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김영길/ 선형대수학/ one-to-one, onto, matrix

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One-to-one mapping (단사함수)
◦
x≠y⇒T(x)≠T(y)x \neq y \Rightarrow T(x) \neq T(y)
•
Onto mapping (전사함수)
◦
T(V)=WT(V) = W

Thm 2.4 T:V→WT : V \to W linear

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TT: one-to-one ⇔N(T)={0}\Leftrightarrow N(T) = \{ 0 \}
◦
TT가 단사함수면 널공간의 원소는 00벡터 뿐이다.
•
증명)
◦
⇒\Rightarrow
▪
x∈N(T)x \in N(T)
▪
T(x)=0=T(0)T(x) = 0 = T(0)
▪
TT는 단사함수이므로 x=0x = 0
▪
∴N(T)={0}\therefore N(T) = \{0\}
◦
⇐\Leftarrow
▪
T(x)=T(y)T(x) = T(y)
▪
0=T(x)−T(y)=T(x−y)0 = T(x) - T(y) = T(x -y)
▪
N(T)={0}N(T) = \{0\}이므로 x−y=0x - y = 0
▪
∴x=y\therefore x = y
◦
∴T\therefore T는 단사함수

Thm 2.5

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dim(V)=dim(W)<∞dim(V) = dim(W) < \infty 일때
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(정의역과 공역의 차원이 유한하고 동일할 때)
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T:V→WT : V \to W일 때 다음은 모두 동치이다.
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TT 는 전사 함수
◦
TT 는 단사 함수
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rank(T)=dim(V)rank(T) = dim(V)
•
증명)
◦
TT는 단사함수
◦
⇔N(T)={0}\Leftrightarrow N(T) = \{0\}
◦
⇔nullity(T)=0\Leftrightarrow nullity(T) = 0
◦
⇔rank(T)=dim(V)\Leftrightarrow rank(T) = dim(V)
◦
⇔dim(R(T))=dim(W)\Leftrightarrow dim(R(T)) = dim(W)
◦
⇔R(T)=W\Leftrightarrow R(T) = W
(예제 생략 - 교재 정리 내용과 동일)
•
증명)
◦
S⊂V,S={v1,v2,...,vn}S \subset V, S = \{ v_{1}, v_{2}, ... , v_{n} \}일 때 TT 가 선형이고 단사함수면 집합 SS는 선형독립 ⇔T(S)\Leftrightarrow T(S) 는 선형독립
◦
⇒\Rightarrow
▪
∑i=1naiT(vi)=0\sum_{i = 1}^{n} a_{i} T(v_{i}) = 0 라 하면
▪
T(∑i=1naivi)=0T(\sum_{i=1}^{n} a_{i}v_{i}) = 0
▪
단사이므로 ∑i=0naivi=0\sum_{i=0}^{n} a_{i} v_{i} = 0
▪
∴∀i,ai=0\therefore \forall i, a_{i} = 0
▪
T(S)T(S)는 선형독립
◦
⇐\Leftarrow
▪
∑i=0naivi=0\sum_{i=0}^{n} a_{i} v_{i} = 0
▪
T(∑i=1naivi)=0T(\sum_{i=1}^{n} a_{i} v_{i}) = 0
▪
∑i=1naiT(vi)=0\sum_{i = 1}^{n} a_{i} T(v_{i}) = 0
▪
∴∀i,ai=0\therefore \forall i, a_{i} = 0
◦
∴S\therefore S는 선형독립
(예제 생략 - 교재 정리 내용과 동일)

Thm 2.6

•
V,WV, W가 FF벡터공간일 때
◦
VV의 기저 {v1,v2,...,vn}\{ v_{1}, v_{2}, ... , v_{n} \}에 대하여
◦
WW의 원소 w1,w2,...,wnw_{1}, w_{2}, ... , w_{n}를 만드는 선형 변환 T:V→WT : V \to W는 유일하게 존재한다. (∀i,T(vi)=wi\forall i, T(v_{i}) = w_{i})

Corollary

•
V,WV, W가 FF-벡터공간일 때
◦
VV의 기저 {v1,v2,...,vn}\{ v_{1}, v_{2}, ... , v_{n} \}에 대하여
◦
선형변환 U,T:V→WU, T : V \to W가 U(vi)=T(vi)U(v_{i}) = T(v_{i}) 이면 U=TU = T
◦
기저가 같은 곳으로 매핑되면 다른 원소들은 같은 곳으로 매핑된다.
(예제 생략 - 교재 정리 내용과 동일)

Matrix representation

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순서기저
◦
F3F^{3}에 대하여 β={e1,e2,e3},γ={e2,e1,e3}\beta = \{ e_{1}, e_{2}, e_{3} \}, \gamma = \{ e_{2}, e_{1}, e_{3} \} 이라 할 때
▪
e1,e2,e3e_{1}, e_{2}, e_{3}는 표준기저
◦
β,γ\beta, \gamma가 순서기저면 그 둘은 같지 않다. β≠γ\beta \neq \gamma
◦
{e1,e2,...,en}\{ e_{1}, e_{2}, ... , e_{n} \}는 FnF^{n}의 표준순서기저이고
◦
{1,x,...,xn}\{ 1, x, ... , x^{n} \}는 Pn(F)P_{n}(F)의 표준순서기저이다.
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순서기저이기 때문에 순서가 중요하고, 순서가 달라지면 다른 기저가 된다.
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β={u1,u2,...,un}\beta = \{ u_{1}, u_{2}, ... , u_{n} \}를 VV의 순서기저라 할 때
◦
x∈V,∃1a1,a2,...,an:x=∑i=1naiuix \in V, \exists_{1} a_{1}, a_{2}, ... , a_{n} : x = \sum_{i=1}^{n} a_{i} u_{i}
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β\beta에 대한 좌표벡터 xx를 정의할 수 있다.
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[x]β=[a1a2...an][x]_{\beta} = \left[ \begin{array}{rrrr} a_{1} \\ a_{2} \\ ... \\ a_{n} \end{array} \right]
Made with