미분
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미분은 함수의 변화를 구하는 방법으로 그 결과로 기울기가 구해진다.
미분 기호
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함수 에 대한 미분 기호는 다음과 같다.
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분모에는 미분할 대상, 분자에는 그 대상 안의 실제 미분할 매개변수라고 이해하면 쉽다.
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미분을 2번 하는 경우 다음과 같이 표시한다.
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이것을 일반화 시키면 번에 대해 표기 가능.
상수 미분
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상수를 미분하면 0이 된다.
거듭제곱 미분
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이는 역수나 제곱근에서도 동일하게 적용할 수 있다.
지수 미분
로그 미분
삼각함수 미분
미분함수 연산
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도함수와 상수에 대해 다음의 연산이 성립한다.
편미분
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2개의 매개변수를 받는 함수 에 대해 편미분은 다음과 같이 표기한다.
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편미분을 2번 할 때는 편미분하는 순서에 따라 다음과 같이 표기한다.
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함수 아래첨자는 왼쪽이 먼저하는 것이고, 미분 표기법에서는 오른쪽이 먼저 하는 것이다.
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이것을 일반화 시키면 번 편미분하는 것에 대해 표기 가능
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참고로 편미분을 각각 다른 매개변수로 할 때, 그 순서와 관계 없이 결과가 같아지는데, —위의 예시에서 를 먼저하고 를 다음에 하는 것이나, 를 먼저하고 를 다음에 하는 것이나 결과가 같다— 이를 슈와르츠 정리(Schwarz’s theorem)라고 한다.
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편미분을 하면 다른 매개변수는 상수 취급이 되서 다 날아가기 때문에 어느 것을 먼저하든 상관 없다.
연쇄법칙(Chain Rule)
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합성함수에 대해 미분할 때 Chain Rule이 적용된다.
다변수함수와 연쇄법칙
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다변수함수의 미분을 구할 때도 함수가 연결되어 있으면 연쇄법칙이 적용된다. 예컨대 변수 를 입력으로 가지는 함수가 과 같이 개가 있고 각각의 출력을 이라고 하자.
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그리고 이 값에 의존하는 다른 함수 가 있다고 하자. 의 출력은 라고 한다.
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이때 변수 값의 변화에 따른 값의 변화는 다음처럼 계산한다.
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이번에는 함수 이 을 입력으로 가지는 다변수함수라고 하자.
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이때의 변수 값의 변화에 따른 값의 변화도 마찬가지로 계산할 수 있다.
적분
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적분은 본래 합을 구하는 연산인데, 미분의 역연산이라는 것이 밝혀져서 미분의 역연산이라는 개념으로 부정적분과 합을 구하는 의미의 정적분이 구분된다.
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정적분은 연산으로 구할 수 없는 합을 구하는데도 사용된다. ex) 0-1 사이에 존재하는 유리수나 무리수의 길이
적분 기호
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부정적분은 미분의 역연산으로 적분할 함수와 함께 상수 를 표기한다.
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는 에 대해 적분을 수행한다는 의미
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정적분은 구간이 존재하므로 다음과 같이 표기한다.
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정적분은 구간 내 실제 합을 구하기 때문에 상수 가 따로 없다.
상수 적분
거듭제곱 적분
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만일 이었다면 가 되어 정의가 되지 않는다. 이 경우에는 다음과 같이 적분된다.
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같은 맥락에서 에 대해 다음처럼 적분된다.
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인 경우 다음처럼 적분된다.
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이 꼴을 일반화 시키면 다음과 같다.
지수 적분
로그 적분
삼각함수 적분
다변수 함수 적분
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다변수 함수에 대해 여러 번 적분하는 경우 다음처럼 표기한다.
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함수 안쪽에 가까운 것이 먼저 적분되므로 아래는 에 대해 먼저 적분하고 그 다음 에 대해 적분한다.
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다변수 함수에서 특정 매개변수로 적분하면 상수항이 나머지 매개변수에 대한 것으로 정의된다.
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이는 편미분할 때 해당 매개변수는 상수 취급 받고 사라지기 때문에 그 역연산인 부정적분에서 상수를 그 사라진 매개변수에 대한 함수로 정의한다.
정적분 계산
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구간 에 대한 정적분의 값은 다음과 같이 부정적분을 이용해서 구할 수 있다.
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이를 미적분학의 기본정리(Fundamental Theorem of Calculus)라고 한다.