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김영길/ 선형대수학/ determinant, Cramer’s rule, diagonalization, eigenvalue

Type 2 operation

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행렬 BB가 행렬 AA의 어떤 행에 non-zero인 kk를 곱해준 행렬이라고 할 때
◦
det(B)=k⋅det(A)det(B) = k \cdot det(A)
◦
(Type 2 연산을 한 경우 곱해준 상수만큼 det가 변한다)
•
det(kA)=kndet(A)det(kA) = k^{n} det(A)
◦
(행렬에 상수를 곱해준 결과의 determinant는 행렬의 det에 knk^{n}을 곱한 것과 같다. row가 nn 개 이기 때문)

Determinant of upper triangular matrix

•
A=[123045006]A = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 6 \end{array} \right] 일 때
◦
det(A)=24det(A) = 24 이것은 대각 원소들의 곱이면서 pivot들의 곱과 같다.
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(계산하는 예제 생략 - upper triangular matrix로 변환하면서 type1 연산을 1회 해줬기 때문에 최종 det값에 -를 곱해주는 것에 주의)
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(cofactor보다 row operation이 determinant를 구하는게 훨씬 쉽다)

4.3 Properties of determinant

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E=[103001010]E = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right] 인 경우
◦
단위 행렬의 row exchange matrix이므로 det(E)=−1det(E) = -1
◦
(Type 1 연산을 하면 det에 −1-1이 곱해진다.)
•
E=[100020001]E = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right] 인 경우
◦
단위 행렬에 한 행에 22를 곱해준 matrix이므로 det(E)=2det(E) = 2
◦
(Type 2 연산을 하면 det에 kk가 곱해진다.)
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E=[100310001]E = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right] 인 경우
◦
단위 행렬의 한 행을 곱해서 다른 행에 더해준 matrix이므로 det(E)=1det(E) = 1
◦
(Type 3 연산은 det에 변화가 없다.)

Thm 4.7 det(AB)=det(A)det(B)det(AB) = det(A) det(B)

•
행렬 A:n×nA: n \times n 일 때
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rank(A)=nrank(A) = n이면 (full rank일 때)
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⇔A:invertible\Leftrightarrow A : invertible
◦
⇔A\Leftrightarrow A는 elementary matrix들의 곱이 된다.
▪
(elementary matrixs는 단위행렬에 elementary row operation을 1회 적용해 준 행렬)
◦
⇔A\Leftrightarrow A는 nonsingular
▪
(nonsingular란 정칙행렬 또는 가역행렬. AA가 정칙행렬이면 AA−1=A−1A=IAA^{-1} = A^{-1}A = I 가 성립한다.)
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⇔det(A)≠0\Leftrightarrow det(A) \neq 0
◦
det(A)det(A−1)=det(I)=1det(A) det(A^{-1}) = det(I) = 1
◦
det(A)=det(At)det(A) = det(A^{t})

Thm 4.9 Cramer's rule

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Ax=bAx = b 일 때
◦
det(A)≠0det(A) \neq 0 이면
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xk=det(Mk)det(A)x_{k} = {det(M_{k}) \over det(A)}
◦
MkM_{k}는 AA의 kk -th column을 BB로 치환한 행렬
•
Ex 1)
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[12310111−1][x1x2x3]=[231]\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{rrr} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rrr} 2 \\ 3 \\ 1 \end{array} \right]
◦
x1=det(M1)det(A)=∣22330111−1∣det(A)x_{1} = {det(M_{1}) \over det(A)} = {\left| \begin{array}{rrr} 2 & 2 & 3 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{array} \right| \over det(A)}
◦
x2=det(M2)det(A)=∣12313111−1∣det(A)x_{2} = {det(M_{2}) \over det(A)} = {\left| \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{array} \right| \over det(A)}
◦
x3=det(M3)det(A)=∣122103111∣det(A)x_{3} = {det(M_{3}) \over det(A)} = {\left| \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right| \over det(A)}
◦
(Cramer's rule은 제약조건도 많고, determinant를 구하는 것도 번거롭고 나눗셈도 해줘야 하기 때문에 유용하지는 않음)

A:3×3A: 3 \times 3 matrix

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∣det(A)∣|det(A)|의 의미는 평행 6면체의 부피가 된다.
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a1=(1,−2,1)a_{1} = (1, -2, 1)
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a2=(1,0,−1)a_{2} = (1, 0, -1)
◦
a3=(1,1,1)a_{3} = (1, 1, 1)
◦
∣det[1−2110−1111]∣=6\left| det \left[ \begin{array}{rrr} 1 & -2 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right] \right| = 6

Diagonalization (대각화)

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Question 1
◦
선형변환 TT 가 있을 때 [T]β[T]_{\beta}를 대각행렬로 만드는 순서기저 β\beta를 찾을 수 있는가?
◦
(대각행렬이란 정사각행렬에서 주대각선을 제외한 나머지 원소가 모두 0인 행렬)
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Question 2
◦
그러한 기저를 찾을 수 있다면 어떻게 찾을 수 있는가?
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(위 조건의 순서기저를 찾을 수 있다면, 그 순서기저를 eigen-basis라 한다)

β={v1,v2,...,vn}\beta = \{ v_{1}, v_{2}, ... , v_{n} \}

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[T]β=[λ1λ2...λn][T]_{\beta} = \left[ \begin{array}{rrrr} \lambda_{1} & & & \\ & \lambda_{2} & & \\ & & ... & \\ & & & \lambda_{n} \end{array} \right]
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T(vj)=0v1+0v2+...+λjvj+...+0vn=λjvjT(v_{j}) = 0 v_{1} + 0 v_{2} + ... + \lambda_{j} v_{j} + ... + 0 v_{n} = \lambda_{j} v_{j}
◦
(T(vj)=λjvjT(v_{j}) = \lambda_{j} v_{j}가 된다는 것은 input을 넣어도 방향이 바뀌지 않는다는 것.)
◦
(이때의 vjv_{j}가 eigen-vector가 되고, 이때의 λj\lambda_{j}가 eigen-value가 된다. 그리고 이 eigen-vector들을 모은 β\beta는 eigen-basis가 된다.)

5.1 Eigenvalues and Eigenvector

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T:V→VT : V \to V 일 때,
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[T]β[T]_{\beta}가 대각행렬이 되게 하는 순서기저 β\beta가 존재하면 TT가 대각화가 가능하다고 한다.
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(T(vj)=λjvjT(v_{j}) = \lambda_{j} v_{j}가 되는 non-zero vector vjv_{j}가 nn개 만큼 존재해야 한다.)
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