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수학/ 지수와 로그와 e

지수와 로그의 관계

지수와 로그는 정의에 의해 다음의 관계를 갖는다.
ax=y⇔x=log⁡aya^x = y \Leftrightarrow x = \log_a y
쉽게 생각해서 지수의 밑이 log⁡\log의 밑으로 변환되는 관계라고 생각할 수 있다.
이는 왼쪽의 식의 양변에 aa를 밑(base)으로 하는 log⁡\log를 취하면 쉽게 성립함을 보일 수 있다.
log⁡aax=log⁡ay⇒x⋅log⁡aa=log⁡ay\log_a a^x = \log_a y \Rightarrow x \cdot \cancel{\log_a a} = \log_a y
지수와 로그의 관계를 이용하면 어떤 수를 밑으로 하는 지수도 다른 수를 밑으로 사용하는 수로 표현할 수 있다. 예컨대 axa^x를 bb를 밑으로하는 식으로 수정하면 다음과 같이 표현할 수 있다.
ax=bxlog⁡baa^x = b^{x \log_b a}
마찬가지로 양변에 bb를 밑으로 하는 log⁡\log를 취하면 쉽게 성립함을 볼 수 있다.
log⁡bax=log⁡bbxlog⁡ba⇒xlog⁡ba=xlog⁡ba⋅log⁡bb\log_b a^x = \log_b b^{x \log_b a} \Rightarrow x\log_b a = x\log_b a \cdot \cancel{\log_b b}
참고로 지수와 로그의 관계를 이해하면 log⁡\log의 입력이 밑(base) 보다 작을 때 음수가 나오는지도 이해할 수 있다. 예컨대 아래 식에 대해 y=−1y=-1이 되어야 함을 알 수 있다. 이것은 지수 관계일 때 지수인 yy가 음수가 되어서 역수가 되어야 결과가 부합하기 때문이다. 즉 로그의 입력이 밑보다 작을 수록 지수부는 큰 음수가 되어야 한다.
log⁡10(0.1)=y⇒10y=0.1\log_{10} (0.1) = y \Rightarrow 10^y = 0.1

ee를 밑으로 하는 지수와 로그를 많이 사용하는 이유

‘오일러 상수’ 또는 ‘자연 로그의 밑’으로 불리는 ee는 2.718…의 값을 갖는 초월수로 다음과 같이 정의된다.
e=lim⁡n→∞(1+1n)n=lim⁡n→0(1+n)1n=∑n=0∞1n!e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + {1 \over n}\right)^n = \lim_{n \to 0} (1 + n)^{1 \over n} = \sum_{n=0}^{\infty} {1 \over n!}
ee는 복리를 계산하거나 다양한 자연 현상에서 발견되는 패턴과도 관계가 있지만, 지수 형태에서 미분과 적분의 결과가 자기 자신이 된다는 점에서 매우 특수하다.
ddxex=ex∫exdx=ex+C\begin{aligned} {d \over dx} e^x &= e^x \\ \int e^x dx &= e^x + C \end{aligned}
지수와 로그의 관계에서 보았듯이 모든 지수는 다른 수의 지수에 log⁡\log를 결합한 형태로 표현 가능하기 때문에, 모든 지수는 ee를 통해 표현가능하다.
ax=y⇔exlog⁡ea=ya^x = y \Leftrightarrow e^{x \log_e a} = y
이러한 편리함 때문에 지수나 log⁡\log를 다룰 때는 밑을 ee로 설정하는 것이 일반적이다. 참고로 ee를 밑으로 하는 log⁡\log는 특별히 자연 로그라고 말하며 ln⁡\ln으로 줄여서 표기할 수 있다.
log⁡ex=ln⁡x\log_ex = \ln x
물론 분야에 따라 ee가 아닌 다른 수를 쓰기도 한다. 상용 로그는 1010을 밑으로 하는 로그를 사용하며, 이진수를 다루는 경우에는 22를 밑으로 하는 지수나 로그를 사용한다. 미적분이나 해석학 교재에서는 대부분 ee를 밑으로 하는 지수를 이용하는 경우가 많으므로 log⁡\log가 (꼭 ln⁡\ln이라 표기되지 않아도) log⁡e\log_e를 의미하는 반면, 정보 엔트로피를 다루는 분야에서는 주로 이진화된 값을 사용하므로 log⁡\log라고 하면 log⁡2\log_2를 의미한다고 보면 된다.
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