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데코수학/ 벡터미적분학/ 다변수 실함수의 다중적분 (푸비니 정리)

(유튜브 동영상인데 현재는 삭제되어서 내용만 남김)

개념

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다변수 실함수의 리만적분
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f(x⃗)f(\vec{x})가 유계인 영역 Ω(≤Rn)\Omega(\leq \mathbb{R}^{n})에서 리만적분 가능 ⇔Ω\Leftrightarrow \Omega 를 P1,P2,...,PnP_{1}, P_{2}, ... , P_{n}인 영역으로 분할한 뒤, 각각의 영역에서 점 t⃗1,t⃗2,...,t⃗n\vec{t}_{1}, \vec{t}_{2}, ... , \vec{t}_{n} 을 뽑았을 때, ∑i=1nf(t⃗i)⋅\sum_{i=1}^{n} f(\vec{t}_{i}) \cdot (영역 PiP_{i} 의 크기) 이 값이 분할 방법과 뽑는 방법에 상관없이 항상 같은 값으로 수렴한다.
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Ω\Omega: 적분영역, 항상 같은 값으로 수렴하는 그 값을 ∫Ωf(x⃗)dx1dx2∧...∧dxn\int_{\Omega} f(\vec{x}) dx_{1} dx_{2} \land ... \land dx_{n} 라고 표기
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다중적분의 성질
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Ω=Ω1∪Ω2(Ω1∩Ω2=∅)\Omega = \Omega_{1} \cup \Omega_{2} (\Omega_{1} \cap \Omega_{2} = \emptyset)
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⇒∫Ωf(x⃗)dx1∧...∧dxn=∫Ω1f(x⃗)dx1∧...∧dxn+∫Ω2f(x⃗)dx1∧...∧dxn\Rightarrow \int_{\Omega} f(\vec{x}) dx_{1} \land ... \land dx_{n} = \int_{\Omega_{1}} f(\vec{x}) dx_{1} \land ... \land dx_{n} + \int_{\Omega_{2}} f(\vec{x}) dx_{1} \land ... \land dx_{n}
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∫Ωαf(x⃗)dx1∧...∧dxn=α∫Ωf(x⃗)dx1∧...∧dxn\int_{\Omega} \alpha f(\vec{x}) dx_{1} \land ... \land dx_{n} = \alpha \int_{\Omega} f(\vec{x}) dx_{1} \land ... \land dx_{n}
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∫Ωf(x⃗)+g(x⃗)dx1∧...∧dxn=∫Ωf(x⃗)dx1∧...∧dxn+∫Ωg(x⃗)dx1∧...∧dxn\int_{\Omega} f(\vec{x}) + g(\vec{x}) dx_{1} \land ... \land dx_{n} = \int_{\Omega} f(\vec{x}) dx_{1} \land ... \land dx_{n} + \int_{\Omega} g(\vec{x}) dx_{1} \land ... \land dx_{n}
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f(x⃗)≤g(x⃗)(x⃗∈Ω)f(\vec{x}) \leq g(\vec{x}) (\vec{x} \in \Omega)
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⇒∫Ωf(x⃗)dx1∧...∧dxn≤∫Ωg(x⃗)dx1∧...∧dxn\Rightarrow \int_{\Omega} f(\vec{x}) dx_{1} \land ... \land dx_{n} \leq \int_{\Omega} g(\vec{x}) dx_{1} \land ... \land dx_{n}
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푸비니 정리
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영역 Ω(≤Rn)\Omega(\leq \mathbb{R}^{n})가 x=a,x=b,y=g2(x),y=g1(x)x = a, x= b, y = g_{2}(x), y = g_{1}(x) 들로 둘러 쌓여 있을 경우
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∫Ωf(x,y)dx∧dy=∫ab(∫g1(x)g2(x)f(x,y)dy)dx\int_{\Omega} f(x, y) dx \land dy = \int_{a}^{b} (\int_{g_{1}(x)}^{g_{2}(x)} f(x, y) dy) dx
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다변수 실함수 다중적분의 기하학적 의미
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Ω\Omega가 nn차원 영역일 때, ∫Ωf(x⃗)dx1∧...∧dxn\int_{\Omega} f(\vec{x}) dx_{1} \land ... \land dx_{n}의 의미는
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Ω\Omega를 밑면으로 ff를 높이로 하는 n+1n + 1차원의 부피를 의미한다.
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