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이상엽/ 선형대수학/ 행렬과 행렬식

행렬

용어정리

용어
설명
성분
행렬 안에 배열된 구성원 (=항=원소)
행
행렬의 가로줄
열
행렬의 세로줄
m×nm \times n 행렬
mm개의 행과 nn개의 열로 이루어진 행렬
주대각선
행렬의 왼쪽 위에서 오른쪽 아래를 가르는 선
대각성분
주대각선에 걸치는 행과 열의 지표수가 같은 성분 (i,ii, i 성분) 대각성분으로만 이루어진 행렬을 대각행렬이라 한다. ex) (100020003)\left( \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{array} \right)
영행렬
모든 성분이 0인 행렬
전치행렬
(aij)(a_{ij})에 대하여 (aji)(a_{ji}) i와 j의 자리를 바꾼 행렬
대칭행렬
A=ATA = A^{T}인 AA
정사각행렬
행, 열의 개수가 같은 행렬
단위행렬
모든 대각성분이 1이고 그 외의 성분은 0인 정사각행렬

행렬의 연산

덧셈과 뺄셈

m×nm \times n 행렬 A=(aij),B=(bij)A = (a_{ij}), B = (b_{ij})에 대해
A±B=(aij±bij)A \pm B = (a_{ij} \pm b_{ij})

상수배

m×nm \times n 행렬 A=(aij)A = (a_{ij})에 대해
상수 cc에 대해 cA=(caij)m×ncA = (ca_{ij})m \times n

곱셈

m×nm \times n 행렬 A=(aij)A = (a_{ij})와 n×rn \times r 행렬 B=(bjk)B = (b_{jk})에 대해
AB=(cik):m×rAB = (c_{ik}) : m \times r 행렬
단, cik=∑j=1naijbjkc_{ik} = \sum_{j = 1}^{n} a_{ij} b_{jk}
행렬의 곱셈은 교환법칙이 성립되지 않는다.
•
행렬의 곱셈은 함수 합성과 비슷한 개념이다.
•
두 함수가 f(x,y)=(ax+by,cx+dy),g(x,y)=(px+qy,rx+sy)f(x, y) = (ax+by, cx+dy), g(x, y) = (px+qy, rx+sy)라고 할 때, 두 함수의 합성은 다음과 같다.
◦
f∘g=(apx+aqy+brx+bsy,cpx+cgy+drx+dsy)=((ap+br)x+(aq+bs)y,(cp+dr)x+(cq+ds)y)f \circ g \\ = (apx + aqy + brx + bsy, cpx + cgy + drx + dsy) \\ = ((ap+br)x + (aq+bs)y, (cp+dr)x + (cq+ds)y)
•
두 행렬이 F=(abcd),G=(pqrs)F = \left( \begin{array}{rr} a & b \\ c & d \end{array} \right), G = \left( \begin{array}{rr} p & q \\ r & s \end{array} \right)라고 할 때, 두 행렬의 곱은 다음과 같다.
◦
FG=(ap+braq+bscp+drcq+ds)FG = \left( \begin{array}{rr} ap+br & aq+bs \\ cp+dr & cq+ds \end{array} \right)
•
결국 두 함수의 합성과 두 행렬의 곱이 결과가 같다.
◦
행렬의 곱의 규칙이 앞 행렬의 행과 뒤 행렬의 열을 곱하는 이유가 이러한 까닭.

연립일차방정식

행렬의 표현

예를 들어 {x+2y=52x+3y=8\begin{cases} x + 2y = 5 \\ 2x + 3y = 8 \end{cases}를
1.
(125238)\left( \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 5 \\ 2 & 3 & 8 \end{array} \right)는 가우스 조던 소거법
2.
(1223)(xy)=(58)\left( \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{array} \right) \left( \begin{array}{r} x \\ y \end{array} \right) = \left( \begin{array}{r} 5 \\ 8 \end{array} \right)은 역행렬을 이용

가우스 조던 소거법

다음 세 가지의 기본 행 연산을 통해 연립일차방정식의 첨가행렬을 기약 행사다리꼴로 변환하여 해를 구한다.
1.
한 행을 상수배한다.
2.
한 행을 상수배하여 다른 행에 더한다.
3.
두 행을 맞바꾼다.

역행렬 이용

연립일차방정식 AX=BAX = B에서 AA의 역행렬 A−1A^{-1}가 존재하면, X=A−1BX = A^{-1}B 이다
예를 들어
(1223)(xy)=(58)⇔(xy)=(1223)−1(58)\left( \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{array} \right) \left( \begin{array}{r} x \\ y \end{array} \right) = \left( \begin{array}{r} 5 \\ 8 \end{array} \right) \Leftrightarrow \left( \begin{array}{r} x \\ y \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{array} \right)^{-1} \left( \begin{array}{r} 5 \\ 8 \end{array} \right)

행렬식

행렬식이란?

정사각행렬 AA를 하나의 수로써 대응시키는 특별한 함수. detA=∣A∣det A = |A|
•
행렬식은 행렬보다 먼저 있었던 개념.
이때 AA 가
0×0⇒det()=00 \times 0 \Rightarrow det ( ) = 0
1×1⇒det(a)=a1 \times 1 \Rightarrow det (a) = a
2×2⇒det((a11a12a21a22))=a11a22−a12a212 \times 2 \Rightarrow det (\left( \begin{array}{rr} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right)) = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}
3×3⇒det((a11a12a13a21a22a23a31a32a33))=a11M11−a12M12+a13M13=a11∣a22a23a32a33∣−a12∣a21a23a31a33∣+a13∣a21a22a31a32∣=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a13a22a31−a11a23a32−a12a21a333 \times 3 \Rightarrow det (\left( \begin{array}{rrr} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right)) \\ = a_{11} M_{11} - a_{12} M_{12} + a_{13} M_{13} \\ = a_{11} \left| \begin{array}{rr} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{array} \right| - a_{12} \left| \begin{array}{rr} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{array} \right| + a_{13} \left| \begin{array}{rr} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{array} \right| \\ = a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} - a_{13} a_{22} a_{31} - a_{11} a_{23} a_{32} - a_{12} a_{21} a_{33}
•
MijM_{ij}란 행렬 AA 에서 ii 행과 jj열을 제외한 나머지 행렬을 말함.
◦
M은 Minor Matrix로 소행렬이라고 한다. (원래 행렬에서 일부를 제외한 나머지 행렬)
•
M은 꼭 1행을 기준으로 잡지 않아도 된다. 1열을 기준으로 하거나 다른 것을 기준으로 해도 결과는 같다.
◦
최종적으로 a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a13a22a31−a11a23a32−a12a21a33a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} - a_{13} a_{22} a_{31} - a_{11} a_{23} a_{32} - a_{12} a_{21} a_{33}의 꼴이 나오기만 하면 되기 때문.
•
사루스 법칙
◦
첫 번째 원소로부터 오른쪽 아래 대각선으로 그으면서 곱하여 더함. 모두 더한 후에는 가장 오른쪽 원소로부터 왼쪽 아래 대각선을 그으면서 앞의 값에서 뺀다.
◦
그러면 결국 a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a13a22a31−a11a23a32−a12a21a33a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} - a_{13} a_{22} a_{31} - a_{11} a_{23} a_{32} - a_{12} a_{21} a_{33}의 꼴이 나옴.
4×4⇒detA=a11M11−a12M12+a13M13−a14M144 \times 4 \Rightarrow det A = a_{11} M_{11} - a_{12} M_{12} + a_{13} M_{13} - a_{14} M_{14}
•
행렬식의 계산은 위와 같이 일반화 된다.
◦
첫 행렬과 그 행렬이 포함된 행렬을 제외한 마이너 행렬을 곱한것을 차례로 더했다가 뺐다가를 반복하면 된다.
◦
이 계산을 일반화 하면 2x2 행렬에서 ad - bc가 되는 것도 같은 원리가 된다.

역행렬

행렬식이 0이면 역행렬이 존재하지 않는다. 즉, 행렬식이 0이 아닌 정사각 행렬 AA의 역행렬 A−1A^{-1}은
A−1=1detA(C11C22...C12C22............)A^{-1} = { 1 \over det A } \left( \begin{array}{rrr} C_{11} & C_{22} & ... \\ C_{12} & C_{22} & ... \\ ... & ... & ... \end{array} \right)(단 ACij=(−1)i+jMijAC_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij})
•
CC는 수반행렬이라고 한다.
•
CijC_{ij}는 MijM_{ij}에 순서대로 +, -를 번갈아 붙인 값이 된다.
•
수반행렬(CijC_{ij}) 는 원래 행렬과 순서가 전치됨.
ex)
(abcd)−1=1ad−bc(d−b−ca)\left( \begin{array}{rr} a & b \\ c & d \end{array} \right)^{-1} = { 1 \over ad - bc } \left( \begin{array}{rr} d & -b \\ -c & a \end{array} \right)
•
역행렬은 교환법칙이 성립한다.
◦
AB=I⇒BABB−1=BIB−1⇒BAI=BB−1⇒BA=IAB = I \\ \Rightarrow BABB^{-1} = BIB^{-1} \\ \Rightarrow BAI = BB^{-1} \\ \Rightarrow BA = I

크래머 공식

연립일차방정식 AX=BAX = B에서 AA가 행렬식이 0이 아닌 정사각행렬일 때,
xj=detAjdetA=∣a11...b1...a1na21...b2...a2n...............an1...bn...ann∣∣a11...a1j...a1na21...a2j...a2n...............an1...anj...ann∣x_{j} = { det A_{j} \over det A } = { \left| \begin{array}{rrrrr} a_{11} & ... & b_{1} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & ... & b_{2} & ... & a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ a_{n1} & ... & b_{n} & ... & a_{nn} \end{array} \right| \over \left| \begin{array}{rrrrr} a_{11} & ... & a_{1j} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & ... & a_{2j} & ... & a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ a_{n1} & ... & a_{nj} & ... & a_{nn} \end{array} \right| }
단, j=1,...,nj = 1, ... , n이고 AjA_{j}는 AA의 jj번째 열을 BB의 원소로 바꾼 행렬이다.
•
크래머 공식은 행렬 전체를 구하는게 아니라 그 중에 일부 원소에 대한 값만 빠르게 구할 수 있는 방법.
◦
행렬의 구조를 이용해서 정리한 내용이라 행렬 계산을 반복해서 보면 자명하게 이해된다.
◦
행렬 연산의 구조를 이용해서 이렇게 저렇게 짜맞추고 최종 결과를 이끌어 냄.
Made with