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교양/ 수학/ 미분, 적분 연산

미분

미분은 함수의 변화를 구하는 방법으로 그 결과로 기울기가 구해진다.

미분 기호

함수 ff에 대한 미분 기호는 다음과 같다.
분모에는 미분할 대상, 분자에는 그 대상 안의 실제 미분할 매개변수라고 이해하면 쉽다.
f=ddx(f)=ddxf=dfdx=ddx(y)=ddxy=dydxf' = {d \over dx}(f) = {d \over dx} f = {df \over dx} = {d \over dx}(y) = {d \over dx}y = {dy \over dx}
미분을 2번 하는 경우 다음과 같이 표시한다.
이것을 일반화 시키면 nn번에 대해 표기 가능.
f=d2dx2(f)=d2dx2f=d2fdx2=d2dx2(y)=d2dx2y=d2ydx2f'' = {d^2 \over dx^2}(f) = {d^2 \over dx^2} f = {d^2 f \over dx^2} = {d^2 \over dx^2}(y) = {d^2 \over dx^2}y = {d^2 y \over dx^2}

상수 미분

상수를 미분하면 0이 된다.
ddx(c)=0{d \over dx}(c) = 0

거듭제곱 미분

ddx(xn)=nxn1{d \over dx} (x^n) = n x^{n-1}
이는 역수나 제곱근에서도 동일하게 적용할 수 있다.
ddx1x2=ddxx2=2x3=2x3 {d \over dx} {1 \over x^2} = {d \over dx} x^{-2} = -2x^{-3} = -{2 \over x^3}
ddxx=ddxx12=12x12 {d \over dx} \sqrt{x} = {d \over dx} x^{1 \over 2} = {1 \over 2}x^{-{1 \over 2}}

지수 미분

ddxax=axlogea=axlna (a>0){d \over dx} a^x = a^x \log_e a = a^x \ln a \ (a > 0)
ddxex=exlogee=ex{d \over dx} e^x = e^x \log_e e = e^x

로그 미분

ddx(logax)=1xlogea=1xlna{d \over dx}(\log_a x) = {1 \over x \log_e a} = {1 \over x \ln a}
ddx(logex)=1xlogee=1x{d \over dx} (\log_e x) = {1 \over x \log_e e} = {1 \over x}

삼각함수 미분

ddx(sinx)=cosx{d \over dx} (\sin x) = \cos x
ddx(cosx)=sinx{d \over dx} (\cos x) = -\sin x
ddx(tanx)=sec2x{d \over dx} (\tan x) = \sec^2 x
ddx(cotx)=csc2x{d \over dx} (\cot x) = -\csc^2 x
ddx(secx)=secxtanx{d \over dx} (\sec x) = \sec x \cdot \tan x
ddx(cscx)=cscxcotx{d \over dx} (\csc x) = -\csc x \cdot \cot x

미분함수 연산

도함수와 상수에 대해 다음의 연산이 성립한다.
ddx(cf)=cdfdx{d \over dx}(cf) = c \cdot {df \over dx}
ddx(f+g)=dfdx+dgdx{d \over dx}(f + g) = {df \over dx} + {d g \over dx}
ddx(c1f+c2g)=c1dfdx+c2dgdx{d \over dx}(c_1 f + c_2 g) = c_1 {df \over dx} + c_2 {dg \over dx}
ddx(fg)=fdgdx+gdfdx{d \over dx}(f \cdot g) = f \cdot {dg \over dx} + g \cdot {df \over dx}

편미분

2개의 매개변수를 받는 함수 f(x,y)f(x, y) 에 대해 편미분은 다음과 같이 표기한다.
fx(x,y)=fxf_x(x, y) = {\partial f \over \partial x}
fy(x,y)=fy f_y(x, y) = {\partial f \over \partial y}
편미분을 2번 할 때는 편미분하는 순서에 따라 다음과 같이 표기한다.
함수 아래첨자는 왼쪽이 먼저하는 것이고, 미분 표기법에서는 오른쪽이 먼저 하는 것이다.
이것을 일반화 시키면 nn번 편미분하는 것에 대해 표기 가능
fxx(x,y)=2fx2f_{xx}(x, y) = {\partial^2 f \over \partial x^2}
fyy(x,y)=2fy2f_{yy}(x, y) = {\partial^2 f \over \partial y^2}
fxy(x,y)=2fyxf_{xy}(x, y) = {\partial^2 f \over \partial y \partial x}
fyx(x,y)=2fxyf_{yx}(x, y) = {\partial^2 f \over \partial x \partial y}
참고로 편미분을 각각 다른 매개변수로 할 때, 그 순서와 관계 없이 결과가 같아지는데, —위의 예시에서 xx를 먼저하고 yy를 다음에 하는 것이나, yy를 먼저하고 xx를 다음에 하는 것이나 결과가 같다— 이를 슈와르츠 정리(Schwarz’s theorem)라고 한다.
편미분을 하면 다른 매개변수는 상수 취급이 되서 다 날아가기 때문에 어느 것을 먼저하든 상관 없다.

연쇄법칙(Chain Rule)

합성함수에 대해 미분할 때 Chain Rule이 적용된다.
f(x)=h(g(x))f(x) = h(g(x))
dfdx=dhdgdgdx{df \over dx} = {dh \over dg} \cdot {dg \over dx}

다변수함수와 연쇄법칙

다변수함수의 미분을 구할 때도 함수가 연결되어 있으면 연쇄법칙이 적용된다. 예컨대 변수 xx를 입력으로 가지는 함수가 f1,f2,...,fnf_1, f_2, ... , f_n과 같이 nn개가 있고 각각의 출력을 y1,y2,...,yny_1, y_2, ... , y_n이라고 하자.
y1=f1(x)y2=f2(x)...yn=fn(x)y_1 = f_1(x) \\ y_2 = f_2(x) \\ ... \\ y_n = f_n(x)
그리고 이 y1,y2,...,yny_1, y_2, ... , y_n 값에 의존하는 다른 함수 gg가 있다고 하자. gg의 출력은 zz라고 한다.
z=g(y1,y2,...,yn)z = g(y_1, y_2, ... , y_n)
이때 변수 xx값의 변화에 따른 zz값의 변화는 다음처럼 계산한다.
dzdx=zy1dy1dx+zy2dy2dx+...+zyndyndx{dz \over dx} = {\partial z \over \partial y_1} {d y_1 \over dx} + {\partial z \over \partial y_2} {d y_2 \over dx} + ... + {\partial z \over \partial y_n} {d y_n \over dx}
이번에는 함수 f1,f2,...,fnf_1, f_2, ... , f_nx1,x2,...,xmx_1, x_2, ... , x_m을 입력으로 가지는 다변수함수라고 하자.
y1=f1(x1,x2,...,xm)y2=f2(x1,x2,...,xm)...yn=fn(x1,x2,...,xm)y_1 = f_1(x_1, x_2, ... , x_m) \\ y_2 = f_2(x_1, x_2, ... , x_m) \\ ... \\ y_n = f_n(x_1, x_2, ... , x_m)
이때의 변수 xx 값의 변화에 따른 xx값의 변화도 마찬가지로 계산할 수 있다.
dzdx1=zy1dy1dx1+zy2dy2dx1+...+zyndyndx1dzdx2=zy1dy1dx2+zy2dy2dx2+...+zyndyndx2...dzdxm=zy1dy1dxm+zy2dy2dxm+...+zyndyndxm{dz \over dx_1} = {\partial z \over \partial y_1} {d y_1 \over dx_1} + {\partial z \over \partial y_2} {d y_2 \over dx_1} + ... + {\partial z \over \partial y_n} {d y_n \over dx_1} \\ {dz \over dx_2} = {\partial z \over \partial y_1} {d y_1 \over dx_2} + {\partial z \over \partial y_2} {d y_2 \over dx_2} + ... + {\partial z \over \partial y_n} {d y_n \over dx_2} \\ ... \\ {dz \over dx_m} = {\partial z \over \partial y_1} {d y_1 \over dx_m} + {\partial z \over \partial y_2} {d y_2 \over dx_m} + ... + {\partial z \over \partial y_n} {d y_n \over dx_m}

적분

적분은 본래 합을 구하는 연산인데, 미분의 역연산이라는 것이 밝혀져서 미분의 역연산이라는 개념으로 부정적분과 합을 구하는 의미의 정적분이 구분된다.
정적분은 ++ 연산으로 구할 수 없는 합을 구하는데도 사용된다. ex) 0-1 사이에 존재하는 유리수나 무리수의 길이

적분 기호

부정적분은 미분의 역연산으로 적분할 함수와 함께 상수 CC를 표기한다.
dxdxxx에 대해 적분을 수행한다는 의미
f(x)dx+C\int f(x) dx + C
정적분은 구간이 존재하므로 다음과 같이 표기한다.
정적분은 구간 내 실제 합을 구하기 때문에 상수 CC가 따로 없다.
S=abf(x)dxS = \int_{a}^{b} f(x) dx

상수 적분

C1dx=C1x+C2\int C_1 dx = C_1x + C_2

거듭제곱 적분

xndx=1n+1xn+1+C\int x^n dx = {1 \over n+1} x^{n+1} + C
만일 f(x)=1xf(x) = {1 \over x}이었다면 11+1x1+1{1 \over -1 + 1} x^{-1 + 1}가 되어 정의가 되지 않는다. 이 경우에는 다음과 같이 적분된다.
1xdx=lnx+C\int {1 \over x} dx = \ln |x| + C
같은 맥락에서 1(x+n){1 \over (x + n)}에 대해 다음처럼 적분된다.
1x+ndx=lnx+n+C\int {1 \over x + n} dx = \ln |x + n| + C
1(x+n)2{1 \over (x + n)^2}인 경우 다음처럼 적분된다.
1(x+1)2dx=(x+1)2dx=12+1(x+1)2+1+C=1x+n+C\int {1 \over (x+1)^2} dx = \int (x+1)^{-2} dx = {1 \over -2 + 1} (x+1)^{-2+1} + C=- {1 \over x+n} + C
이 꼴을 일반화 시키면 다음과 같다.
1(x+n)mdx=(x+n)mdx=1m+1(x+n)m+1+C (m1)\int {1 \over (x+n)^m} dx = \int (x+n)^{-m} dx = {1 \over -m+1} (x + n)^{-m+1} + C \ (m \neq -1)

지수 적분

axdx=axlogea+C=axlna+C\int a^x dx = {a^x \over \log_e a} + C = {a^x \over \ln a} + C
exdx=exlogee+C=ex+C\int e^x dx = {e^x \over \log_e e} + C = e^x + C

로그 적분

logaxdx=x(lnx1)lna+C\int \log_a x dx = {x (\ln x - 1) \over \ln a} + C
logexdx=x(lnx1)lne+C=x(lnx1)+C\int \log_e x dx = {x (\ln x - 1) \over \ln e} + C = x(\ln x - 1) + C

삼각함수 적분

sinxdx=cosx+C\int \sin x dx = -\cos x + C
cosxdx=sinx+C\int \cos x dx = \sin x + C
tanxdx=lncosx+C=lnsecx+C\int \tan x dx = -\ln |\cos x| + C = -\ln|\sec x| + C
secxdx=lnsecx+tanx+C\int \sec x dx = \ln|\sec x + \tan x| + C
cscxdx=lncscx+cotx+C=lncscxcotx+C\int \csc x dx = -\ln |\csc x + \cot x| + C = \ln |\csc x - \cot x| + C
cotxdx=lnsinx+C\int \cot x dx = \ln |\sin x| + C

다변수 함수 적분

다변수 함수에 대해 여러 번 적분하는 경우 다음처럼 표기한다.
함수 안쪽에 가까운 것이 먼저 적분되므로 아래는 yy에 대해 먼저 적분하고 그 다음 xx에 대해 적분한다.
xyf(x,y)dydx\int_x \int_y f(x, y) dy dx
다변수 함수에서 특정 매개변수로 적분하면 상수항이 나머지 매개변수에 대한 것으로 정의된다.
이는 편미분할 때 해당 매개변수는 상수 취급 받고 사라지기 때문에 그 역연산인 부정적분에서 상수를 그 사라진 매개변수에 대한 함수로 정의한다.
yf(x,y)dy+C(x)\int_y f(x, y) dy + C(x)

정적분 계산

구간 [a,b][a, b]에 대한 정적분의 값은 다음과 같이 부정적분을 이용해서 구할 수 있다.
이를 미적분학의 기본정리(Fundamental Theorem of Calculus)라고 한다.
abf(x)dx=F(b)F(a)\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)