 AA의 eigenvalue는 1개 뿐이다.
▪
Ax=λxAx = \lambda x
◦
하지만 AA는 항상 대각화가능하다.

Split

•
Split이란 주어진 다항식을 1차 다항식으로 쪼개는 것을 말한다.
•
t2−1=(t+1)(t−1)t^{2} -1 = (t+1)(t-1)이 되므로 t2−1t^{2} - 1는 RR에서 split 가능하다.
•
(t2+1)(t−2)(t^{2}+1)(t-2)는 RR에서 split 가능하지 않지만 CC에서는 split 가능하다.
◦
(t−i)(t+i)(t−2)(t - i)(t+i)(t-2)
•
nn개의 distinct eigenvalue가 있으면 대각화 가능하고 f(t)f(t)는 RR에서 split 가능하다.
◦
하지만 일반적으로 역은 성립하지 않는다.
•
결국 특성다항식에 중근이 생길 때는 대각화 가능 한지 판단이 어렵다. 즉 중근이 있을 때 대각화가능한지 판별하려면 eigenvector를 모두 구해보는 방법 밖에 없다.
(Ex 2. 생략 - 행렬이 대각화 가능한지 판별하는 문제 - 교재로 대체)
•
중근이 되는 eigenvalue의 경우에 몇 개의 eigenvector를 구할 수 있는가?
◦
Algebraic multiplicity(대수적 중복도) 만큼의 eigenvector만 나오면 대각화 가능

Def

•
선형변환 T:V→VT : V \to V에 대하여
◦
λ\lambda가 TT의 eigenvalue일 때
◦
Eigenspace는 λ\lambda에 상응한다.
▪
Eλ={x∈V∣T(x)=λx}=N(T−λI)E_{\lambda} = \{ x \in V | T(x) = \lambda x \} = N(T - \lambda I)
▪
EλE_{\lambda}는 Eigenspace를 의미한다
▪
Eigenspace는 T(x)=λxT(x) = \lambda x가 되는 xx를 모아 놓은 집합
▪
T−λIT - \lambda I의 널공간이 Eigenspace가 된다.
▪
Eigenvector는 결국 Eigenspace의 기저이다.

Thm 5.7

•
선형변환 T:V→VT : V \to V에 대하여
◦
λ\lambda가 대수적 중복도 mm을 갖는 선형변환 TT의 eigenvalue일 때
▪
1≤dim⁡(Eλ)≤m1 \leq \dim(E_{\lambda}) \leq m
▪
Eigenspace의 차원(=Eigenvector의 개수)은 11과 mm 사이에 존재한다.
▪
이때 dim(Eλ)dim(E_{\lambda})는 λ\lambda의 geometric multiplicity(기하적 중복도)라고 한다
▪
geometric multiplicity가 algebraic multiplicity와 같으면 행렬은 대각화 가능하다. geometric multiplicity가 algebraic multiplicity보다 작으면 대각화 불가능
(algebraic multiplicity와 geometric multiplicity를 이용해서 행렬의 대각화 가능 판별 여부 구하는 예제 생략 - 교재 참조)

TT의 대각화가능 조건

•
f(t)f(t)가 FF 에서 split 가능해야 하고
•
모든 λ\lambda에 대해 nullity(T−λI)nullity(T - \lambda I)가 algebraic multiplicity이고 geometric multiplicity 일 때
•
TT는 대각화 가능하다.
(예제 생략 - 교재 참조)
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