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선형대수/ 랭크, 열공간, 행공간, 널공간

랭크(rank)

•
행렬 A∈Mm×n(F)\bold{A} \in M_{m \times n}(F)에 대해 A\bold{A}의 랭크(rank)는 선형변환 LA:Fn→FmL_\bold{A} : F^n \to F^m의 랭크로 정의하고 rank(A)\text{rank}(\bold{A})라 표기한다. —rank는 range의 차원을 뜻한다.
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n×nn \times n 행렬이 가역이기 위한 필요충분조건은 행렬의 랭크가 n n인 것이다.
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모든 행렬 A\bold{A}는 적절한 표준 순서기저에 대한 선형변환 LAL_\bold{A}의 행렬표현이다. 즉 선형변환 LAL_\bold{A}의 랭크는 그 행렬표현 중 하나인 A\bold{A}의 랭크와 같다.
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유한차원 벡터공간사이에서 정의된 선형변환 T:V→WT : V \to W와 V,WV, W 각각의 순서기저 β,γ\beta, \gamma에 대하여 rank(T)=rank([T]βγ)\text{rank}(T) = \text{rank}([T]_\beta^\gamma)이다.
•
m×nm \times n 행렬 A\bold{A}, m×mm \times m 가역행렬 P\bold{P}, n×nn \times n 가역행렬 Q\bold{Q}에 대해 다음이 성립한다.
1.
rank(AQ)=rank(A)\text{rank}(\bold{AQ}) = \text{rank}(\bold{A})
2.
rank(PA)=rank(A)\text{rank}(\bold{PA}) = \text{rank}(\bold{A})
3.
rank(PAQ)=rank(A)\text{rank}(\bold{PAQ}) = \text{rank}(\bold{A})
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행렬의 기본행연산과 기본열연산은 랭크를 보존한다.
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임의의 행렬의 랭크는 선형독립인 열의 최대 개수와 같다. 행렬의 랭크는 그 열에 의해 생성된 부분공간의 차원이다.
◦
이것은 열이 아니라 행으로 바꾸어도 동일하고, 결과적으로 행렬에서 선형독립인 행과 열은 개수가 같다는 논리로 이어진다. 이것은 행렬의 행 공간(row space)과 열 공간(column space)의 차원이 동일하기 때문이다.
◦
행렬 A\bold{A}의 랭크를 구할 때 A\bold{A}에 적절한 기본행 연산과 기본열 연산을 적용하여 선형독립인 열의 개수를 확실히 구할 수 있도록 만든 뒤 이 정리를 사용하는 경우가 많다.
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랭크가 rr인 m×nm \times n 행렬 A\bold{A}가 있을 때, r≤m,r≤nr \leq m, r \leq n이 성립하고 기본행 연산과 기본열 연산을 유한번 사용하여 A\bold{A}를 다음과 같은 꼴로 바꿀 수 있다.
D=(Ir010203)\bold{D} = \left( \begin{matrix} \bold{I}_r & \bold{0}_1 \\ \bold{0}_2 & \bold{0}_3 \end{matrix} \right)
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이때 i≤ri \leq r이면 Dii=1\bold{D}_{ii}= 1이고 그렇지 않으면 Dij=0D_{ij} = 0이고 01,02,03\bold{0}_1, \bold{0}_2, \bold{0}_3은 영행렬이다.
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랭크가 rr인 m×nm \times n 행렬 A\bold{A}에 대해 다음을 만족하는 m×mm \times m 가역행렬 B\bold{B}와 n×nn \times n 가역행렬 A\bold{A}가 존재한다.
D=(Ir010203)=BAC\bold{D} = \left( \begin{matrix} \bold{I}_r & \bold{0}_1 \\ \bold{0}_2 & \bold{0}_3 \end{matrix} \right) = \bold{BAC}
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m×nm \times n 행렬 A\bold{A}에 대해 다음이 성립한다.
1.
rank(A⊤)=rank(A)\text{rank}(\bold{A}^\top) = \text{rank}(\bold{A})
2.
임의의 행렬의 랭크는 선형독립인 행의 최대 개수와 같다. 행렬의 랭크는 그 행에 의해 생성된 부분공간의 차원이다.
3.
임의의 행렬의 행과 열은 차원이 같은 부분공간을 생성한다. 차우너은 행렬의 랭크와 같다.
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모든 가역행렬은 기본행렬의 곱으로 나타난다.
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유한차원 벡터공간 V,W,ZV, W, Z 사이에 정의된 선형변환 T:V→W,U:W→ZT : V \to W, U : W \to Z와 행렬 곱 AB\bold{AB}를 정의하는 두 행렬 A,B\bold{A}, \bold{B}에 대해 다음이 성립한다.
1.
rank(UT)≤rank(U)\text{rank}(UT) \leq \text{rank}(U)
2.
rank(UT)≤rank(T)\text{rank}(UT) \leq \text{rank}(T)
3.
rank(AB)≤rank(A)\text{rank}(\bold{AB}) \leq \text{rank}(\bold{A})
4.
rank(AB)≤rank(B)\text{rank}(\bold{AB}) \leq \text{rank}(\bold{B})
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행렬의 열벡터 중 서로 독립인 열벡터의 최대 개수를 열랭크(column rank)라 하고, 비슷하게 행벡터 중 독립인 행벡터의 최대 개수를 행랭크(row rank)라고 한다. 행랭크와 열랭크에 대해서는 다음이 성립한다.
column rank(A)=row rank(A)\text{column rank}(\bold{A}) = \text{row rank}(\bold{A})
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행 랭크는 행 개수보다 커질 수 없고, 열랭크는 열 개수보다 커질 수 없기 때문에 행 개수가 mm, 열 개수가 nn인 행렬의 랭크는 행과 열 중 작은 값보다 커질 수 없다.
rank(A)≤min⁡(m,n)\text{rank}(\bold{A}) \leq \min(m, n)
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만일 행렬의 랭크가 행렬의 행 개수나 열 개수 중 작은 값과 같으면 풀랭크(full rank)라고 한다.
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풀랭크라는 것은 행렬의 모든 행이 독립이거나 모든 열이 독립임을 뜻한다.
rank(A)=min⁡(m,n)\text{rank}(\bold{A}) = \min(m, n)
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정사각행렬 A∈Rn×n\bold{A} \in \mathbb{R}^{n \times n}에서 det⁡(A)≠0\det(\bold{A}) \neq 0 이면 풀랭크고, 반대로 정사각행렬이 풀랭크면 행렬식이 0이 아니다.
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행렬의 랭크에 대해 다음의 속성이 존재한다.
◦
A∈Rm×n\bold{A} \in \mathbb{R}^{m \times n}에 대해
▪
rank(A)=rank(A⊤)=rank(A⊤A)=rank(AA⊤)\text{rank}(\bold{A}) = \text{rank}(\bold{A}^\top) = \text{rank}(\bold{A}^\top\bold{A}) = \text{rank}(\bold{A}\bold{A}^\top)
◦
A∈Rm×n,B∈Rn×p\bold{A} \in \mathbb{R}^{m \times n}, \bold{B} \in \mathbb{R}^{n \times p}에 대해
▪
rank(AB)≤min⁡(rank(A),rank(B))\text{rank}(\bold{A}\bold{B}) \leq \min(\text{rank}(\bold{A}), \text{rank}(\bold{B}))
◦
A,B∈Rm×n\bold{A}, \bold{B} \in \mathbb{R}^{m \times n}에 대해
▪
rank(A+B)≤rank(A)+rank(B)\text{rank}(\bold{A}+\bold{B}) \leq \text{rank}(\bold{A})+ \text{rank}(\bold{B})
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m×nm \times n 행렬 A\bold{A}와 0이 아닌 스칼라 cc에 대하여 rank(cA)=rank(A)\text{rank}(c\bold{A}) = \text{rank}(\bold{A})가 성립한다.

열공간(Column space)

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행렬 A∈Mm×n(F)\bold{A} \in M_{m \times n}(F)에 대하여 A\bold{A}의 열벡터들의 선형 결합으로 생성될 수 있는 집합을 열공간(Column space)이라 하고 다음과 같이 정의 된다.
C(A)={Ax∣x∈{Rn,Cn}}C(\bold{A}) = \{\bold{Ax} | \bold{x}\in \{\mathbb{R}^n, \mathbb{C}^n\}\}
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A\bold{A}의 열공간의 기저는 피봇(pivot) 열이 된다.

행공간(Row space)

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행렬 A∈Mm×n(F)\bold{A} \in M_{m \times n}(F)에 대하여 A\bold{A}의 행벡터들의 선형 결합으로 생성될 수 있는 집합을 행공간(Row space)이라 한다. 행공간은 A\bold{A}의 전치의 열공간으로 표현 가능하다.
R(A)=C(A⊤)R(\bold{A}) = C(\bold{A}^\top)
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A\bold{A}의 행공간의 기저는 행 사다리꼴 행렬에서의 피봇(pivot) 행이 된다.

영공간(Null space)

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행렬 A∈Mm×n(F)\bold{A} \in M_{m \times n}(F)에 대하여 영 벡터로 대응되는 모든 벡터 x\bold{x}들로 이루어진 집합을 영공간(Null space) 또는 커널(kernel)라 하고 다음처럼 정의한다.
N(A)={x∈{Rn,Cn}∣Ax=0}N(\bold{A}) = \{ \bold{x} \in \{\mathbb{R}^n, \mathbb{C}^n\} | \bold{Ax} = \bold{0}\}
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영공간의 기저는 Ax=0\bold{Ax} = \bold{0}의 해 집합에서 나온다.

참조

•
Made with