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이상엽/ 해석학/ 실수체계

자연수

자연수로부터 실수체계를 단계적으로 구성 가능하다는 것을 바이어슈트라스, 데데킨트가 증명 함

페아노 공리계

자연수는 다음의 다섯 가지 공리로 이루어진 페아노 공리계를 만족하는 수체계이다.
1.
1N1 \in \mathbb{N}
2.
nNnNn \in \mathbb{N} \Rightarrow n' \in \mathbb{N}
3.
nN,1n\forall n \in \mathbb{N}, 1 \neq n'
1은 자연수의 최소원소
4.
mN,nmn=m\forall m \in \mathbb{N}, n' \neq m' \Rightarrow n = m
자연수의 순서 구조가 순환하는 것을 방지하기 위한 공리
만일 1 다음이 2, 2 다음이 3, 3 다음이 4, 4 다음이 2라는 집합이 있다면 1의 다음수와 4의 다음수가 같아져 버리는 경우가 발생. 그래서 다음 수가 같다면 두 수는 같다고 정의가 필요.
5.
1S(nS,nS)NS1 \in S \wedge (\forall n \in S, n' \in S) \Rightarrow \mathbb{N} \subseteq S
집합 내에 1이 존재하고 집합 내 모든 원소가 다음 수를 갖는 집합은 자연수 집합을 포함한다.
1S(nS,nS)1 \in S \wedge (\forall n \in S, n' \in S)을 만족하는 집합을 계승집합이라고 한다.
자연수 집합은 가장 작은 계승집합이다.
'1'과 '그 다음 수'는 무정의 용어이다. (primitive notion, 더는 정의를 할 수 없는 근본 원리)
Thm. [수학적 귀납법]
n=n+1n' = n + 1이라 정의할 때, 명제 P(n)P(n)에 대하여 두 조건
1.
P(1)P(1)이 참
2.
P(n)P(n)이 참 P(n+1)P(n+1)이 참
이 성립하면 P(n)P(n)은 모든 자연수 nn에 대하여 참이다.
(수학적 귀납법의 이론적 근거가 페아노 공리계의 5번째 공리)

자연수의 성질

1.
정렬성
자연수집합 N\mathbb{N}의 공집합이 아닌 부분집합은 항상 최소원소를 갖는다.
2.
자연수 집합 N\mathbb{N}은 위로 유계가 아니다.
3.
아르키메데스 성질
ϵ>0,nNs.t.1n<ϵ\forall \epsilon > 0, \exists n \in \mathbb{N} s.t. {1 \over n} < \epsilon
어떤 양수든 그보다 더 작은 유리수가 적어도 1개 존재한다
정리란 참인 명제
성질은 정리로부터 자연스럽게 파생되는 것들
법칙은 연산의 규칙

유리수와 무리수

바빌로니아인들이 유리수를 사용했다는 증거가 있음
무리수는 기원전 500년경 등장

집합의 구성

1.
정수 집합
Z=(N){0}N\mathbb{Z} = (-\mathbb{N}) \cup \{ 0 \} \cup \mathbb{N}
2.
유리수 집합
Q={mnm,nZ,n0}\mathbb{Q} = \{ {m \over n} | m, n \in \mathbb{Z}, n \neq 0 \}
3.
무리수 집합
I=RQ\mathbb{I} = \mathbb{R} - \mathbb{Q}
(위는 간략한 표현일 뿐 엄밀한 정의는 아님)

조밀성

Thm 1. [유리수의 조밀성]
a,bR,a<brQ:a<r<b\forall a, b \in \mathbb{R}, a < b \Rightarrow \exists r \in \mathbb{Q} : a < r < b
어떤 두 실수 사이에도 유리수가 적어도 1개 존재한다.
증명)
case 1) 0<a<b0 < a < b
a<b0<banN(s.t.1n<ba)a < b \Leftrightarrow 0 < b - a \Rightarrow \exists n \in \mathbb{N} (s.t. {1 \over n} < b - a) (아르키메데스 성질)
Let. S={mNm>na}S = \{ m \subseteq \mathbb{N} | m > na \} Then. SS \neq \emptyset (위로 유계 아님 성질)
S(N)\therefore S (\subseteq \mathbb{N})의 최소원소는 mm (정렬성 성질)
m>naa<mnm > na \Leftrightarrow a < {m \over n}
m1Sm1nam1nam - 1 \notin S \Rightarrow m - 1 \leq na \Rightarrow {m - 1 \over n} \leq a
a<mn=m1n+1na+1n<b\therefore a < {m \over n} = {m -1 \over n} + {1 \over n} \leq a + {1 \over n} < b
case 2) a<0<ba < 0 < b
0이 유리수이므로 자명 trivial
case 3) a<b<0a < b < 0
0<b<a\Rightarrow 0 < -b < -a
0<b<a\Rightarrow 0 < -b < -a
rQ(s.t.b<r<a,case1)\therefore r \in \mathbb{Q} (s.t. - b < r < -a, \because case 1)
a<r<b\Rightarrow a < -r < b
Thm 2. [무리수의 조밀성]
a,bR,a<bsI:a<s<b\forall a, b \in \mathbb{R}, a < b \Rightarrow \exists s \in \mathbb{I} : a < s < b
어떤 두 실수 사이에도 무리수가 적어도 1개 존재한다.
증명)
a<ba < b
a+2<b+2\Rightarrow a + \sqrt{2} < b + \sqrt{2}
rQ:a+2<r<b+2\exists r \in \mathbb{Q} : a + \sqrt{2} < r < b + \sqrt{2}
(유리수 조밀성, 어떤 두 실수 사이에도 유리수가 유리수 rr이 존재)
Let. s=r2Is = r - \sqrt{2} \in \mathbb{I}
Then. a+2<r<b+2a<s<ba + \sqrt{2} < r < b + \sqrt{2} \Rightarrow a < s < b

실수

히파소스가 수론적인 접근이 아니라 직각 이등변 삼각형을 이용해서 무리수를 발견하자. 그 전까지는 수론적인 논의가 융성했던 수학 흐름이 기하학으로 넘어감.
그러나 기하적인 수 체계의 정의는 직관에 기댄 것이기 때문에 현대 수학에 이르러 수학적 엄밀성을 위해 실수 체계에 대한 공리가 만들어짐.

체 공리

집합 SSSS에 부여된 두 이항연산 +,+, \cdot가 다음 9개의 공리를 만족하면, 대수구조 (S,+)(S, + \cdot)를 체라 한다.
1.
x,ySx+y=y+xx, y \in S \Rightarrow x + y = y + x
덧셈에 대한 교환법칙
2.
x,y,zSx+(y+z)=(x+y)+zx, y, z \in S \Rightarrow x + (y + z) = (x + y) + z
덧셈에 대한 결합법칙
3.
xS,0S:0+x=x\forall x \in S, \exists 0 \in S : 0 + x = x
덧셈에 대한 항등원
4.
xS,xS:x+(x)=0\forall x \in S, \exists -x \in S : x + (-x) = 0
덧셈에 대한 역원 (연산 결과가 항등원이 나오게 하는 것)
5.
x,ySxy=yxx, y \in S \Rightarrow x \cdot y = y \cdot x
곱셈에 대한 교환법칙
6.
x,y,zSx(yz)=(xy)zx, y, z \in S \Rightarrow x \cdot (y \cdot z) = (x \cdot y) \cdot z
곱셈에 대한 결합법칙
7.
xS,1(0)S:1x=x\forall x \in S, \exists 1(\neq 0) S : 1 \cdot x = x
곱셈에 대한 항등원. 곱셈의 항등원과 덧셈의 항등원이 달라야 하는 것이 공리
8.
x(0)S,x1S:x(x1)=1\forall x (\neq 0) \in S, \exists x^{-1} \in S : x \cdot (x^{-1}) = 1
곱셈에 대한 역원
9.
x,y,zSx(y+z)=xy+xzx, y, z \in S \Rightarrow x \cdot (y + z) = x \cdot y + x \cdot z
덧셈과 곱셈에 대한 분배법칙
(Q,+,)(\mathbb{Q}, +, \cdot)(R,+,)(\mathbb{R}, +, \cdot) &s=2$는 모두 체다. (유리수 체, 실수 체)
체 공리는 실수의 대수적 성질에 대한 것
집합에 연산을 부여한 것을 대수적 구조라고 한다.
이항연산은 집합 내의 원소들에 대해 연산을 한 결과가 집합 내에 존내하는 연산을 의미 --닫혀있는 연산

순서공리

순서 공리

R\mathbb{R}에는 다음 두 조건을 만족하는 공집합이 아닌 부분집합 PP가 존재한다.
1.
x,yP,x+yPxyP\forall x, y \in P, x + y \in P \wedge xy \in P
집합 원소 간 덧셈과 곱셈이 모두 집합 내에 존재. 덧셈과 곱셈에 대해 닫힌 집합
2.
임의의 xRx \in \mathbb{R}에 대하여 다음 중 단 하나만 성립한다.
a.
xPx \in P
b.
x=0x = 0
c.
xP-x \in P
위 조건을 만족하면 PP는 양의 실수 집합이 됨

삼분성질

Def. [부등식의 정의]
임의의 a,bRa, b \in \mathbb{R}에 대하여
1.
abPa>bb<aa - b \in P \Rightarrow a > b \vee b < a
2.
abP{0}abbaa - b \in P \cup \{ 0 \} \Rightarrow a \geq b \vee b \leq a
순서 공리로부터 부등식을 정리함. PP는 양의 실수 집합이기 때문에 위와 같이 됨.
Thm. [삼분성질]
임의의 a,bRa, b \in \mathbb{R}에 대하여 다음 중 단 하나만 성립한다.
1.
a>ba > b
2.
a=ba = b
3.
a<ba < b

완비성 공리

Completeness. 연속성 공리라고도 함. 유리수의 조밀성을 뛰어넘는 실수의 조밀성.

완비성 공리

R\mathbb{R}의 공집합이 아닌 부분집합이 위로 유계이면 그 부분집합은 상한을 갖는다. (완비성 공리를 만족한다는 것은 부분집합의 상한을 원래 집합 내에서 잡을 수 있다는 것)
Def. [상한] 부분순서집합 AA의 부분집합 BB의 상계들의 집합이 최소원소를 가질 때 그 최소원소를 BB의 상한이라 하고 supB\sup B로 나타낸다.
유리수 집합은 완비성 공리를 만족하지 못함

주요 정리

Thm 1. 상한은 유일하다.
Thm 2. sRs \in \mathbb{R}가 집합 SS의 상계일 때 다음 세 명제는 동치이다.
1.
s=supSs = \sup S
2.
ϵ>0,xS:sϵ<xs\forall \epsilon > 0, \exists x \in S : s - \epsilon < x \leq s
3.
ϵ>0,S(sϵ,s]\forall \epsilon > 0, S \cap ( s - \epsilon, s ] \neq \emptyset
Thm 3. Q\mathbb{Q}는 완비성을 갖지 않는다.
완비성 공리로부터 '1. 자연수 > (2) 자연수의 성질 > 2'도 증명 가능하다.

완비성의 예 - 무한소수

위로 유계인 임의의 무한소수 부분집합을 AA라 하자 이제
a0=max{x0x0.x1x2x3...A},a1=max{x1a0.x1x2x3...A},...,ak=max{xka0.a1...ak1xkxk+1...A}a_{0} = max \{ x_{0} | x_{0}. x_{1} x_{2} x_{3} ... \in A \}, \\ a_{1} = max \{ x_{1} | a_{0}. x_{1} x_{2} x_{3} ... \in A \}, \\ ... , \\ a_{k} = max \{ x_{k} | a_{0}. a_{1} ... a_{k-1} x_{k} x_{k+1} ... \in A \}
라 하면, 무한소수 a0.a1a2a3...a_{0}. a_{1} a_{2} a_{3} ...은 집합 AA의 상한이다. 즉, 무한소수의 집합은 완비성 공리를 만족한다.
실수는 완비성, 순서성을 만족하는 체. 완비순서체라고도 한다.