교양/ 지수와 로그와 e

지수와 로그의 관계

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지수와 로그는 정의에 의해 다음의 관계를 갖는다.

a^x = y \Leftrightarrow x = \log_a y

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이는 왼쪽의 식의 양변에 aaa를 밑으로 하는 log⁡\loglog를 취하면 쉽게 성립함을 보일 수 있다.

\log_a a^x = \log_a y \Rightarrow x \cdot \cancel{\log_a a} = \log_a y

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지수와 로그의 관계를 이용하면 어떤 수를 밑으로 하는 지수도 다른 수를 밑으로 사용하는 수로 표현할 수 있다. 예컨대 axa^xax를 bbb를 밑으로하는 식으로 수정하면 다음과 같이 표현할 수 있다.

a^x = b^{x \log_b a}

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마찬가지로 양변에 bbb를 밑으로 하는 log⁡\loglog를 취하면 쉽게 성립함을 볼 수 있다.

\log_b a^x = \log_b b^{x \log_b a} \Rightarrow x\log_b a = x\log_b a \cdot \cancel{\log_b b}

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‘자연 로그의 밑’으로 불리는 eee는 2.718…의 값을 갖는 초월수로 다음과 같이 정의된다.

e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + {1 \over n}\right)^n = \lim_{n \to 0} (1 + n)^{1 \over n} = \sum_{n=0}^{\infty} {1 \over n!}

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eee는 복리를 계산하거나 다양한 자연 현상에서 발견되는 패턴과도 관계가 있지만, 지수에 대해 미분과 적분의 결과가 자기 자신이 된다는 점에서 매우 특수한 수이다.

\begin{aligned} {d \over dx} e^x &= e^x \\ \int e^x dx &= e^x + C \end{aligned}

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지수와 로그의 관계에서 보았듯이 모든 지수는 다른 수의 지수에 log⁡\loglog를 결합한 형태로 표현 가능하기 때문에, 모든 지수는 eee를 통해 표현가능하다.

a^x = y \Leftrightarrow e^{x \log_e a} = y

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이러한 편리함 때문에 지수나 log⁡\loglog를 다룰 때는 밑을 eee로 설정하는 것이 일반적이다. 참고로 eee를 밑으로 하는 log⁡\loglog는 특별히 자연 로그라고 말하며 ln⁡\lnln으로 줄여서 표기할 수 있다.

\log_ex = \ln x

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물론 분야에 따라 eee가 아닌 다른 수를 쓰기도 한다. 상용 로그는 101010을 밑으로 하는 로그를 사용하며, 이진수를 다루는 경우에는 222를 밑으로 하는 지수나 로그를 사용한다.