김영길/ 선형대수학/ field, vector space

개론

Vector

•

물리에서의 Vector - 크기와 방향이 있는 것

•

수학에서의 Vector - [1 2 3 4][ 1 \, 2 \, 3 \, 4 ][1234]

Field (체)

•

아래의 조건을 만족하는 집합을 Field(체)라고 한다.

◦

2개의 이항 연산을 갖고 있음 (+,⋅)(+, \cdot)(+,⋅)

▪

예시는 덧셈과 곱셈이지만 항상 덧셈과 곱셈일 필요는 없다. 여하튼 2개의 연산을 갖고 있고, 두 연산이 이하의 조건을 만족하기만 하면 된다.

◦

닫혀 있음

◦

2개의 이항 연산이 모두 교환법칙(commutative)이 성립해야 함

▪

a+b=b+aa + b = b + aa+b=b+a

▪

a⋅b=b⋅aa \cdot b = b \cdot aa⋅b=b⋅a

◦

2개의 이항 연산이 모두 결합법칙(associative)이 성립해야 함

▪

(a+b)+c=a+(b+c)(a + b) + c = a + (b + c)(a+b)+c=a+(b+c)

▪

(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)

◦

2개의 이항 연산에 모두 항등원이 존재해야 함

▪

0+a=a0 + a = a0+a=a (additive identity)

▪

1⋅a=a1 \cdot a = a1⋅a=a (multiplicative identity)

▪

(연산에 항등원이 존재한다는 것은 해당 연산에 기준점이 존재한다는 의미)

◦

2개의 이항 연산에 모두 역원이 존재해야 함

▪

a+(−a)=0a + (-a) = 0a+(−a)=0 (additive inverse)

▪

b⋅b−1=1b \cdot b^{-1} = 1b⋅b−1=1 (multiplicative inverse)

◦

2개의 연산에 대해 분배법칙(distributive)이 성립해야 함

▪

a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅ca \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot ca⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c

Examples of Field

•

ZnZ_{n}Zn​을 정수를 nnn으로 나눈 나머지의 집합이라고 가정할 때,

◦

Z2Z_{2}Z2​는 체를 만족한다.

◦

마찬가지로 Z3,Z5,Z7Z_{3}, Z_{5}, Z_{7}Z3​,Z5​,Z7​는 체를 만족한다.

◦

일반적으로 nnn이 소수인 경우에는 체가 만족된다.

•

정수 집합, 자연수 집합은 Field가 아니다.

Vector Space

•

벡터 공간은 벡터들의 집합이고 다음 조건을 만족한다.

◦

(+,⋅)(+, \cdot)(+,⋅) 연산이 정의되어 있음.

▪

$+++는 벡터간의 더하기인데 반해

▪

⋅\cdot⋅는 벡터와 스칼라의 곱이기 때문에, ⋅\cdot⋅은 이항연산이라는 표현을 하지 않음

◦

x,y∈V,a,b∈Fx, y \in V, a, b \in Fx,y∈V,a,b∈F에 대하여 (x,yx, yx,y는 벡터의 원소, a,ba, ba,b는 체의 원소)

▪

닫혀 있음

▪

벡터간 +++ 연산이 교환법칙이 성립해야 함

•

x+y=y+xx + y = y + xx+y=y+x

▪

벡터간 ++ + 연산이 결합법칙이 성립해야 함

•

(x+y)+z=x+(y+z)(x + y) + z = x + (y + z)(x+y)+z=x+(y+z)

▪

벡터간 +++ 연산과 벡터-스칼라의 ⋅\cdot⋅ 연산이 항등원을 갖고 있어야 함.

•

∃0∈V:x+0=x\exists 0 \in V : x + 0 = x∃0∈V:x+0=x

•

∀x∈V:1⋅x=x\forall x \in V : 1 \cdot x = x∀x∈V:1⋅x=x

▪

벡터와 스칼라의 ⋅\cdot⋅ 연산에 교환법칙이 성립해야 함

•

x∈V,a,b∈F:(a⋅b)⋅x=a⋅(b⋅x)x \in V, a, b \in F : (a \cdot b) \cdot x = a \cdot (b \cdot x)x∈V,a,b∈F:(a⋅b)⋅x=a⋅(b⋅x)

•

스칼라간 ⋅\cdot⋅과 벡터-스칼라간 ⋅\cdot⋅는 서로 다른 연산임에 주의

▪

벡터와 스칼라 연산에 분배법칙이 성립해야 함

•

a(x+y)=ax+aya(x + y) = ax + aya(x+y)=ax+ay

•

(a+b)x=ax+bx(a + b) x = ax + bx(a+b)x=ax+bx

•

(일반적으로 벡터와 벡터 공간에 대해 설명할 때, 벡터 공간을 정의하는데 벡터가 필요하고 --벡터와 연산에 대한 집합--, 벡터를 정의하는데 벡터 공간이 필요한데 --벡터는 벡터공간의 원소-- 정의가 순환적이라고 느껴진다. 아마도 벡터 공간을 정의할 때 필요한 집합을 임의의 것으로 하고, 그렇게 정의된 벡터 공간에 포함된 원소를 벡터로 정의하는게 맞는 것 같다.)

•

참고) n-tuple 은 체(F)의 원소가 n개 나열된 것을 의미한다.

◦

(a1,a2,...,an)(a_{1}, a_{2}, ... , a_{n})(a1​,a2​,...,an​)

◦

(생긴게 비슷하지만 다르니 주의)

•

행렬도 벡터 공간의 정의를 만족하기 때문에 벡터 공간의 원소라 할 수 있다.

◦

Mm×n(F)={[ai,j]m×n∣ai,j∈F}M_{m \times n} (F) = \{ [a_{i, j}]_{m \times n} | a_{i, j} \in F \}Mm×n​(F)={[ai,j​]m×n​∣ai,j​∈F}

◦

(234567)∈M2×3(F)\left( \begin{array}{rrr} 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 \end{array} \right) \in M_{2 \times 3}(F)(25​36​47​)∈M2×3​(F)