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김영길/ 선형대수학/ subspace, span, linear independence

Thm 1.4

•
부분공간들의 교집합은 부분공간이다.
•
증명)
◦
Vi<V(i=1,2,...,n)V_{i} < V (i = 1, 2, ... , n)
◦
W=∩i=1nViW = \cap_{i=1}^{n} V_{i}
◦
x,y∈W⊂Vi,x+y∈Vi,c⋅x∈Vix, y \in W \subset V_{i}, x + y \in V_{i}, c \cdot x \in V_{i}
◦
x+y∈W,c⋅x∈Wx + y \in W, c \cdot x \in W

Linear combination (선형결합)

•
vv를 다음과 같이 표현 가능할 때 vv를 u1,u2,...,unu_{1}, u_{2}, ... , u_{n}의 선형결합이라고 한다.
◦
v=a1v1+a2u2+...+anunv = a_{1} v_{1} + a_{2} u_{2} + ... + a_{n} u_{n}
◦
ex) (3,5)=3(1,0)+5(0,1)(3, 5) = 3(1, 0) + 5(0, 1)

Span (생성공간)

•
벡터공간 VV의 공집합이 아닌 집합 SS에 대하여
◦
∅⊊S⊂V\emptyset \subsetneq S \subset V
◦
SS 안의 벡터들의 가능한 모든 선형결합의 집합을 Span(S)Span(S)라 한다.
•
공집합의 Span은 0벡터 하나로 이루어진 벡터공간이라고 정의한다.
◦
Span(∅)={0}Span(\emptyset) = \{ 0 \}
•
ex) Span{(1,0,0),(0,1,0)}Span\{(1, 0, 0), (0, 1, 0)\}은 3차원 공간 안의 2차원 평면

Thm 1.5 S⊂VS \subset V

•
span(S)span(S)는 항상 벡터공간 VV의 부분공간이다.
•
증명)
◦
S=∅S = \emptyset인 경우
▪
span(S)={0}span(S) = \{ 0 \}
▪
정의에 의해 VV 의 부분공간
◦
S≠∅S \neq \emptyset인 경우
▪
x,y∈span(S),u1,u2,...,un∈Sx, y \in span(S), u_{1}, u_{2}, ... , u_{n} \in S
▪
x=a1u1+a2u2+...+anunx = a_{1} u_{1} + a_{2} u_{2} + ... + a_{n} u_{n}
▪
y=b1u1+b2u2+...+bnuny = b_{1} u_{1} + b_{2} u_{2} + ... + b_{n} u_{n}
▪
x+y∈S,c⋅x∈Sx + y \in S, c \cdot x \in S
▪
따라서 SS는 부분공간

Any subspace that contains S must contain span(S)

•
부분공간은 하위 집합의 생성공간을 갖는다.
•
증명)
◦
w∈span(S)w \in span(S)
◦
w=c1w1+c2w2+...+ckwk(w1,w2,...wk∈S)w = c_{1} w_{1} + c_{2} w_{2} + ... + c_{k} w_{k} (w_{1}, w_{2}, ... w_{k} \in S)
◦
S⊂W⇒w1,w2,...,wk∈WS \subset W \Rightarrow w_{1}, w_{2}, ... , w_{k} \in W
◦
w=c1w1+c2w2+...+ckwk∈Ww = c_{1} w_{1} + c_{2} w_{2} + ... + c_{k} w_{k} \in W
▪
(덧셈과 스칼라곱에 닫혀 있다는 것은 결국 선형결합에 닫혀있다는 뜻이 된다)
◦
∴span(S)⊂W\therefore span(S) \subset W
•
(하위 집합의 선형 결합을 통해 벡터 공간을 만든다는 것이 아이디어)

Linear Independence (선형 독립)

•
다음의 조건을 만족할 때 선형 종속이라 한다.
◦
SS에 포함된 벡터 u1,u2,...,unu_{1}, u_{2}, ... , u_{n}에 대하여
◦
a1u1+a2u2+...+anun=0a_{1} u_{1} + a_{2} u_{2} + ... + a_{n} u_{n} = 0 이고
◦
위 식을 만족하는 계수가 00 만 가능할 때 선형 독립이라 한다. (각 벡터가 독립적이다)
◦
만일 00이 아닌 계수로도 위 식이 만족되면 선형 종속이라 한다. (각 벡터가 독립적이지 않다. 어떤 벡터는 다른 벡터로 정의가 가능하다)
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