Search
Duplicate

이상엽/ 해석학/ 집합론 복습

집합

•
현대 수학은 공리 --약속된 명제-- 들로부터 논리를 쌓아가는 학문.
•
수학의 가장 기본이 되는 공리계인 ZFC가 10개의 집합에 대해 서술하고 있음.
•
대부분의 수학적 대상은 모두 집합으로 정의가 됨.
◦
사칙연산은 함수의 일종이고 함수는 집합으로 정의가 됨.

정의

다음 성질들을 만족시키는 원소 xx들의 모임을 집합이라 한다. (아래는 소박한 정의, 현대적 정의는 공리계가 따로 있음)
1.
집합에 속하거나 속하지 않거나 둘 중 하나로써 명확하다.
2.
원소들끼리는 서로 다르다.
3.
원소들끼리는 순서에 따른 구분이 없으며, 연산이 주어지지 않는다.
•
xx가 집합 XX의 원소이면 x∈Xx \in X로 표현하고 원소가 아니면 x∉Xx \notin X로 표현한다.
•
집합 UU의 원소 중에서 명제 PP를 만족시키는 원소로 이루어진 집합 XX를 조건제시법으로 X={x∈U∣P(x)}X = \{ x \in U | P(x) \}라 표현하며, 이때 UU를 전체집합이라 한다.
•
공집합은 아무런 원소를 가지지 않는 집합이며, 기호로 ∅\emptyset라 표현한다.

집합의 연산

합집합

집합 I={1,2,...,n}I = \{ 1, 2, ... , n \}에 대하여 집합들 Ai(i∈I)A_{i} (i \in I)의 합집합은 (여기서 ii는 첨수라 하고 그 첨수들 모은 집합인 II를 첨수족이라 한다)
∪i∈IAi={x∣∃i∈Is.t.x∈Ai}\cup_{i \in I} A_{i} = \{ x | \exists i \in I s.t. x \in A_{i} \}
이고 특히 두 집합 AA와 BB의 합집합을
A∪B={x∣x∈A∨x∈B}A \cup B = \{ x | x \in A \vee x \in B \}
라 표현한다.

교집합

집합 I={1,2,...,n}I = \{ 1, 2, ... , n \}에 대하여 집합들 Ai(i∈I)A_{i} (i \in I)의 교집합은
∩i∈IAi={x∣∀i∈Is.t.x∈Ai}\cap_{i \in I} A_{i} = \{ x | \forall i \in I s.t. x \in A_{i} \}
이고 특히 두 집합 AA와 BB의 교집합을
A∩B={x∣x∈A∧x∈B}A \cap B = \{ x | x \in A \wedge x \in B \}
라 표현한다.

곱집합

집합 I={1,2,...,n}I = \{ 1, 2, ... , n \}에 대하여 집합들 Ai(i∈I)A_{i} (i \in I)의 곱집합은 (데카르트곱 또는 카테시안곱이라고 한다. 카테시안은 데카르트의 라틴어 표현)
Πi∈IAi={(xi)i∈I∣∀i∈Is.t.x∈Ai}\Pi_{i \in I} A_{i} = \{ (x_{i})_{i \in I} | \forall i \in I s.t. x \in A_{i} \}
•
여기서 (xi)i∈I(x_{i})_{i \in I}는 튜플이라고 한다. 순서쌍이라고도 하는데 순서쌍은 원소가 2개짜리 튜플을 의미.
•
튜플이란 여러 개 원소를 순서 있게 나열한 것.
이고 특히 두 집합 AA와 BB의 곱집합을
A×B={(x1,x2)∣x1∈A∧x2∈B}A \times B = \{ (x_{1}, x_{2}) | x_{1} \in A \wedge x_{2} \in B \}
라 표현한다.

차집합

집합 AA에 속하지만 집합 BB에는 속하지 않는 원소의 집합을
A−B={x∣x∈A∧x∉B}=A∩BcA - B = \{ x | x \in A \wedge x \notin B \} = A \cap B^{c}
라 표현하며, AA와 BB의 차집합이라 한다.
전체집합 UU에 대하여 U−A=AcU - A = A^{c}라 표현하며 AA의 여집합이라 한다.
•
다음이 성립한다.
◦
드모르간 법칙
▪
(∪i∈IAi)c=∩i∈IAic(\cup_{i \in I} A_{i})^{c} = \cap_{i \in I} A_{i}^{c}
▪
(∩i∈IAi)c=∪i∈IAic(\cap_{i \in I} A_{i})^{c} = \cup_{i \in I} A_{i}^{c}
◦
분배 법칙
▪
A∩(∪i∈IBi)=∪i∈I(A∩B)A \cap (\cup_{i \in I} B_{i}) = \cup_{i \in I} (A \cap B)
▪
A∪(∩i∈IBi)=∩i∈I(A∪B)A \cup (\cap_{i \in I} B_{i}) = \cap_{i \in I} (A \cup B)
▪
A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C)A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C)
▪
A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C)A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C)
▪
A×(B−C)=(A×B)−(A×C)A \times (B - C) = (A \times B) - (A \times C)

포함관계

•
만약 집합 AA에 속하는 모든 원소가 집합 BB의 원소이기도 하면 A⊆BA \subseteq B라 표현하며, AA를 BB의 부분집합이라 한다.
•
만약 A⊆BA \subseteq B이면서 동시에 B⊆AB \subseteq A이면 A=BA = B라 표현하며, AA와 BB가 서로 같다고 한다.
•
만약 A⊆BA \subseteq B이면서 A≠BA \neq B이면 A⊂BA \subset B라 표현하며, AA를 BB의 진부분집합이라 한다.
•
집합 AA의 모든 부분집합들의 집합을 P(A)P(A)라 표현하며 AA의 멱집합이라 한다. (P는 Power Set)
•
집합 기호
◦
N\mathbb{N}: 모든 자연수의 집합
◦
No\mathbb{N}_{o}: 모든 홀수의 집합
◦
Ne\mathbb{N}_{e}: 모든 짝수의 집합
◦
Z\mathbb{Z}: 모든 정수의 집합
◦
Q\mathbb{Q}: 모든 유리수의 집합
◦
I\mathbb{I}: 모든 무리수의 집합
◦
R\mathbb{R}: 모든 실수의 집합
◦
C\mathbb{C}: 모든 복소수의 집합

함수

정의

두 집합 X,YX, Y에 대하여 아래 두 조건을 만족하는 X×YX \times Y의 부분집합 ff를 함수라 한다. (두 집합의 곱집합의 부분집합이 함수가 됨)
•
∀x∈X,∃y∈Y,s.t.(x,y)∈f\forall x \in X, \exists y \in Y, s.t. (x, y) \in f
◦
(모든 xx가 yy값을 갖는다)
•
(x,y1)∈f∧(x,y2)∈f⇒y1=y2(x, y_{1}) \in f \wedge (x, y_{2}) \in f \Rightarrow y_{1} = y_{2}
◦
(xx가 yy값을 1개만 갖는다)
이때 함수를 f:X→Yf : X \to Y라 표현하며, (x,y)∈f(x, y) \in f이면 y=f(x)y = f(x)라 표현한다.
•
집합 A⊆XA \subseteq X 및 함수 f:X→Yf : X \to Y에 대하여 f(A)={f(a)∣a∈A}f(A) = \{ f(a) | a \in A \}를 AA의 상(Image)이라 한다.
•
집합 B⊆YB \subseteq Y 및 함수 f::X→Yf: : X \to Y에 대하여 f−1(B)={x∈X∣f(x)∈B}f^{-1}(B) = \{ x \in X | f(x) \in B \}를 BB의 원상(Pre Image)이라 한다.
•
f:X→Yf : X \to Y에서 XX를 정의역(Domain) Dom(f),YDom(f), Y를 공역(Codomain) f(X)={f(x)∣x∈X}f(X) = \{ f(x) | x \in X \}를 치역(Range) Rng(f)Rng(f)라 한다.

함수의 종류

함수 f:X→Yf : X \to Y에 대하여
•
전사: Rng(f)=YRng(f) = Y
◦
(치역 = 공역, 남는 yy가 없다)
•
단사: x1≠x2∈X⇒f(x1)≠f(x2)x_{1} \neq x_{2} \in X \Rightarrow f(x_{1}) \neq f(x_{2})
◦
(yy도 xx를 1개씩 갖는다)
•
전단사: 전사이고 단사인 함수. 일대일대응이라고도 한다.
•
1
◦
YY에 남는 값이 있기 때문에 전사가 아님
◦
YY에 2개의 화살을 받는 값이 있으므로 단사가 아님
◦
고로 전사도 단사도 아님
•
2
◦
YY에 남는 값이 있기 때문에 전사가 아님
◦
YY에 2개의 화살을 받는 값이 없으므로 단사가 됨
◦
고로 단사지만 전사는 아님. 단사 함수.
•
3
◦
YY에 남는 값이 없기 때문에 전사가 됨
◦
YY에 2개의 화살을 받는 값이 있으므로 단사가 아님
◦
고로 전사지만 단사는 아님. 전사 함수
•
4
◦
YY에 남는 값이 없기 때문에 전사가 됨
◦
YY에 2개의 화살을 받는 값이 없으므로 단사가 됨
◦
고로 전단사(일대일 대응) 함수가 됨.

여러 가지 함수

•
항등함수: ∀x∈X,IX(x)=x\forall x \in X, I_{X}(x) = x
◦
(자기 자신이 그대로 나오는 함수)
•
상수함수: ∃y0∈Y,f(X)=y0\exists y_{0} \in Y, f(X) = y_{0}
◦
(어떠한 값을 넣어도 항상 상수가 나옴)
•
역함수: 전단사인 f:X→Yf : X \to Y에 대해 f−1:Y→Xf^{-1} : Y \to X
◦
(함수를 뒤집은 함수인데, 전단사여야만 역함수가 가능)
•
합성함수: 두 함수 f:X→Y,g:Y→Zf : X \to Y, g : Y \to Z와 ∀x∈X,(g∘f)(x)=g(f(x))\forall x \in X, (g \circ f)(x) = g(f(x))

집합의 크기

정의

•
집합의 크기란 집합의 원소 개수에 대한 척도이다.
•
두 집합 X,YX, Y에 대하여 전단사함수 f:X→Yf : X \to Y가 존재하면 XX와 YY는 동등이며, X≈YX \approx Y라 표현한다.
•
집합 XX의 적당한 진부분집합 YY가 XX와 동등하면 XX는 무한집합이다.
•
무한집합이 아닌 집합을 유한집합이라 한다.
•
집합 XX가 X≈NX \approx \mathbb{N}일 때 XX를 가부번집합이라 한다.
•
유한집합이나 가부번집합을 가산집합이라 한다.
•
가부번집합이 아닌 무한집합을 비가산집합이라 한다.

여러 가지 정리

•
N≈Z≈Q\mathbb{N} \approx \mathbb{Z} \approx \mathbb{Q}
•
R\mathbb{R}는 비가부번집합이다.
•
R≈R−Q≈C\mathbb{R} \approx \mathbb{R} - \mathbb{Q} \approx \mathbb{C}
•
칸토어의 정리: 공집합이 아닌 임의의 집합 XX에 대하여 P(X)P(X)의 크기는 XX의 크기보다 크다.
•
P(N)≈RP(\mathbb{N}) \approx \mathbb{R}

순서관계

•
(기본적인 집합에 연산구조, 순서구조, 위상구조 등을 부여할 수 있음)

순서집합

아래 조건들을 만족하는 집합 XX위의 이항 관계 ≤\leq를 부분순서관계라 한다.
1.
∀x∈X,x≤x\forall x \in X, x \leq x
•
(반사적, reflexive)
2.
∀x,y,z∈X,x≤y≤z⇒x≤z\forall x, y, z \in X, x \leq y \leq z \Rightarrow x \leq z
•
(추이적, transitive)
3.
∀x,y∈X,x≤y≤x⇒x=y\forall x, y \in X, x \leq y \leq x \Rightarrow x = y
•
(반대칭적, antisymmetric)
•
부분순서관계 ≤\leq를 갖춘 집합을 부분순서집합이라 한다.
•
부분순서집합 XX의 어떤 두 원소 x,yx, y가 x≤y∨y≤xx \leq y \vee y \leq x을 만족하면 xx와 yy는 비교가능하다고 한다.
•
부분순서집합 XX의 임의의 두 원소가 비교가능하면 XX를 전순서집합이라 한다.

상(하)계, 극대(소), 최대(소)

부분순서집합 XX의 부분집합 AA에 대하여
•
∀a∈A,a≤x\forall a \in A, a \leq x를 만족하는 x∈Xx \in X를 AA의 상계(upper bound)라 한다.
•
상계가 존재하는 AA를 '위로 유계(bounded)이다'라고 한다.
•
위로 유계이면서 동시에 아래로 유계인 집합을 유계집합이라 한다.
•
a>ma > m인 a∈Aa \in A가 존재하지 않을 때 m∈Am \in A를 AA의 극대원소라 한다.
•
∀a∈A,a≤g\forall a \in A, a \leq g인 g∈Ag \in A를 AA의 최대원소라 한다.
각 항목의 부등호 방향을 바꿔주면 각각 하계(lower bound), 아래로 유계, 유계집합, 극소원소, 최소원소의 정의가 된다.
•
집합 A의
◦
상계: l, m, n
◦
최소상계: l
◦
하계: a, d, e, f
◦
최대하계: 없음
◦
극대: j, k
◦
극소: g
◦
최대: 없음
◦
최소: g
Made with