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데코수학/ 벡터미적분학/ 헬름홀츠 분해정리

(유튜브 동영상인데 현재는 삭제되어서 내용만 남김)

개념

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F⃗:R3→R3\vec{F} : \mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}^{3}: 커얼로 써지는 벡터장
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⇔∃A⃗:R3→R3,F⃗=∇×A⃗\Leftrightarrow \exists \vec{A} : \mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}^{3}, \vec{F} = \nabla \times \vec{A}
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이때 A⃗\vec{A}를 벡터포텐셜이라 부른다.
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F⃗\vec{F}: 커얼로 써지는 벡터장 ⇒F⃗\Rightarrow \vec{F}: 발산하지 않음
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F⃗=∇×A⃗⇒∇⋅F⃗=∇⋅(∇×A⃗)=0\vec{F} = \nabla \times \vec{A} \Rightarrow \nabla \cdot \vec{F} = \nabla \cdot (\nabla \times \vec{A}) = 0
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헬름홀츠 분해정리 (벡터미적분학의 기본 정리)
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F⃗:Ω(⊆R3,유계)→R3:C2⇒F⃗=G⃗+H⃗\vec{F} : \Omega (\subseteq \mathbb{R}^{3}, \text{유계} ) \to \mathbb{R}^{3} : C^{2} \Rightarrow \vec{F} = \vec{G} + \vec{H}
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G⃗\vec{G}: 보존적 벡터장
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H⃗\vec{H}: 커얼로 써지는 벡터장
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헬름홀츠 분해정리 (정의역이 R3\mathbb{R}^{3} 전체인 버전)
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F⃗:R3→R3:C2,lim⁡∥x⃗∥→∞∥∣x⃗∥2∥F⃗(x⃗)∥=0\vec{F} : \mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}^{3} : C^{2}, \lim_{\|\vec{x}\| \to \infty} \||\vec{x}\|^{2} \|\vec{F}(\vec{x})\| = 0
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⇒F⃗=G⃗+H⃗\Rightarrow \vec{F} = \vec{G} + \vec{H}
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헬름홀츠 분해정리의 따름 정리
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F⃗:R3→R3:C2,lim⁡∥x⃗∥→∞∥∣x⃗∥2∥F⃗(x⃗)∥=0\vec{F} : \mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}^{3} : C^{2}, \lim_{\|\vec{x}\| \to \infty} \||\vec{x}\|^{2} \|\vec{F}(\vec{x})\| = 0인 경우
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∇×F⃗=0⃗⇔F⃗=−∇Φ\nabla \times \vec{F} = \vec{0} \Leftrightarrow \vec{F} = - \nabla \Phi
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∇⋅F⃗=0⇔F⃗=∇×A⃗\nabla \cdot \vec{F} = 0 \Leftrightarrow \vec{F} = \nabla \times \vec{A}
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