데코수학/ 벡터미적분학/ 곡면적분

(유튜브 동영상인데 현재는 삭제되어서 내용만 남김)

개념

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곡면을 나타내는 법

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매개곡면 α⃗(t1,t2):R2→Rn\vec{\alpha} (t_{1}, t_{2}): \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}^{n}α(t1​,t2​):R2→Rn로 나타내는 법

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곡면 위에 각 점의 위치: α⃗(t1,t2)\vec{\alpha} (t_{1}, t_{2})α(t1​,t2​)

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(미분 가능한 곡면의 경우엔) 곡면 위의 각 점에서 단위법선벡터: (∂α⃗∂t1×∂α⃗∂t2)^\hat{({\partial \vec{\alpha} \over \partial t_{1}} \times {\partial \vec{\alpha} \over \partial t_{2}})} (∂t1​∂α​×∂t2​∂α​)^​

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곡면 위 각 점에서 넓이 조각: ∥∂α⃗∂t1×∂α⃗∂t2∥dt1∧dt2\|{\partial \vec{\alpha} \over \partial t_{1}} \times {\partial \vec{\alpha} \over \partial t_{2}} \| dt_{1} \land dt_{2}∥∂t1​∂α​×∂t2​∂α​∥dt1​∧dt2​

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R3\mathbb{R}^{3}R3 에서 F(x,y,z)=0F(x, y, z) = 0F(x,y,z)=0이나 z=f(x,y)z = f(x, y)z=f(x,y)로 나타내는 법

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곡면 F(x,y,z)=0F(x, y, z) = 0F(x,y,z)=0에 대하여 곡면상의 점 (x,y,z)(x, y, z)(x,y,z) 에서

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법선: ∇F\nabla F∇F

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면적조각: dAd AdA