교양/ 수학/ 미분, 적분 연산

미분

미분 기호

상수 미분

미분

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미분은 함수의 변화를 구하는 방법으로 그 결과로 기울기가 구해진다.

미분 기호

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함수 fff에 대한 미분 기호는 다음과 같다. 

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분모에는 미분할 대상, 분자에는 그 대상 안의 실제 미분할 매개변수라고 이해하면 쉽다.

f' = {d \over dx}(f) = {d \over dx} f = {df \over dx} = {d \over dx}(y) = {d \over dx}y = {dy \over dx}

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미분을 2번 하는 경우 다음과 같이 표시한다. 

◦

이것을 일반화 시키면 nnn번에 대해 표기 가능.

f'' = {d^2 \over dx^2}(f) = {d^2 \over dx^2} f = {d^2 f \over dx^2} = {d^2 \over dx^2}(y) = {d^2 \over dx^2}y = {d^2 y \over dx^2}

상수 미분

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상수를 미분하면 0이 된다.

{d \over dx}(c) = 0

거듭제곱 미분

{d \over dx} (x^n) = n x^{n-1}

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이는 역수나 제곱근에서도 동일하게 적용할 수 있다.

{d \over dx} {1 \over x^2} = {d \over dx} x^{-2} = -2x^{-3} = -{2 \over x^3}

{d \over dx} \sqrt{x} = {d \over dx} x^{1 \over 2} = {1 \over 2}x^{-{1 \over 2}}

지수 미분

{d \over dx} a^x = a^x \log_e a = a^x \ln a \ (a > 0)

{d \over dx} e^x = e^x \log_e e = e^x

로그 미분

{d \over dx}(\log_a x) = {1 \over x \log_e a} = {1 \over x \ln a}

{d \over dx} (\log_e x) = {1 \over x \log_e e} = {1 \over x}

삼각함수 미분

{d \over dx} (\sin x) = \cos x

{d \over dx} (\cos x) = -\sin x

{d \over dx} (\tan x) = \sec^2 x

{d \over dx} (\cot x) = -\csc^2 x

{d \over dx} (\sec x) = \sec x \cdot \tan x

{d \over dx} (\csc x) = -\csc x \cdot \cot x

미분함수 연산

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도함수와 상수에 대해 다음의 연산이 성립한다.

{d \over dx}(cf) = c \cdot {df \over dx}

{d \over dx}(f + g) = {df \over dx} + {d g \over dx}

{d \over dx}(c_1 f + c_2 g) = c_1 {df \over dx} + c_2 {dg \over dx}

{d \over dx}(f \cdot g) = f \cdot {dg \over dx} + g \cdot {df \over dx}

편미분

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2개의 매개변수를 받는 함수 f(x,y)f(x, y)f(x,y) 에 대해 편미분은 다음과 같이 표기한다.

f_x(x, y) = {\partial f \over \partial x}

f_y(x, y) = {\partial f \over \partial y}

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편미분을 2번 할 때는 편미분하는 순서에 따라 다음과 같이 표기한다.

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함수 아래첨자는 왼쪽이 먼저하는 것이고, 미분 표기법에서는 오른쪽이 먼저 하는 것이다.

◦

이것을 일반화 시키면 nnn번 편미분하는 것에 대해 표기 가능

f_{xx}(x, y) = {\partial^2 f \over \partial x^2}

f_{yy}(x, y) = {\partial^2 f \over \partial y^2}

f_{xy}(x, y) = {\partial^2 f \over \partial y \partial x}

f_{yx}(x, y) = {\partial^2 f \over \partial x \partial y}

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참고로 편미분을 각각 다른 매개변수로 할 때, 그 순서와 관계 없이 결과가 같아지는데, —위의 예시에서 xxx를 먼저하고 yyy를 다음에 하는 것이나, yyy를 먼저하고 xxx를 다음에 하는 것이나 결과가 같다— 이를 슈와르츠 정리(Schwarz’s theorem)라고 한다.

◦

편미분을 하면 다른 매개변수는 상수 취급이 되서 다 날아가기 때문에 어느 것을 먼저하든 상관 없다.

연쇄법칙(Chain Rule)

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합성함수에 대해 미분할 때 Chain Rule이 적용된다.

f(x) = h(g(x))

{df \over dx} = {dh \over dg} \cdot {dg \over dx}

다변수함수와 연쇄법칙

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다변수함수의 미분을 구할 때도 함수가 연결되어 있으면 연쇄법칙이 적용된다. 예컨대 변수 xxx를 입력으로 가지는 함수가 f1,f2,...,fnf_1, f_2, ... , f_nf1​,f2​,...,fn​과 같이 nnn개가 있고 각각의 출력을 y1,y2,...,yny_1, y_2, ... , y_ny1​,y2​,...,yn​이라고 하자.

y_1 = f_1(x) \\ y_2 = f_2(x) \\ ... \\ y_n = f_n(x)

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그리고 이 y1,y2,...,yny_1, y_2, ... , y_ny1​,y2​,...,yn​ 값에 의존하는 다른 함수 ggg가 있다고 하자. ggg의 출력은 zzz라고 한다.

z = g(y_1, y_2, ... , y_n)

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이때 변수 xxx값의 변화에 따른 zzz값의 변화는 다음처럼 계산한다.

{dz \over dx} = {\partial z \over \partial y_1} {d y_1 \over dx} + {\partial z \over \partial y_2} {d y_2 \over dx} + ... + {\partial z \over \partial y_n} {d y_n \over dx}

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이번에는 함수 f1,f2,...,fnf_1, f_2, ... , f_nf1​,f2​,...,fn​이 x1,x2,...,xmx_1, x_2, ... , x_mx1​,x2​,...,xm​을 입력으로 가지는 다변수함수라고 하자.

y_1 = f_1(x_1, x_2, ... , x_m) \\ y_2 = f_2(x_1, x_2, ... , x_m) \\ ... \\ y_n = f_n(x_1, x_2, ... , x_m)

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이때의 변수 xxx 값의 변화에 따른 xxx값의 변화도 마찬가지로 계산할 수 있다.

{dz \over dx_1} = {\partial z \over \partial y_1} {d y_1 \over dx_1} + {\partial z \over \partial y_2} {d y_2 \over dx_1} + ... + {\partial z \over \partial y_n} {d y_n \over dx_1} \\ {dz \over dx_2} = {\partial z \over \partial y_1} {d y_1 \over dx_2} + {\partial z \over \partial y_2} {d y_2 \over dx_2} + ... + {\partial z \over \partial y_n} {d y_n \over dx_2} \\ ... \\ {dz \over dx_m} = {\partial z \over \partial y_1} {d y_1 \over dx_m} + {\partial z \over \partial y_2} {d y_2 \over dx_m} + ... + {\partial z \over \partial y_n} {d y_n \over dx_m}

적분

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적분은 본래 합을 구하는 연산인데, 미분의 역연산이라는 것이 밝혀져서 미분의 역연산이라는 개념으로 부정적분과 합을 구하는 의미의 정적분이 구분된다. 

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정적분은 +++ 연산으로 구할 수 없는 합을 구하는데도 사용된다. ex) 0-1 사이에 존재하는 유리수나 무리수의 길이

적분 기호

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부정적분은 미분의 역연산으로 적분할 함수와 함께 상수 CCC를 표기한다.

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dxdxdx는 xxx에 대해 적분을 수행한다는 의미

\int f(x) dx + C

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정적분은 구간이 존재하므로 다음과 같이 표기한다. 

◦

정적분은 구간 내 실제 합을 구하기 때문에 상수 CCC가 따로 없다.

S = \int_{a}^{b} f(x) dx

상수 적분

\int C_1 dx = C_1x + C_2

거듭제곱 적분

\int x^n dx = {1 \over n+1} x^{n+1} + C

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만일 f(x)=1xf(x) = {1 \over x}f(x)=x1​이었다면 1−1+1x−1+1{1 \over -1 + 1} x^{-1 + 1}−1+11​x−1+1가 되어 정의가 되지 않는다. 이 경우에는 다음과 같이 적분된다.

\int {1 \over x} dx = \ln |x| + C

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같은 맥락에서 1(x+n){1 \over (x + n)}(x+n)1​에 대해 다음처럼 적분된다.

\int {1 \over x + n} dx = \ln |x + n| + C

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1(x+n)2{1 \over (x + n)^2}(x+n)21​인 경우 다음처럼 적분된다.

\int {1 \over (x+1)^2} dx = \int (x+1)^{-2} dx = {1 \over -2 + 1} (x+1)^{-2+1} + C=- {1 \over x+n} + C

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이 꼴을 일반화 시키면 다음과 같다.

\int {1 \over (x+n)^m} dx = \int (x+n)^{-m} dx = {1 \over -m+1} (x + n)^{-m+1} + C \ (m \neq -1)

지수 적분

\int a^x dx = {a^x \over \log_e a} + C = {a^x \over \ln a} + C

\int e^x dx = {e^x \over \log_e e} + C = e^x + C

로그 적분

\int \log_a x dx = {x (\ln x - 1) \over \ln a} + C

\int \log_e x dx = {x (\ln x - 1) \over \ln e} + C = x(\ln x - 1) + C

삼각함수 적분

\int \sin x dx = -\cos x + C

\int \cos x dx = \sin x + C

\int \tan x dx = -\ln |\cos x| + C = -\ln|\sec x| + C

\int \sec x dx = \ln|\sec x + \tan x| + C

\int \csc x dx = -\ln |\csc x + \cot x| + C = \ln |\csc x - \cot x| + C

\int \cot x dx = \ln |\sin x| + C

다변수 함수 적분

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다변수 함수에 대해 여러 번 적분하는 경우 다음처럼 표기한다.

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함수 안쪽에 가까운 것이 먼저 적분되므로 아래는 yyy에 대해 먼저 적분하고 그 다음 xxx에 대해 적분한다.

\int_x \int_y f(x, y) dy dx

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다변수 함수에서 특정 매개변수로 적분하면 상수항이 나머지 매개변수에 대한 것으로 정의된다.

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이는 편미분할 때 해당 매개변수는 상수 취급 받고 사라지기 때문에 그 역연산인 부정적분에서 상수를 그 사라진 매개변수에 대한 함수로 정의한다.

\int_y f(x, y) dy + C(x)

정적분 계산

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구간 [a,b][a, b][a,b]에 대한 정적분의 값은 다음과 같이 부정적분을 이용해서 구할 수 있다. 

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이를 미적분학의 기본정리(Fundamental Theorem of Calculus)라고 한다.

\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)